2-2控制系统的复数域数学模型 由2-1节的叙述可知,对于线性定常连续系统来说描 述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程,其 般形式为: ac(t)+a,c t)+…a.,c(t)+ac(t =brm(t)+b,rm(t)+.br(t)+br(t) 但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量,微分方程虽 是基本的数学模型,却并不是一个使用起来最方便的数学 模型.因为从微分方程出发分析系统的性能,就必须求出 微分方程的解c(1),而对于阶数大于2的微分方程来说,求 解并非易事.其次,当系统参数变化后对系统性能的影响 也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来,这就对 分析系统尤其是综合系统带来很大的困难 对于解高阶微分方程的困难,可用拉氏变换,将微积 分运算转换为代数运算,求出微分方程的解
2-2 控制系统的复数域数学模型 由2-1节的叙述可知, 对于线性定常连续系统来说,描 述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程, 其一 般形式为: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b r t b r t b r t b r t a c t a c t a c t a c t m m m m n n n n = + + + + + + − − − − 但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量, 微分方程虽 是基本的数学模型, 却并不是一个使用起来最方便的数学 模型. 因为从微分方程出发分析系统的性能, 就必须求出 微分方程的解 c(t) , 而对于阶数大于2的微分方程来说, 求 解并非易事. 其次, 当系统参数变化后对系统性能的影响 也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来, 这就对 分析系统尤其是综合系统带来很大的困难. 对于解高阶微分方程的困难, 可用拉氏变换, 将微积 分运算转换为代数运算, 求出微分方程的解
从而人们设想,能否利用拉氏变换这一工具,不解 微分方程,就能知道系统的性能,甚至当系统参数变化 后,也能方便地看出它对系统性能的影响呢?这就引出 了传递函数概念.传递函数在古典自控理论中是一个很 重要的函数,古典自控理论的两大分支,根轨迹法和频 率法,就是在传递函数的基础上建立起来的 1.传递函数的定义和性质 例:一RC电路如下图所示,设在开关K闭合的瞬间时刻 作为计时起点,即t0,且此 K R 时电容两端的电压为u2(0) 开关K闭合后不再打开,则 在RC电路输入端加了一恒定的电压,其幅值为ur
从而人们设想, 能否利用拉氏变换这一工具, 不解 微分方程, 就能知道系统的性能, 甚至当系统参数变化 后, 也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引出 了传递函数概念. 传递函数在古典自控理论中是一个很 重要的函数, 古典自控理论的两大分支, 根轨迹法和频 率法, 就是在传递函数的基础上建立起来的. 1. 传递函数的定义和性质 例: 一RC电路如下图所示, 设在开关K闭合的瞬间时刻 R C K r u uC 作为计时起点, 即t=0, 且此 时电容两端的电压为 (0) uC 开关K闭合后不再打开, 则 在RC电路输入端加了一恒定的电压, 其幅值为 u r
RC电路的微分方程为: RC du(t +u(t)=u(t (13) 令T=RC为RC电路的时间常数,则式(13)为: Tauc(t) +uc(t)=u(t) (14) dt 对式(14两边进行拉氏变换,得: 7Sbc(s)-7(0)+Uc(s)=U,() (15) 式(15)中U2(s)=l[(t)]U,(s)=Lu,(t)],而 T U(s)= U(s)+ U(O) Ts+1 Ts+1 因为u,(t)是幅值为u的阶跃电压,故U,(s) 代入式(16,得: T U(s) () (Ts+1)Ts+1
RC电路的微分方程为: 令 ( ) ( ) (13) ( ) u t u t dt d u t RC C r C + = T = RC 为RC电路的时间常数, 则式(13)为: ( ) ( ) (14) ( ) u t u t dt d u t T C r C + = 对式(14)两边进行拉氏变换, 得: TsU (s) TU (0) U (s) U (s) (15) C − C + C = r 式(15)中 U (s) Lu (t),U (s) Lu (t) C = C r = r , 而 (0) (16) 1 ( ) 1 1 ( ) C r UC T s T U s T s U s + + + = 因为 u (t) r 是幅值为 u r 的阶跃电压, 故 s u U s r r ( ) = 代入式(16), 得: (0) (17) ( 1) 1 ( ) C r C U T s T s T s u U s + + + =
对式(17两边进行拉氏反变换,得: lc(t)=l(1-e)+c(0)e7 (18) 上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压l(0)=0 由输入电压l(1)激励下的输出分量,也叫零初始条件响应, 第二项是由初始条件v(0)激励下的输出分量,也叫零输入 响应.如令1(0)=0,即初始条件为零,则式(16)为 U(s) Ts+1 U((s) (s) TS+I G(s) 把G()叫所举例中RC电路的传递函数,从而RC电路可 用下面方块图表示: U,(s) G(s
对式(17)两边进行拉氏反变换, 得: 上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压 ( ) (1 ) (0) (18) T t C T t C r u t u e u e − − = − + uC (0) = 0 由输入电压 u (t) r 激励下的输出分量, 也叫零初始条件响应, 第二项是由初始条件 (0) uC 激励下的输出分量, 也叫零输入 响应. 如令 uC (0) = 0 , 即初始条件为零, 则式(16)为 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) (19) 1 1 ( ) G s U s T s U s U s T s U s r C C r = + = + = 把 G(s) 叫所举例中RC电路的传递函数, 从而RC电路可 用下面方块图表示: U r (s) G(s) U (s) C
由上例,可得系统(或环节)的传递函数的如下定义: 设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程为: aoc(t)+a,c-(t)+.anc(t)+a,c(t) bor(m(t)+6,r(m(t)+.br(t)+br(t) 当初始条件为零时,系统输出量的拉氏变换表达式与系统 输入量的拉氏变换表达式之比,称为该系统的传递函数, 其一般表达式为: GC(s)马、sm+b"+…+b如=M(s) (20) R(s) aS"+a, s+.+as+a, N(s) 下面给出传递函数的若干性质: 1)传递函数是两个复变量s的有理多项式之比,且m<=n 即传递函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函 数的所有性质.两个多项式中的所有系数均为实数 2)传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数,而与 系统或环节的输入信号的形式和大小无关
由上例, 可得系统(或环节)的传递函数的如下定义: 设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程为: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b r t b r t b r t b r t a c t a c t a c t a c t m m m m n n n n = + + + + + + − − − − 当初始条件为零时, 系统输出量的拉氏变换表达式与系统 输入量的拉氏变换表达式之比, 称为该系统的传递函数, 其一般表达式为: (20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − 下面给出传递函数的若干性质: 1) 传递函数是两个复变量s的有理多项式之比, 且m<=n 即传递函数是复变量s的有理真分式函数, 具有复变函 数的所有性质. 两个多项式中的所有系数均为实数. 2) 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数, 而与 系统或环节的输入信号的形式和大小无关