《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 数列极限

定义设(αn}为一数列，a为一定数。若对于给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时有an -al<成立,则称数列(an 收敛于a,称定数a是数列(an)的极限，记为lima, =a, 或a, →a (n→).如果数列没有极限，就说数列是发散的注意：1.不等式x，-α<ε刻划了x,与a的无限接近2.N与任意给定的正数&有关

注意： 定 义 设{ }n a 为一数列，a为一定数。若对于给定 的正数(不论它多么小) ,总存在正整数 N ,使 得 对 于n  N 时 有 a − a   n 成 立,则称数列{ }n a 收敛于a,称定数a是数列{ }n a 的极限,记 为 lima a, n n = → 或a → a (n → ). n 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.不等式x a 刻划了x 与a的无限接近; n n −   2.N与任意给定的正数有关

8 - N定义: lim x, = a V>0,3N>0,使n>N时,恒有x,-α<8.其中 √：每一个或任给的；日：至少有一个或存在几何解释28a+εa-ε1xXN+2X3X, X, XN+1a当n>N时,所有的点x,都落在(a-ε,a+ε)内只有有限个(至多只有N个)落在其外

 − N定义: 1 x a xN +2 x 2 x xN +1 3 x 几何解释: 2 a −  a +  ( ) . , ( , ) , 只有有限个 至多只有 个 落在其外 当 时 所有的点 都落在 内 N n  N x n a −  a +   :每一个或任给的; :至少有一个或存在. 0, 0, , . lim      −   =  → N n N x a x a n n n 使 时 恒 有 其中

极限定义的瓣析V>0,3N>0,使n>N时,恒有xn-α<2cN>0,对V>0,使n> N时,恒有xn-α<8.对Vε>0，都有无穷多项xn满足不等式xn-α<ε.对Vε>0，都只有有限项xn满足不等式xn-α≥ε

  0,N  0, n  N , x − a  2. 使 时 恒有 n N  0,   0 n  N , x − a  . 对 ，使 时 恒有 n   0 x x − a  . 对 ，都有无穷多项 n 满足不等式 n   0 x x − a  . 对 ，都只有有限项 n 满足不等式 n 极限定义的辨析：

1例1证明lim0=(kn-→>n证 1x,-0-号-0-元任给8>0,要x,-0<8,只要一<8,或n>一nS所以，取N=Il, 则当n> N时,Cx,-0<8,即 limn-→ n

例1 0. 1 lim = → k n n 证明 证 xn −0 k k n n 1 0 1 = − = 任给  0, − 0   , 要xn , 1   k n 只要 , 1 1 k n  或  所以, ], 1 [ 1 k N  取 = 则当n  N时, 1. 1 lim = → k n n xn − 0   , 即

3n?例2 证明 lim= 3.22 -3n-→8 n99-1证 x,-3-(n>3)n-3n99任给>0,要x,-3<ε，只要=<8，或n>n8所以, 取N =max(3,~), 则当n> N时,83n?[x, -3|<8,即 lim= 3.m n? - 3

例2 3. 3 3 lim 2 2 = → n − n n 证明 证 xn −3 ( 3) 9 3 9 3 3 3 2 2 2   − − = − = n n n n n 任给  0, − 3   , 要xn , 9   n 只要 , 9  或n  所以, }, 9 max{3,  取N = 则当n  N时, − 3   , xn 3. 3 3 lim 2 2 = → n − n n 即