第33届物理决赛理论题解 从而惯性系0系中质心C的加速度可表示为 dox=as+ac',acy =asy+ao 1①-2 【或者考虑非惯性力，在非惯性系B系中运用牛顿第二定律得到： -mcos0+T--a,sin(0,-0)+co(0-0) (al) -mg sinco(0)sin(-0) (a2) 与解法三类似，由⑧(al)式可消去T,解得a4,带入(a2)可解得a,。 】 第三题解答： ()在火星某高度方处的大气中划出一水平放置的薄盒子区域。该区域体积为V,其内部大 气质量为M,压强为P(),温度为T()。由于盒子很薄，可认为气体的密度、压强、温 度都是常量。由理想气体状态方程有 P(h)V=nRT(h)● ① 盒子内部火星大气的体积为 ② 盒子内部火星大气的摩尔数为 ③ 由①②③式得 T(h)=P(h)u ④ P(h)R 现计算P(): 【解法1】考虑高度为x到x+,所占立体角为△2的球冠状薄大气壳层；取△2很小， 以至于球冠薄大气壳层的侧面上的径向直线可视为相互平行。由受力分析知 (Px)+dP)△2(R+x)'+px)g(x)△2R+x)dr=P(x)△2R+x)2⑤ 在⑤式中只保留到的一阶项，有 dp=-p(x)g(x)dx ⑥ 在火星高度h处，重力加速度大小为 g)-GM。 ⑦ (R.+h) 代入⑥式并积分得 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
第三题解答： 第33届物理决赛理论题解 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理 Ye Bangjiao
第33届物理决赛理论题解 A=6元+ ⑧ 【解法2】考虑高度为x到x+,与火星中心张角为a的球冠状壳层，如解题图ā所示。 分析其在球冠中心轴方向的受力，设作用在上层球冠上的大气压力竖直向下的分力的大小为 E,壳层大气的重力的大小为E2,则 F:=[2(R +x+dx)'sin[P(x)+dP]cos0d0. F:=GM2(sinocos0dp(x)do (R+x) 式中，P(x)为x高度处的压强，P()+dP为高度x+d处的压强。 解题图a 设作用在下层球冠上的大气压力竖直向上的分力的大小为F!, 作用在边缘锥带上的大气压力竖直向上的分力的大小为F,则 E,=∫2π(Rn+x)'sin0P(x)cos0u0, F2 =(R+x)sina.2rdxP(x)sina. 由竖直方向上受力平衡，得 F,+F2=F:+F2 保留到dx项，得 dP=-p(x)g(x)dx ⑥ 因此有 P(h)=GM P(x) -dx ⑦ (R+x 将⑦式代入④式并利用题给大气密度表达式，积分得 TM=uGM。 ⑨ nR(R+h) (2)以初始释放时刻为计时零点，设在时刻1着陆器高度为h(),着陆器的速度和加速度 大小分别为v(t)和()。设其受到的大气阻力为向上，大小为F。, F,=kp(h()o(1) ⑩ 忽略大气对着陆器的引力，着陆器受到的火星引力F为 F GM m, ① (K+h() 由题意，可不考虑大气的浮力。根据牛顿第二定律有 F。-F=m,) ② 由⑨⑩①2式得 m,)=kp(h0)o0- GM m 3 (R.+h() 由题意，密度和重力加速度可近似为火星表面的值，故③式可近似为 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
第33届物理决赛理论题解 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理 Ye Bangjiao
第33届物理决赛理论题解 ()=kP():_GM ④ 积分得 ()= GMm tanh KP.GM-(+C) ⑤ VkPoR Rm 其中C为待定常数。由初始条件(1=0)=0可知，C=0。由此得， 着陆器落到火星表面 时相对于火星的速度为 o4)= GM m tanh kP.GMst ⑥ kPoR R'm 第四题解答： (1)该束激光的频率 v=C=3.61×104Hz ① 入射激光的强度 =1.77×100w/m ② d 个 2 (2)金纳米球颗粒的质量 m=-πR'p=8.09×10kg (3 该颗粒绕其过球心的转轴的转动惯量 J=. mR =3.24×101kgm 5 (3)金纳米球颗粒在d山/时间内吸收的光的能量 dE=Iod山 ⑤ 一个光子的能量为，因此金颗粒在d/时间内吸收的光子数 dN=dEa=I dr hyhy 根据角动量守恒定律，一个光子被颗粒吸收后，将角动量h转移到颗粒上。在r时间内，金 颗粒总角动量的改变量 dl=hdN=Ioa dr ⑦ 2πv 根据角动量定理，由光产生的扭转力矩大小为 M=业-/g=3.02×10Nm ⑧ dt 2xv (4)金纳米球颗粒的旋转达到稳定状态的条件是：作用在金纳米球颗粒上的合力矩为零， 即光施加在颗粒上的力矩大小M与水施加在颗粒上的粘滞摩擦力矩大小M,相等 M-M=0 ⑨ 由已知的摩擦力矩表达式与⑧⑨式得金纳米球颗粒达到稳定旋转时的转速 0=16=2.39×102s 23nR'v ⑩ 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理
第四题解答： 第33届物理决赛理论题解 中国科学技术大学物理学院叶邦角教授整理 Ye Bangjiao