由此 a+we)+名会小 1(m)=6Bn. +Matl Ini Ie (1.46) In-1 这就是支座不在同一高度的三弯矩方程.如果已知所有支座的位橙，很容 易就可决定每个中间支座的B,于是由对于每个支座所写出的联立方程 (1.46)求解，可决定在支座上方的弯矩。如果向有横向荷重作用于梁，将方 程(1.44)与(1.46)的右边组合，即得三弯矩方程. M MK-1 -1 n-1 (al M M (6) 图1.16 刚结于柱的连续粱如果连续梁在支座上方的藏面由于刚性连结于如 图1.16a所示的柱，因而不能自由地转动，则在支座n的左边及右边两相邻 裁面上的弯矩Mm及M井不相等。.两者之间的关系可由结点n(图1.16b) 的平衡方程给出： Mn一Ma+MR=0. (c) 与以前一样，井运用方程(a),我们得到) 1)在这推演中，略去了由于柱在支座刀一1，”，”+1处的水平反作用力面引越 的梁的轴向力的改变。 ·23·
6+l(n-)+(ua-)= 6EIn-1 3Eln-1 -[.+台：o)+“小 (1.47) 或 M-1(un1)+2Ma (un-1)+2Mun)+ In-1 In -1(n)=-6Bl(8n+6%). Mnt!Tn-i In (1.48) w-1 对于这同一接合点的另一方程可由柱的弯曲而得到，设结点”并无横 向位移，则表示结点对柱的作用图(1.16c)的弯矩M”,可由方程 M"-a0n (d) 表示，其中am为对于支座”的约束系数[参阅方程(1,41)].例如，对于下 端铰接的柱，其弯曲刚度为E,长为hm,我们得到 ,微 (c) 这方程略去了轴向力对柱弯曲的影响。由方程（©）得 =38及an=% 如是，对于每一特殊情形可得出a,. 现在回到方程(d),井与方程(c)组合，得 0n==-M 注意，方程(1.47)的左边也等于日，对于每一结点可得下述补充方程： (n-M)=8m十p(“a-)+nn-(4n-1).1 6Ela-1 对于每个中间支座，我们可以写出(1.48)和(1.49)两方程.如是，如果梁的 两端为简支，我们就有足够的方程以决定所有的静不定弯拒。如果两端为 固定端，必须加上两个表示两端固定这条件的补充方程)，运用了附绿中函 数中()及中(4)的表A-1,解这些方程可以大大地简化. I)这问题的很弹尽的讨论可参阅F.Bleich与J.Melan所著的书：Die gewon- licheh und partiellen Differenzengleichungen der Baustatic,Berlin,1927. 井参阅F,Bleich,Die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke nach der Methode des Viermomenten satzes,2d ed.,Berlin,1925, ，24
力矩分配法为分析连续梁与框架受轴向力与弯矩联合作用的另一方 法。此法要用到劲度系数，传递采数等；这些采数经修正以包括轴向力的影 响.已将这些系数的值制成图和表)以备查用。有了这些采数，力矩分配的 计算可按标准方法 在弹性支座上的连缕梁如果梁的中间支座是有弹性的，即支座的沉 陷与反作用力成正比，方程(1.46)仍旧可用.但若压力P沿梁的全长为一常 量，且梁的两端支持在刚性支座上，则以中间支座的反力作为静不定量为宜。 要决定这些反力，可用方程(1.19)并适当地致变以前的记号.以c1,c2,…,cm (1<2<c3…)表各中间支座离连续梁右揣的距离，以R1,R2,…,Rm表示 相应的反力（图1.17）.要计算这连续梁的任一点的挠度，可将这梁作为一 P T丁T T 图1.17 长为1的简单梁，在这简单梁上作用着已知的横向荷重及未绑的反力：， R2,·.设想我们以这样的方法已算得任一支座m的挠度，这挠度亦可由另 一方法得到，即考虑支座的弹性。设α。为使支座m有一单位挠度所须的荷 重。于是在支座m的反力等于压力Rm的作用之下，挠度将为Rm/am.使 这挠度等于以上所计算得的挠度，我们就得到一个包含中间支座反力， R,…,R的方程，有几个中间支座，我们就可以写出几个类似这样的方程， 因此将有足够的方程以计算所有中间支座的静不定反力. 现以荷重沿梁AB均匀分布的情形为例（图1.17），这荷重所产生的挠 度可由方程(1.20)得到，反力R1,R2,·,Rm所产生的挠度可由方程(1.19) 来计算.运用记号xm=1一cm,对于支座m我们得到 1)B.W.James,Principal Effects of Axial Load on Moment Distribu- tion Analysis of Rigid Structures,NACA Tech.Nofe 534,1935.Niles 与Newell的书中亦叙迹了这方法(Airplane Structures,,3dcd.,ol.2, pp.120-132,John Wiley Sons,Inc.,New York,1943). ·250
m(-2-） -1 16E1w4 cos f Pk sin!台 sink(I-xm) P收sin kl,m R:sinR(l-c:)+ +g0-w-品 (1.50) 类以这样的方程的个数与中间支座的个数相等，所以所有的静不定支座反力 均可算得。方程(1.50)将在以后用于讨论在弹性支承杆的稳定性。 代替图1.17所示的弹性支座，梁亦可为连续的弹性基础所支承.在海 乞尼(Hetenyi)的书)中详细地分析了这情形. 5111.三角极数的应用 在研究棱柱杆的挠度时，以三角极数的形式表示出挠度曲棧 有时侯是有利的”。这样，一个数学表达式就可适用于梁的全长， 而不必象551.3,1.4中那样逐段地去討論相邻荷重之間的挠度曲 殺 这种分析方法对于簡支梁特别有用（图1.18）.在这种情况 下，挠度曲棧可用富氏正弦級数来表示： y=aisin d sinsin(1.51) 1 级数的每一項都适合端点条件，因为每一項及其二阶导数在梁的 两端(x=0和x=)均等于零.如是，梁的挠度及弯矩在梁的两 端均等于客。在几何意义上，极数(1.51)表明：梁AB的挠度曲 钱可由正弦曲辍（如图1.18b,c及d)选加而得.曲钱b表示級数 的第一項，曲钱c表示第二項，以此类推。级数的系数a1,2,·· 1)M.Hetenyi,Beams on Elastic Foundation,chap.6,University of Michi- gan Press,Ann Arbor,Mich.,1946. 2)参阅Timoshenko的论文，Application of Generalized Coordinates to the Solution of Problems on Bending of Bars and Plates Bull.polytech.Inst., Kicv,1909(俄女). ·26·
为各正弦曲镂的叙坐标的最大值，而与π相乘的数值1,2,3，· 表明正弦曲钱有儿个牛波 Q B (a) ay (c) 下2 (d) 图1.18 可以严格証明：恰当地决定系数a1,a2,a3,·,可使級数 (1.51)表示任何的挠度曲辍”，而其精确度与所取的项数有关.在 以下的尉論中，我們运用梁的弯曲应变能的一般表达式，以得到系 数1,42,4，·.这表达式由方程 U-4 (1.52) 耠出.由(1.51)，y对于x的二阶导数为 是=-a苔n譬-a君如g_ 2 1 12 分n3- 代入方程(1.52)，我們发現积分号下的表达式有两种类型的项： 店英sin2及2anm达n兰inmg 1)对于富氏级数的详细讨论，读者可参阅任何高等微积分的标准教科节， 2)Timoshenko,Streagth of Materials,3d ed.,part I,p.317,D.Van Nostrand Company,Inc.,Princeton.N.J.,1955. ·27·