第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法 练习题 1、请描述平稳时间序列的条件。 2、单整变量的单位根检验为什么从DF检验发展到ADF检验? 3、设x1=5coO+nsn,0≤≤1,其中5,n是相互独立的正态分布N(0,a2)随机变 量,日是实数。试证:{x,0≤1≤1}为平稳过程。 4、用图形及Q法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性,数据如下: 年份居民消费总额 年份 居民消费总额 年份 居民消费总额 1759.1 1987 5961.2 26944.5 1979 2005.4 1988 7633.1 32152.3 1980 2317.1 1989 8523.5 1997 34854.6 1981 2604.1 1990 9113.2 1998 36921.1 1982 2867.9 1991 10315.9 1999 39334.4 1983 3182.5 1992 12459.8 2000 42895.6 1984 3674.5 1993 15682.4 2001 45898.1 1985 4589 1994 20809,8 2002 48534.5 1986 5175 5、利用4中数据,用ADF法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验 6、利用4中数据,对居民消费总额时间序列进行单整性分析。 7、根据6中的结论,对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别 8、用 Yule Walker法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序 列模型估计,并比较估计结果 有如下AR(2)随机过程 X,=0.1X,+0.06X,,+E 该过程是否是平稳过程? 10、求MA(3)模型y1=1+l+0.81-1-0.5-2+0.311-3的自协方差和自相关函数。 11、设动态数据x1=08,x2=0.7,x3=0.9,x4=0.74,x5=0.82,x6=0.92,x7=0.78, x8=0.86,x0=0.72,xo=084,求样本均值x,样本方差,样本自协方差1、2和样 本自相关函数P1、P2 12、判断如下ARMA过程是否是平稳过程: x2=0.7x-1-0.1x-2+E1-0.14E1-1 13、以Q2表示粮食产量,A表示播种面积,C表示化肥施用量,经检验,他们取对数后
第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 练习题 1、 请描述平稳时间序列的条件。 2、 单整变量的单位根检验为什么从 DF 检验发展到 ADF 检验？ 3、设 x = cos t + sin t,0 t 1, t 其中 ， 是相互独立的正态分布 N(0, 2 )随机变 量， 是实数。试证：{ xt ,0 t 1 }为平稳过程。 4、 用图形及 QLB 法检验 1978-2002 年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下： 年份 居民消费总额 年份 居民消费总额 年份 居民消费总额 1978 1759.1 1987 5961.2 1995 26944.5 1979 2005.4 1988 7633.1 1996 32152.3 1980 2317.1 1989 8523.5 1997 34854.6 1981 2604.1 1990 9113.2 1998 36921.1 1982 2867.9 1991 10315.9 1999 39334.4 1983 3182.5 1992 12459.8 2000 42895.6 1984 3674.5 1993 15682.4 2001 45898.1 1985 4589 1994 20809.8 2002 48534.5 1986 5175 5、 利用 4 中数据，用 ADF 法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。 6、 利用 4 中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。 7、 根据 6 中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。 8、 用 Yule Walker 法和最小二乘法对 7 中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序 列模型估计，并比较估计结果。 9、 有如下 AR(2)随机过程： Xt Xt Xt t = + + −1 06 −2 0.1 0. 该过程是否是平稳过程？ 10、求 MA(3)模型 1 2 3 3 1 0.8 0.5 0. t = + ut + ut− − ut− + ut− y 的自协方差和自相关函数。 11、设动态数据 0.8, 0.7, 0.9, 0.74, 0.82, 0.92, x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 0.78, x7 = 0.86, 0.72, 0.84, x8 = x9 = x10 = 求样本均值 x ，样本方差 0 ˆ ，样本自协方差 1 ˆ 、 2 ˆ 和样 本自相关函数 1 ˆ 、 2 ˆ 。 12、判断如下 ARMA 过程是否是平稳过程： 1 2 14 1 0.7 0.1 0. t = t− − t− + t − t− x x x 13、以 Qt 表示粮食产量， At 表示播种面积， Ct 表示化肥施用量，经检验，他们取对数后
都是I(1)变量且相互之间存在CI(1,1)关系。同时经过检验并剔除了不显著的变量(包 括滞后变量),得到如下粮食生产模型: In Q=ao+a, In @-+a2 In A +a, InC+a2 In+u 推导误差修正模型的表达式,并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。 14、固定资产存量模型K1=a0+a1K/+a21l1+a31l-1+1中,经检验 K,~(2),l~I(1),试写出由该ADL模型导出的误差修正模型的表达式。 15、以下是天津食品消费相关数据,试完成误差修正模型的建立 年份人均食物年支出人均年生活费收入职工生活费用定基价格指数 97.92 118.08 198 1.2540594 121.92 203 1.275378 132.96 211.6 1.275378 123.84 20628 1.27282 1957 137.88 1.295738 1958 138 1.28148 19 45.08 1.280203 143.04 1.29684 155.4 1.44598 999999 144.24 1.44887 132.72 1.41120 136.2 1.3448 239 1.297807 237 1.2860 144. 1.2745 151 274.08 1.271967 197 163.2 286. 1.2719 1973 1.277055 1974 170.52 293.52 1.27322 1975 170.1 01.92 1.27449 1976 313 1.274497 181.56 330. 1.278321 1978 200.4 361.4 1.278321 219.6 398.76 1.291104 260.76 491.76 1.3569 271.08 1.374591 290.28 1.381464 318.48 552.7 388371 671 4133
都是 I（1）变量且相互之间存在 CI（1，1）关系。同时经过检验并剔除了不显著的变量（包 括滞后变量），得到如下粮食生产模型： Qt = 0 +1 Qt−1 + 2 At + 3 Ct + 4 Ct−1 + t ln ln ln ln ln 推导误差修正模型的表达式，并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。 14 、 固 定 资 产 存 量 模 型 t t t t t K = 0 +1K −1 + 2 I +3 I −1 + 中 ， 经 检 验 ， K ~ I(2),I ~ I(1) t t ，试写出由该 ADL 模型导出的误差修正模型的表达式。 15、以下是天津食品消费相关数据，试完成误差修正模型的建立 年份 人均食物年支出 人均年生活费收入 职工生活费用定基价格指数 1950 92.28 151.2 1 1951 97.92 165.6 1.145 1952 105 182.4 1.16332 1953 118.08 198.48 1.254059 1954 121.92 203.64 1.275378 1955 132.96 211.68 1.275378 1956 123.84 206.28 1.272827 1957 137.88 225.48 1.295738 1958 138 226.2 1.281485 1959 145.08 236.88 1.280203 1960 143.04 245.4 1.296846 1961 155.4 240 1.445984 1962 144.24 234.84 1.448875 1963 132.72 232.68 1.411205 1964 136.2 238.56 1.344878 1965 141.12 239.88 1.297807 1966 132.84 239.04 1.287425 1967 139.2 237.48 1.2797 1968 140.76 239.4 1.27842 1969 133.56 248.04 1.286091 1970 144.6 261.48 1.274516 1971 151.2 274.08 1.271967 1972 163.2 286.68 1.271967 1973 165 288 1.277055 1974 170.52 293.52 1.273224 1975 170.16 301.92 1.274497 1976 177.36 313.8 1.274497 1977 181.56 330.12 1.278321 1978 200.4 361.44 1.278321 1979 219.6 398.76 1.291104 1980 260.76 491.76 1.35695 1981 271.08 501 1.374591 1982 290.28 529.2 1.381464 1983 318.48 552.72 1.388371 1984 365.4 671.16 1.413362
1985 418.92 1.598512 1986 517.56 988.4 1.707211 1987 577.92 1094 1.823301 665.76 1231. 2.131439 1374 2.44476 1990 833.76 2.51810 参考答案 1、如果时间序列{X,}满足下列条件: 1)均值E(X,)=与时间t无关的常数 2)方差var(X1)=G2与时间t无关的常数 3)协方差 cOM(X,X)=yk只与时期间隔k有关,与时间t无关的常数 则称该随机时间序列是平稳的。 2、在使用DF检验时,实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程 (AR(1))生成的。但在实际检验中,时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的,或者 随机误差项并非是白噪声,这样用ωLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关,导致 DF检验无效。另外,如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势(如上升或下降), 则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪 声特性, Dicky和 Fuller对D检验进行了扩充,形成了ADF检验 3, E(x,)=CoS BE(+sin BE(n=0 rk=e(xkx=eils cose(t +k)+nsin A(t+k)[s cosA +nsin a9 cos O(t+k)cos AE()+sin g(t +k)sin ArE(n)+cose(t+k)sin AE(n)+sin A(t+k)cos AE(En) g [ e(t+k)cos At +sin g(t+ k)sin a] =a coS k8 ar(X1)=1 所以{x,0≤≤1}为平稳过程 4、居民消费总额时间序列图
1985 418.92 811.8 1.598512 1986 517.56 988.44 1.707211 1987 577.92 1094.64 1.823301 1988 665.76 1231.8 2.131439 1989 756.24 1374.6 2.44476 1990 833.76 1522.2 2.518103 参考答案 1、如果时间序列{ Xt }满足下列条件： 1）均值 E(Xt ) = 与时间 t 无关的常数； 2）方差 2 var( Xt ) = σ 与时间 t 无关的常数； 3）协方差 Xt Xt k k = + cov( ) 只与时期间隔 k 有关，与时间 t 无关的常数。 则称该随机时间序列是平稳的。 2、在使用 DF 检验时，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程 （AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者 随机误差项并非是白噪声，这样用 OLS 法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致 DF 检验无效。另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降）， 则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证 DF 检验中随机误差项的白噪 声特性，Dicky 和 Fuller 对 DF 检验进行了扩充，形成了 ADF 检验。 3、E（ t x ）= costE() + sin tE() = 0 k t k t t k t t k t E t k t E t k t E t k t E r E x x E t k t k t t k t k t cos [cos ( ) cos sin ( )sin ] cos ( ) cos ( ) sin ( )sin ( ) cos ( )sin ( ) sin ( ) cos ( ) ( ) {[ cos ( ) sin ( )][ cos sin ]} 2 2 2 2 = = + + + = + + + + + + + = + = + + + + 2 0 var( Xt ) = r = 所以{ xt ,0 t 1 }为平稳过程 4、居民消费总额时间序列图：
50000 40000 30000 20000 10000 序列图表现出了一个持续上升的过程,即在不同的时间段上,其均值是不同的,因此可初步 判断是非平稳的。 居民消费总额时间序列相关图及相关系数、QLB统计量: Autocorrelation Partial Correlation AC Pac Q-Stat 10.888088822.202 20.7670.10539478 306420.08752.113 40518006860.729 50391-00965885 602600.11068289 70.1300.10068922 80.016003468932 900750m0389.170 10-0.145000670.117 110.200002572042 120246005275.18 从图中可以看出,样本自相关系数是缓慢下降的,表明了该序列的非平稳性。滞后12期的 QLB统计量计算值为75.18,超过了显著性水平5%时的临界值21.03,因此进一步否定了该 时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。这样,结论是19782002年间 居民消费总额时间序列是非平稳序列 5、经过偿试,模型3取了3阶滞后 △X1=-89485+195.147-0.06X1+1.24△X1-0.78AX-2+0.23△X3 -1.37)(2.17)(-1.68)(5.17)(-2.33)(0.94) DW值为2.03,可见残差序列不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。 从X的参数值看,其t统计量的绝对值小于临界值绝对值,不能拒绝存在单位根的
0 10000 20000 30000 40000 50000 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 X 序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步 判断是非平稳的。 居民消费总额时间序列相关图及相关系数、 QLB 统计量： 从图中可以看出，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。滞后 12 期的 QLB 统计量计算值为 75.18，超过了显著性水平 5%时的临界值 21.03，因此进一步否定了该 时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为 0 的假设。这样，结论是 1978~2002 年间 居民消费总额时间序列是非平稳序列。 5、经过偿试，模型 3 取了 3 阶滞后： 1 1 2 23 3 894.85 195.14 0.06 1.24 0.78 0. Xt = − + T − Xt− + Xt− − Xt− + Xt− （-1.37） (2.17) (-1.68) (5.17 ) (-2.33) （0.94） DW 值为 2.03，可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。 从 Xt−1 的参数值看，其 t 统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的
零假设。同时,由于时间T的t统计量也小于ADF分布表中的临界值,因此不能拒绝不存在 趋势项的零假设。需进一步检验模型2 经试验,模型2中滞后项取3阶: A1=40161+0.01X1+143△x-1-0.95△X2+0.30△X-3 (1.38)(0.33) (5.84)(-2.62)(1.14) DW值为2.01,模型残差不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。从X,1的参数值看, 其t统计量为正值,大于临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。同时,常数项的t统计量 也小于ADF分布表中的临界值,因此不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。 经试验,模型1中滞后项取3阶: △X,=001X-1+1.53△X21-102Ax-2+035AX-3 (0.63)(6.3 DW值为1.99,残差不存在自相关性,因此模型的设定是正确的。从X-1的参数值看,其t 统计量为正值,大于临界值,不能拒绝存在单位根的零假设 至此,可断定居民消费总额时间序列是非平稳的 6、利用ADF检验,经过试算,发现居民消费总额是2阶单整的,适当的检验模型为 △X1=-0.8542X21+0471AX1 (-3.87) (2.30) Correlogram-Q-Statistics检验证明随机误差项已不存在自相关。从△2X,的参数值看 其t统计量绝对值3.87大于临界值的绝对值,所以拒绝零假设,认为居民消费总额的二阶 差分是平稳的时间序列,即居民消费总额是2阶单整的。 7、居民消费总额经二阶差分后的新序列X2的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如 图所示
零假设。同时，由于时间 T 的 t 统计量也小于 ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在 趋势项的零假设。需进一步检验模型 2 。 经试验，模型 2 中滞后项取 3 阶： 1 1 2 30 3 401.61 0.01 1.43 0.95 0. Xt = + Xt− + Xt− − Xt− + Xt− （1.38） (0.33) (5.84) (-2.62) （1.14） DW 值为 2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从 Xt−1 的参数值看， 其 t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，常数项的 t 统计量 也小于 ADF 分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型 1。 经试验，模型 1 中滞后项取 3 阶： 1 1 2 35 3 0.01 1.53 1.02 0. Xt = Xt− + Xt− − Xt− + Xt− （0.63） (6.35) (-2.77) (1.29) DW 值为 1.99，残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从 Xt−1 的参数值看，其 t 统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 至此，可断定居民消费总额时间序列是非平稳的。 6、利用 ADF 检验，经过试算，发现居民消费总额是 2 阶单整的，适当的检验模型为： 1 3 1 3 2 Xt = −0.854 Xt− + 0.471 Xt− （-3.87） （2.30） Correlogram-Q-Statistics 检验证明随机误差项已不存在自相关。从 1 2 X t− 的参数值看， 其 t 统计量绝对值 3.87 大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶 差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是 2 阶单整的。 7、居民消费总额经二阶差分后的新序列 X2 的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如 图所示：