值接由积分可以証明： sinds=及ninm兰da=0. 2 Ja 因此，在式(1.52)中所有包含如am4n系数乘积的諸項均消失，而只 留下系数平方的諸項。于是应变能的表达式为 U=E1(d+2a+36+）=E1∑nd.（1.53》 413 4 如果我們使这梁（图1.18a)离开其平衡位置而有一很小的位 移，則梁的应变能的改变等于产生这位移时荷重所作的功。这是 由虛位移原理推出的，我門将用它来决定級数(1.51)的系数，梁离 开其平衡位橙的微小位移，可由系数a1,a2,a,··的微小改变而 得到.若任一系数am有一增量da,在級数（1.51)中，我們将有 (a。+dan)sinn充x/l这一项以代楷a sinnx/l这項，而其他諸项 保持不变.如是，系数an的增量dam,表示在梁原来的挠度曲钱上 迭加一附加的小挠度dan sin nax/l.对此附加挠度，我們可計算 荷重所作之功.对于作用于离左端支座为c的单个荷重？（图 1.18a),荷重的作用点有一铅直位移dan sin nxc/l,于是这荷重作功 Oda,sinnc 由于a,增加了dan所产生的梁的应变能[方程(1.53)]的改变为 OU de da. 8an 2p 使应变能的改变等于所作之功，我侧就得到决定系数4.的方程： BI sin 23 由此 8.20p 'E分2g 将此系数的表达式代入级数(1.51)，我們得到级数形式的挠度曲 钱方程 ·28·
y=20 xEI (血华n货+n受s血竿+）- =20E罗1，sin sin (1.54) E1台n 运用这极数，可計算对于任何x值的挠度： 作为一一例，研究荷重作用在跨度中点这情形.要针算荷重作 用点的挠度，以x=c=/2代入方程(1.54)，我們得到 3=0m=22(1+++…以 EI 这级数收斂很快，取为首的少数儿項就得到楠确程度很高的挠度. 只取级数的第一项，我們得到 8=202=2 EI 48.7EI' 与精确解相此表明，代替48我們得到的是487.如是，只取第一 项以代替整个級数，所引起的誤差为1壹%.在許多实际間題中，这 样的准确程度已足够了， 已有了一单个荷重的解（方程1.54），对于其他的荷重，均可运 用迭加法来解.例如，受強度为4的均布荷重的梁，距左端支座为 c的每一…荷重增量qdc可以看作一集中荷重，而相应的挠度dy可 由以qdc代替級数(1.54)中的2而得到.于是 dy2aldein a sinams EI n 将这表达式对于c积分，积分限为c=0和c=!.于是，当均布 荷重分布于梁至长时，我們得到梁的挠度曲後为 y=g然∑马血 Ei.元 1· 我們又得到了一收斂很快的级数.例如，只取第一项以計算梁中 点的挠度，得 8=4g 914 EI 76.5EI ·29
这情形的精确解为 6=5g =9 384EI76.8EI1 因此，只取第一项时其朝差小于麦%。 以三角級数(1.51)的形式表示挠度曲钱，对于同时承受横向 荷重及軸向荷重的梁特别有用.例如研究图1.19所示的梁.在决 Q A Hdx ds y 图1.19 定极数(1.51)的系数41,2，·…时，我們象以前一样考虑这梁离开 其平衡时的挠度曲钱的无限小位移da,sin nxx/L.弯曲应变能的 相应的改变与以前的情形相同，但在計算对于这位移外力所作的 功时，我們不仅須考虑横向荷重所作的功Odan sin nπc/l,还須考 虑軸向力P所作的功.挠度曲後形状的任何改变，常常引起可动 支座B的位移，于是作用于这支座的力P将作功、首先赴我們考 虑支座B的位移，这位移发生于当杆在变形时从它原来是直的形 状变为如图1.19所示的平衡曲棧.如凯为杆是不可伸长的，这位 移等于挠度曲钱的长度与弦AB的长度之差。以λ表示这位移， 井注意曲钱的微段的长度ds与相应的弦的微段dx之差等于 ds-dr=d√1+ 我例得到四 2 Jo\dx/ (1.55) 1)对于计及柱的初弯曲及喘荷重属心性的入的更为一般的表达式，参阅T.H Lin,Shortening of Column with Initial Curvature and Eccentricity and Its Influence on the Stress Distribution in Indeterminate Structures,Proc. 1st Natl.Congr.Applied Mech.,ASME,New York,1952. 。30·
将极数(1.51)代这表达式中的y,并注意到 。cos2x=←， 我們得到 (1.56) 41=1 如果我們現在使系数a,有一增量dan,而使离开平衡位置有一很 小的位移，于是鉸支座B的相应的小位移为 d以=-以da.=t andan. Oan 21 使弯曲应变能的改变等于外力对小位移da.sinnπx/l所作之 功，我們就得到以下决定级数(1.51)的任何系数am的方程： EI nanda -Oddn sin p 23 ardan, 21 由此 a.=20in,1 12- 为了簡化上远方程，我們用α表示轴向力P与其临界值「方程 (1.15)]之比，于是 4.2Q3 sin axc 1 xEI 12(n2一a） 代入级数(1.51)，我們得到 y2o 1 sin te in 1 xEI 11-a I n1T22(22-a) 、sin2Ssin2t+ 1 +小-蓉士o如受学 (1.57) 将这級数与只有横向荷重？作用的极数(1.54)相此較可知，由于 軸向压力P的作用，极数的所有的系数都增大.井且还可以看出， 当力P趋近于临界值，即a趋近于1时，級数(1.57)的第一项将无 ·31·
限地增大. 以前會指明，当只有横向荷重作用时，級数(1.51)的第一项給 出了杆挠度的很好的近似值。于是，以表横向荷重？单独所产 生的杆的最大挠度，将級数(1.54)与(1.57)相比，我們得到结論： 当横向荷重Q与軸向压力P共同作用时，最大挠度近似地等于 8=d (a) 1一4 于是，只有横向荷重时的，当又有軸向力作用时，将按放大因数 1/(1一a)而增大.这放大因数會在§1.7討論过. 有了一个横向荷重Q的挠度曲钱[方程(1.57)]，运用迭加法 不难得到对于任何种横向荷重的挠度.当均布横向荷重作用于压 杆时，我們以qdc代替极数(1.57)中的Q,并对在梁承受荷重部分 的范围内变化的积分此极数.若荷重分布于整个跨度，則积分 限为0与1，于是我們得到 。1sin EI n=1.3.3...n(n2-a) 我們又得到一收斂很快的级数，并且其第一項已給出了很好的近 似值；所以可以用与式(a)相似的公式，而挠度可由横向荷重单独 所产生的挠度，乘以因数1/(1一a)而得到.对于微小的a值， 这公式是很准确的.当a增大时，这近似公式的误差也增大，当P 趋近于临界值时，麒差趋近于%. 将荷重2移向左端支座（图1.19）而使c无限地械小，便逼近 杆被作用于其左端的力偶Qc所弯曲的情形.以sinnπc/1=nxc/L 代入方程(1.57)，井运用記号2c=M,便得到下述极数，这級数 給出了压杆被作用于杆一端的力偶所弯曲的挠度曲镜： 2器茗。学 (b) 若有两个力偶M。及M,作用在两端，則挠度曲钱可由每一力偶所 产生的挠度迭加而得.例如設M。=M6=Mo,井运用方程(b),便 得到两相等的力偶作用时的挠度曲後 ·32·