(3)消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见(,E2(t),Mn(1)是中间变量,要 消去它们,就要找出中间变量与其它因素间的关系.感应 电势E(1)正比于转速On()和激磁电流产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的,所以磁通量也恒定,感应电势仅取 决于转速,并可表示为: E(t=Co(t) (3) 式(3)中,C为反电势系数 电动机产生的电磁转矩M(1)是激磁磁通和电枢电流 2()的正比函数,由于激磁磁通恒定,故Mn()可表为 M(t)=C i(t) 式(4)中,Cm为电动机转矩系数
(3) 消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见, i (t), E (t), M (t) a a m 是中间变量, 要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势 E (t) a 正比于转速 (t) m 和激磁电流 f I 产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为: E (t) C (t) (3) a = e m 式(3)中, C e 为反电势系数. 电动机产生的电磁转矩 M (t) m 是激磁磁通和电枢电流 i (t) a 的正比函数, 由于激磁磁通恒定, 故 M (t) m 可表为: M (t) C i (t) (4) m = m a 式(4)中, C m 为电动机转矩系数
将式(1),(2),(3),(4)联立得: a+Ri()+E() do (t) d+m()=M()-M()(2) E(t=Co(t) M (t=Cmi(t) (4) 消去中间变量(t),E(),M()得电动机输入输出方程为: , do (t) do(t) +OL,fm+rm)-m dt +(Rf+C Ce)om(t) =Cu(t)- aM RM(t) 如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油,则粘 性摩擦系数f可忽略不计,如果电动机输出轴不带负载,即 M(t=0
将式(1),(2),(3),(4)联立得: 消去中间变量 = = + = − + + = ( ) ( ) (4) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) M t C i t E t C t f t M t M t d t d t J R i t E t u t d t d i t L m m a a e m m m m C m m a a a a a a i (t), E (t), M (t) a a m 得电动机输入输出方程为: ( ) (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 R M t d t d M t C u t L R f C C t d t d t L f R J d t d t L J a C C m a a a m m e m m a m a m m a m = − − + + + + 如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油, 则粘 性摩擦系数 m f 可忽略不计, 如果电动机输出轴不带负载, 即 M (t) = 0 C
则式(5)可简化为: d(t) +rJ do(t) +CC,O(t)=Cmu,( 若令:7=m为机电时间常数,=为电枢回路时间常数 则式(6)可写为:a+ndon dt dt+o()= 有式(7)可知,当电动机的转速稳定后Pn()不再变化,则 d o(t) do(t) 0,从而O()=n()(8),式8 dt 是电动机的传递系数.由于电动机中的电枢回路有一个储能 元件L,并且转动部分有惯性,故描写电动机的微分方程式(7 的左端必为二阶微分,且有二个时间常数 如果电动机电枢回路中的电感很小,即电柩回路时间常数 T很小可忽略不计
则式(5)可简化为: 若令: ( ) ( ) (6) ( ) ( ) 2 2 C C t C u t d t d t R J d t d t L J m e m m a m a m m a m + + = m e a m m C C R J T = 为机电时间常数, a a a R L T = 为电枢回路时间常数 则式(6)可写为: ( ) (7) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 u t C t d t d t T d t d t T T a e m m m m a m + + = 有式(7)可知, 当电动机的转速稳定后, (t) m 不再变化, 则 0 ( ) ( ) 2 2 = = dt d t dt d t m m , 从而 ( ) (8) 1 ( ) u t C t a e m = ,式(8)中 C e 1 是电动机的传递系数. 由于电动机中的电枢回路有一个储能 元件 L a ,并且转动部分有惯性, 故描写电动机的微分方程式(7) 的左端必为二阶微分, 且有二个时间常数. 如果电动机电枢回路中的电感很小, 即电枢回路时间常数 T a 很小可忽略不计
则式(7可简化为 do(t +O(t) (9) dt 二阶微分方程简化为一阶微分方程,给数学处理带来很大 的方便,近一步,如电动机为小型电动机,其转动部分的 转动惯量J很小,从而机电时间常数T很小可忽略不计,则 式(9)可近一步简化为0C2。(0)即式(8),成为代数方程 例2.电动机转速控制系统的数学模型 直流电动机 激磁电流,= const 运算器电枢电压la 激磁回路 测速发电机
则式(7)可简化为: 二阶微分方程简化为一阶微分方程, 给数学处理带来很大 的方便, 近一步, 如电动机为小型电动机, 其转动部分的 ( ) (9) 1 ( ) ( ) u t C t d t d t T a e m m m + = 转动惯量 m J 很小, 从而机电时间常数 T m 很小可忽略不计,则 式(9)可近一步简化为 ( ) 1 ( ) u t C t a e m = 即式(8), 成为代数方程 例2. 电动机转速控制系统的数学模型 测速发电机 直流电动机 激磁回路 I const 激磁电流 f = a 运算器 电枢电压 u V+ V r e u
(1)确定各环节的输入输出方程 运算器:如采用的运算器仅起比例放大作用,放大倍数为 K,则u()=K[()-( (10) 测速发电机:如采用的是小型测速发电机,则其输入输出 方程为:u(D)=KxOn() 式(1)中k为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程 为式(7 (2)消去中间变量 联立式(7),式(10,式(1,消去中间变量2(t),2(1)则系统 的微分方程为: +T dt+(+K)om(t) (t)(12) KK 式(2)中K=为系统中各环节传递系数的乘积,称 C。为系统的开环放大倍数
(1) 确定各环节的输入输出方程 运算器: 如采用的运算器仅起比例放大作用, 放大倍数为 K a , 则 u (t) K u (t) u (t) (10) a = a r − e 测速发电机: 如采用的是小型测速发电机, 则其输入输出 方程为: u (t) K (t) (11) e = T m 式(11)中 KT 为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程 为式(7). (2) 消去中间变量 联立式(7),式(10),式(11), 消去中间变量 u (t),u (t) a e 则系统 的微分方程为: (1 ) ( ) ( ) (12) ( ) ( ) 2 2 u t C K K t d t d t T d t d t T T r e a m m m m a m + + + = 式(12)中 e a T C K K K = 为系统中各环节传递系数的乘积, 称 为系统的开环放大倍数