所产生的挠度及9所产生的挠度迭加而得。 可以証明，若有多个横 P 向荷重作用于压杆，也能运 用迭加法.运用方程(1.7)， (1.8),并将每一荷重单独与 軸向力共同作用时所产生的 挠度迭加，即得总挠度、例 图1.4 如有两横向荷重Q1及92，作 用于距右端支座各为c1及c2处（图1.4）.按照前一节那样，梁左 段[x≤(1一c)]的挠度曲粒的微分方程为 EI dy =-29x一x-Py. (a) dx2 如果我們現在分别考虑荷重Q1及Q2单独作用于压杆，并以y1表 示当荷重Q1作用时的挠度，以y2表示Q2作用时的挠度.于是对 于这两种情况，梁左段的挠度曲钱的微分方程为 EI yOex-Py dx2 E1当=-29x-P2. dx2 将这两方程相加，得到 EI4h+2=-24x-292x-P(m+y2). dx 可以看出，挠度y1与y2之和的方程，与荷重21及Q2共同作用时 所得的挠度方程(a)是一样的.对于杆的中段及右段也能得到相 同的精論。因此，当有多个荷重作用于压杆时，总的挠度可由各个 横向荷重单独与軸向力P共同作用时所产生的挠度迭加而得. 根据上述原則，我們可以写出在任意个数的横向荷重作用下 杆的任一段的挠度曲钱方程。設有n个横向荷重Q1,Q2,·,2, 各距梁的右端为c1,c2,·,cn(c1<c2<·<cn).于是，运用 对于一个横向荷重的方程(1.7)及(1.8)，在荷重2m与Qm+1之間 ·8
的挠度曲钱方程为 y= sin kx PR sin kl 0,m一吾 i=1 Q.c.t +sink(1-x) 2isin k(1-ci)- PR sin Rl :m1 Pl iam1 2.(1-c). (1.19) 同样，运用方程(1.9)至(112)，我們可以得到挠度曲後的斜率及 梁任一截面的弯矩.如是，运用在形式上修改了的迭加法，計算 梁在多个横向荷重及軸向力共同作用下的挠度的一般間題就解决 了. 51.5.速横横向荷重 前一节所逃的迭加法，也可以用于連續分布的荷重.前一节 的公式可用于这情形，只 -9 須以积分代替和号.考虑 P WIIII P 一有均布横向荷重作用的 Yqdc 两端铰支的压杆（图1.5）. 股9为横向荷重的強度， c为自右端支座至連續荷 图1.5 重元qdc的可变距离.这荷重元可魂作一无限小的集中荷重，而 这均布荷重可以用一系列这样无限小的集中荷重来代楷.于是， 运用方程(1.19)，并以由0至1一￥的积分代替i=1至i=m的 求和，以1一x至1的积分代替由：=m+1至i=n的求和，得 y= sin Rx PRsin kl Jo ，qsinke de-xf +sin k(l-x) PR sin Rl Ji- qsink(1-c)de- (a) 积分以后井运用記号(1.13)，我門得到下列挠度曲钱方程： 。94
24x y=- 16EIu x(1-x).(1.20） 8EI1 将x=/2代入方程(1.20)，便得梁中点的挠度.用了一些变 换，可将桔果表示为 6=(0)ln=,512(2sc4-2-2=5gt 384EI 5u 384E77(a). (1.21) 这方程右边的第一个因子，表示横向荷重单独作用时在中点所产 生的挠度，第二个因子(“)表明了軸向压力P对于中点挠度的影 响.将sc“展成級数卸可証明，当4趋近于零时，第二个因子趋 近于1；而当“趋近于π/2时，郎当P趋近于临界值[方程(1.15)] 时，第二个因子将无限地增大.如是，軸向力P对挠度的影响与4 的值有关，即与P/Pc:的值有关[参閱方程(1.16)].如果这比值很 小，則P对于挠度的影响也很小，但当这比值趋近于1时，P的影 响将很快地增大。对于其他种类的横向荷重，也可以得到同样的 桔論.在附录的表A-2中列出了因子(4)的值. 計算方程（1.20)的导数，便可以得到挠度曲钱的斜率的一般 表达式，在以后研究固定端的杆时，我們将用到杆两端的斜率。 将x一0代入上述斜率的表达式，可以証明，杆左端的斜率（即等 于骸端的微小轉角)为 4 ），=0=,23an,-0=,g2x().(1.22) dx 24EI 24 EI 右边的第一个因子，是当只有均布荷重作用于梁时梁左端斜率的 表达式，第二个因子X(“)表示軸向力P对斜牵的影响.前已証明， 当“趋近于零时，因子X()趋近于1，而当“趋近于x/2时，郎当 P趋近于临界值时，它将无限地增大. 为了計算最大弯矩，必须計算挠度y的方程(1.20)的二阶导 数.最大弯矩系在跨度的中点，其大小为 Mae)n cn ）=9'21cos0=gx(w).(1.23) 8 ·10
这一精果，亦可由釉向力的弯矩P8与弯矩火相加而得到。将 式(1.21)的8的值代入，我們得到 Ma.=g+,5a12(2sc2-2p; 8384EI 5w1 将P=EI代入此式并用配号(1.13)，郎可将这結果化为式 (1.23). 式（1.23)的第一个因子，表示只有均布荷重作用时所产生的 弯矩.第二个因子为軸向力P对于最大弯矩的影响。以前會提及 (参閱7真)，对于很小的比值P/P,因子λ()趋近于1，而当P 趋近于P时，則将无限地增大 計算挠度的迭加法也可以应用于荷重只分布于跨度的一部分 的情形（图1.6）.例如，要得到荷重左边的这段梁的挠度曲後，我 們用对集中力的方程(1.7).由荷重元qdc所产生的挠度，可在 方程(1.7)中以qdc代替Q而得到.要得到总的荷重所产生的挠 度，我們必須自c一a到c=b进行积分.这样，我們得到如下形 式的梁左段的挠度曲辍： y= qdc sin ke sin kx-x o gode (b) Ja Pksin kl a Pl 9、 m -1 (c) go 1b) 图1.6 -110
如果有必要求出在荷重范围内的任一点m的挠度（图1.64），对于 m右边的荷重我們用方程(1.7)，对于m左边的荷重我們用方程 (1.8).于是所求的挠度为 y= (qde sin ke sin kx-x).Pl (-*gcdc J。Pk sin kl +作9 de sink(-c）sin(1-x）- J1-Pksin kl gdc(1-c)1-x） (c) J1- 按此进行积分，邮得荷重下的挠度曲钱。将a=0,b=1代入，即 得到对均布荷重的梁的方程(1.20). 若9不是常数而是c的某一函数，我們可将9这已知的函数 代入方程(b)和(c)而得到挠度曲镜.例如图1.6b所示的情形，将 q一qoc/1代入方程(c),并使a=0,b=l,卸得挠度曲钱. 对于以上诸例，梁-柱的桡度曲线系由解微分方程(1.3)，或由其些已知 结果迭加而得.决定挠度曲线的另一途径，是从微分方程(1.5)着手。例 G 如，对于图1.5所示的强度为9的均匀荷重梁，方程为 剧杂+尝 2=9. 这方程的通解为 y4sinkx+cs kC 2P> (d) 式中的A,B,C,D为积分常数，须由梁的端点条件来决定.由于在杆端挠度 与弯矩均为霉，端点条件为 y=义=0，当x=0,x=1 由x=0处的两条件，得到 B-0=n: 由x=I处的条件，得到 4-名”，c=-器 将这些常数值代入方程(d),即得梁-柱的挠度曲线方程.运用了三角函数的 ·12