数 理 着考处 考虑到式(6.32),则有 DFS[Sin(nmoo)]=DfS(emdo-e o) JN [S、(k+m)-6(k-m)(63.4) 考虑到式(6.34),则有 si(m)=∑(k+m)-6(k-m) k=0
0 0 0 1 0 0 6.3.2 1 [sin( )] [ ( )] 2 [ ( ) ( )] (6.3.4) 2 6.3.4 sin( ) [ ( ) ( )] 2 jnm jnm N N N nk N NN k nm e e j jN km km j nm k m k m W ω ω ω δ δ ωδ δ − − − = = − = +− − = +− − ∑ DFS DFS 考虑到式（ ），则有 考虑到式（ ），则有
E 数 理 6.4离散傅里叶变换 着考处 考虑到周期为N的周期序列x(n)的傅里叶级数 的系数Y(k)频域描述)也是一个周期为N的周期 序列,只要知道周期序列一个周期的内容,则它 的其他内容也知道了,所以周期序列只有N个序 列值(而不是无穷个序列值)有信息,(n)的正 逆变换仅取N点序列值求和正说明这一意义。因 而周期序列和有限长序列有着本质的联系
6.4离散傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) N xn X k N N x n N 考虑到周期为 的周期序列 的傅里叶级数 的系数 （频域描述）也是一个周期为 的周期 序列，只要知道周期序列一个周期的内容，则它 的其他内容也知道了，所以周期序列只有 个序 列值（而不是无穷个序列值）有信息， 的正 逆变换仅取 点序列值求和正说明这一意义。因 而周期序列和有限长序列有着本质的联系
数 理 21、离散傅里叶变换 着考处 若x(m)是n定义在0到N-1点的有限长序列,即满足 x(n=x(nR(n) (6.4.1) 离散傅里叶变换(DFT)是有限长序列的频域表示,其定义如下 正变换:X(k)=DFTx(m)=D∑x(n)W]R(k) ∑n)Wx"]R(k)=X(k)R、(k) (642) 式中,W=e2mN 逆变换:x(On)=DFTX(=[∑Y(形]R(m) X(RWN R(n)=x(n)RN( (64.3) 式中,W=e12
1、离散傅里叶变换 ( ) 1 0 0 () 0 1 ( ) ( ) ( ) (6.4.1) ( ) [ ( )] [ ( ) ] ( ) [ () ] () N N nk N N n N nk N N n xn n N xn xnR n X k x n x nW R k x nW R k − = − = − = = = = ∑ DFT DFT 若 是 定义在 到 点的有限长序列，即满足 离散傅里叶变换 是有限长序列的频域表示，其定义如下： 正变换： 1 2 1 0 1 0 2 ( ) ( ) (6.4.2) 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ] ( ) 1[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) (6.4.3) N j N N N nk N N k N nk N N N k j N N XkR k W e xn X k X kW R n N X kW R n xnR n N W e π π − − − = − − = − = = = = = = = ∑ ∑ ∑ IDFT 式中， 逆变换： 式中
数 理 22、离散傅里叶逆变换的另一种形式 着考处 考虑到式(642),则有 x(n)=DFTIX (k)r 1 s X(kWN]R,(n) N N>x(W丁R(m)=(DFX( ap x(n)=IDFTIX(k)]=-DFTX(k)1 (6.4.4) N 式(644)表明,求一个序列的IDFT等价于先求其共轭, 再求其DFT,最后将结果取共轭后再除以DFT的宽度
2、离散傅里叶逆变换的另一种形式 1 0 1 0 6.4.2 1 ( ) [ ( )] [ ( ) ] ( ) 1 1 [ ( ) ] ( ) { [ ( )]} 1 ( ) [ ( )] { [ ( )]} (6.4.4) 6.4.4 N nk N N k N nk N N k k k xn X k X kW R n N X kW R n X k N N xn X k X k N − − = − ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = = = = = = ∑ ∑ IDFT DFT IDFT DFT IDFT DFT 考虑到式（ ），则有 即 式（ ）表明，求一个序列的 等价于先求其共轭， 再求其 ，最后将结果取共轭后再除以 的宽度。 DFT
数 理 着考处 通过比较周期序列(n)的频谱Y(k)及n定义在0到N-1 点的有限长序列x(n)的频谱X(k),可知周期为N的周期序列 (m)DFS与n定义在0到N-1点的有限长序列x(n)的DFT之 间的具有下述关系 若(m)<DS>X(k) (64.5) 则(n)R(m)=x(n)<>X(k)=X(k)R(m)(646) 式(646)表明,若序列x(n)是取周期序列(n)的主值 序列的结果,则其变换X(k)也是取周期序列X(k)主值序列 的结果。时域上一个有限长序列是作为周期序列的一个周 期来表示的,频域上一个有限长序列也是作为周期序列的 个周期来表示的,它们均隐含有周期性
() () 0 1 () () ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) (6.4.5) () () () ( N xn X k n N xn X k N xn n N x n xn X k xnR n xn X k − − ←⎯⎯→ = ←⎯⎯→ DFS DFT DFS DFT 通 过 比 较 周 期 序 列 的频谱 及 定义在 到 点 的 有 限 长 序 列 的 频 谱 ，可 知 周期为 的周期序列 的 与 定义在 到 点的有限长序列 的 之 间 的 具有下述关系 若 则 ) ( ) ( ) (6.4.6) 6.4.6 ( ) ( ) ( ) ( ) XkR n N x n x n X k X k = 式 （ ） 表 明，若序列 是取周期序列 的主值 序 列 的 结 果，则 其 变换 也是取周期序列 主值序列 的 结 果 。 时 域 上 一 个 有 限 长 序 列是作为周期序列的一个周 期 来 表示的，频域上一个有限长序列也是作为周期序列的 一 个 周期来表示的，它们均隐含有周期性