第六章经典联立方程计量经济学模型:理论与方法 、内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的,旨在在讨论多个经济变量 相互影响的错综复杂的运行规律,或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题 本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基 本概念,包括内生变量、外生变量、前定变量的概念:结构式模型、简化式模型的概念:随 机方程、恒等方程的概念;行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方 程等相关概念。 本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识 别的类型(不可识别、恰好识别、过渡识别)、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别 条件以及实际应用中的经验识别方法 本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三 个方面的问题。一是随机解释变量问题,即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关 的随机解释变量:二是损失变量信息的问题,即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变 量所提供的信息;三是损失方程之间的相关性信息问题,即以单方程方法估计模型时会损失 不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次,需要掌握联立模型两大类估计方法 中的主要估计方法,如单方程估计方法中的狭义工具变量法(IV)、间接最小二乘法(ILS) 二阶段最小二乘法(2SLS),系统估计方法中的三阶段最小二乘法(3SLS)等 本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较,以及联立方程模 型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性:后者包括拟合效果 检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。 二、典型例题分析 1、如果我们将“供给”1与“需求”Y2写成如下的联立方程的形式
第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法 一、内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量 相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。 本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基 本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随 机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方 程等相关概念。 本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识 别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别 条件以及实际应用中的经验识别方法。 本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三 个方面的问题。一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关 的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变 量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失 不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次，需要掌握联立模型两大类估计方法 中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV）、间接最小二乘法（ILS）、 二阶段最小二乘法（2SLS），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS）等。 本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模 型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果 检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。 二、典型例题分析 1、如果我们将“供给” Y1 与“需求” Y2 写成如下的联立方程的形式：
H1=a1Y2+B121+l1 1=a2Y2+B22+l2 其中,Z1、Z2为外生变量。 (1)若a1=0或a2=0,解释为什么存在H1的简化式?若a1≠0、a2=0,写出Y2 的简化式。 (2)若a1≠0、a2≠0,且a1≠a2,求Y1的简化式。这时,H2有简化式吗? (3)在“供给需求”的模型中,a1≠a2的条件有可能满足吗?请解释 解答: (1)若a1=0,则由第1个方程得:Y1=BZ1+1,这就是一个Y1的简化式; 若a2=0,则由第2个方程得:Y1=B2Z2+2,这也是一个1的简化式 若a1≠0、a2=0,则将H1=B2Z2+2代入第1个方程得: B2Z2+l2=a1Y2+B21+1 整理得 Y2 B2B ZI (2)由第二个方程得: Y2=(1-B22-2)/a2 代入第一个方程得: H1=a(x-B2Z2-2)a2+B1Z1+4 整理得 H=2 z1 B, Z u, 这就是Y的简化式。Y2也有简化式,由两个方程易得: a22+B22+l2=a1Y2+BZ1+l1 整理得 Z2 (a1-l2) (3)在“供给需求”模型中,1≠α2的条件可以满足。例如,如果第一个方程是供
1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 Y Y Z u Y Y Z u = + + = + + 其中， Z1、 Z2 为外生变量。 （1）若 1 = 0 或 2 = 0 ，解释为什么存在 Y1 的简化式？若 1 0、 2 = 0，写出 Y2 的简化式。 （2）若 1 0、 2 0 ，且 1 2 ，求 Y1 的简化式。这时， Y2 有简化式吗？ （3）在“供给-需求”的模型中， 1 2 的条件有可能满足吗？请解释。 解答： （1）若 1 = 0 ，则由第 1 个方程得： Y1 = 1Z1 + u1 ，这就是一个 Y1 的简化式； 若 2 = 0 ，则由第 2 个方程得： Y1 = 2Z2 + u2 ，这也是一个 Y1 的简化式。 若 1 0、 2 = 0 ，则将 Y1 = 2Z2 + u2 代入第 1 个方程得： 2Z2 +u2 =1Y2 + 1Z1 +u1 整理得： 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 u u Y Z Z − = − + （2）由第二个方程得： 2 1 2 2 2 2 Y = (Y − Z −u )/ 代入第一个方程得： ( ) 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 Y = Y − Z −u / + Z +u 整理得 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 Y1 Z Z u u − − − + − − − = 这就是 Y1 的简化式。 Y2 也有简化式，由两个方程易得： 2Y2 + 2Z2 +u2 =1Y2 + 1Z1 + u1 整理得 ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 Y2 Z Z u − u − + − − − = （3）在“供给-需求”模型中， 1 2 的条件可以满足。例如，如果第一个方程是供
给方程,而第二个方程是需求方程,则这里的Y就代表供给量或需求量,而y2就代表这 场价格。于是,应有a1>0,a2<0 2.一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下(省略t下标) P=do+aN,+a2S,+a,A+u Bo+B,P+B2M+1 (1)指出该联立模型中的内生变量与外生变量 (2)分析每一个方程是否为不可识别的,过度识别的或恰好识别的? (3)有与μ相关的解释变量吗?有与υ相关的解释变量吗? (4)如果使用OLS方法估计α,β会发生什么情况? (5)可以使用ILS方法估计α吗?如果可以,推导出估计值。对β回答同样的问题。 (6)逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS方法。 解答: (1)内生变量:P、N;外生变量:A、S、M (2)容易写出联立模型的结构参数矩阵 PN常量SAM B1 B000-B2 对第1个方程,(BI)=(-B2),因此,秩(BJ0)=1,即等于内生变量个数减1, 模型可以识别。进一步,联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数,恰等于该方 程内生变量个数减1,即4-3=1=2-1,因此第一个方程恰好识别。 对第三个方程,(BI0)=(-a2-a3),因此,秩(B0)=1,即等于内生变量个数 减1,模型可以识别。进一步,联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数,大于 该方程内生变量个数减1,即4-2=2>=2-1,因此第二个方程是过渡识别的 该模型对应于13.3届中的模型4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的识 别状况,该联立模型是过渡识别的 (3)S,A,M为外生变量,所以他们与μ,U都不相关。而P,N为内生的,所以他们与μ U都相关。具体说来,N与P同期相关,而P与μ同期相关,所以N与μ同期相关。另一方 面,N与v同期相关,所以P与v同期相关。 (4)由(3)知,由于随机解释变量的存在,a与β的OLS估计量有偏且是不一致的 (5)对第一个方程,由于是恰也识别的,所以间可用接最小二乘法(ILS)进行估计 对第二个方程,由于是过渡识别的,因此ILS法在这里并不适用 (6)对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计,具体步骤如下 第1阶段,让P对常量,SMA回归并保存预测值P;同理,让N对常量,S,AM回归 并保存预测值N。 第2阶段,让N对常量、P、M,作回归求第2个方程的2SLS估计值
给方程，而第二个方程是需求方程，则这里的 Y1 就代表供给量或需求量，而 Y2 就代表这市 场价格。于是，应有 1 0， 2 0。 2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略 t-下标） Pt =0 +1Nt + 2 St +3At + ut t t t t N = + P + M + v 0 1 2 （1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。 （2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？ （4）如果使用 OLS 方法估计α，β会发生什么情况？ （5）可以使用 ILS 方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。对β回答同样的问题。 （6）逐步解释如何在第 2 个方程中使用 2SLS 方法。 解答： （1）内生变量：P、N；外生变量：A、S、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵 P N 常量 S A M ( ) − − − − − − − = 1 0 2 1 0 2 3 1 0 0 1 0 对第 1 个方程， ( ) ( ) 00 = − 2 ，因此， 秩( 00 ) =1 ，即等于内生变量个数减 1， 模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方 程内生变量个数减 1，即 4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。 对第二个方程， ( ) ( ) 00 = − 2 −3 ，因此， 秩( 00 ) =1 ，即等于内生变量个数 减 1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于 该方程内生变量个数减 1，即 4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。 该模型对应于 13.3 届中的模型 4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的识 别状况，该联立模型是过渡识别的。 （3）S,A,M 为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。而 P,N 为内生的，所以他们与μ， υ都相关。具体说来，N 与 P 同期相关，而 P 与μ同期相关，所以 N 与μ同期相关。另一方 面，N 与 v 同期相关，所以 P 与 v 同期相关。 （4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的 OLS 估计量有偏且是不一致的。 （5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS）进行估计。 对第二个方程，由于是过渡识别的，因此 ILS 法在这里并不适用。 （6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下： 第 1 阶段，让 P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值 Pt ˆ ；同理，让 N 对常量，S,A,M 回归 并保存预测值 Nt ˆ 。 第 2 阶段，让 Nt 对常量、 Pt ˆ 、 Mt 作回归求第 2 个方程的 2SLS 估计值
、习题 6-1.解释下列概念: 1)联立问题 8)不可识别 2)行为方程 9)恰度识别 3)间接最小二乘法 10)过度识别 4)识别问题 11)结构式模型 5)二阶段最小二乘法 12)递归系统模型 6)三阶段最小二乘法 13)先决变量 7)简化式模型 14)参数关系体系 6-2.为什么要建立联立方程模型,联立方程模型适用于什么样的经济现象? 6-3.联立方程模型中的变量可以分为几类?其含义各是什么? 6-4.联立方程模型中的方程可以分为几类?其含义各是什么? 6-5.联立方程模型可以分为几类?其含义各是什么? 6-6.联立方程模型的识别状况可以分为几类?其含义各是什么? 6-7.结构方程可识别和不可识别的等价定义是什么? 6-8.简述结构方程识别的阶条件和秩条件的步骤 6-9.联立方程模型的估计有哪些方法?其适用条件、统计性质各是什么? 6-10.联立方程计量经济模型中结构方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计? 6-11.已知一个联立方程计量经济学模型的完备的结构式模型,如何确定其中的内生变量 先决变量、外生变量? 6-12.如何对不可识别的方程进行简单的修改使之可以识别? 6-13.为什么说ILS、IV、2SLS方法都可以认为是工具变量方法?它们在工具变量的选取 上有什么区别? 6-14.证明对于恰好识别的结构方程IS、IV、2SLS的参数估计量是等价的。 6-15.3SLS的方法步骤是什么?为什么3SLS的参数估计量比2SLS的参数估计量更有效? 6-16.理解联立方程计量经济学模型单方程估计方法与系统估计方法的概念。 6-17.写出结构模型的一般形式和结构参数矩阵
三、习题 6-1．解释下列概念： 1) 联立问题 2) 行为方程 3) 间接最小二乘法 4) 识别问题 5) 二阶段最小二乘法 6) 三阶段最小二乘法 7) 简化式模型 8) 不可识别 9) 恰度识别 10) 过度识别 11) 结构式模型 12) 递归系统模型 13) 先决变量 14) 参数关系体系 6-2．为什么要建立联立方程模型，联立方程模型适用于什么样的经济现象？ 6-3．联立方程模型中的变量可以分为几类？其含义各是什么？ 6-4．联立方程模型中的方程可以分为几类？其含义各是什么？ 6-5．联立方程模型可以分为几类？其含义各是什么？ 6-6．联立方程模型的识别状况可以分为几类？其含义各是什么？ 6-7．结构方程可识别和不可识别的等价定义是什么？ 6-8．简述结构方程识别的阶条件和秩条件的步骤。 6-9．联立方程模型的估计有哪些方法？其适用条件、统计性质各是什么？ 6-10．联立方程计量经济模型中结构方程的结构参数为什么不能直接应用 OLS 估计？ 6-11．已知一个联立方程计量经济学模型的完备的结构式模型，如何确定其中的内生变量、 先决变量、外生变量？ 6-12．如何对不可识别的方程进行简单的修改使之可以识别？ 6-13．为什么说 ILS、IV、2SLS 方法都可以认为是工具变量方法？它们在工具变量的选取 上有什么区别？ 6-14．证明对于恰好识别的结构方程 ILS、IV、2SLS 的参数估计量是等价的。 6-15．3SLS 的方法步骤是什么？为什么 3SLS 的参数估计量比 2SLS 的参数估计量更有效？ 6-16．理解联立方程计量经济学模型单方程估计方法与系统估计方法的概念。 6-17．写出结构模型的一般形式和结构参数矩阵
6-18.写出简化模型的一般形式和参数关系式的表达式。 6-19.已知简单的 Keynesian收入决定模型如下 t=do +a,y+u (消费方程) 1=B0+B1Y+B21+V1(投资方程) Y=C+l+g (定义方程) 要求:(1)导出简化型方程 (2)试证明:简化型参数是用来测定外生变量变化对内生变量所起的直接与间接的 总影响(以投资方程的简化型为例来加以说明)。 (3)试用阶条件与秩条件确定每个结构方程的识别状态:整个模型的识别状态如何? 6-20.为什么间接最小二乘法(ILS)只适用于恰好识别的结构模型? 6-21.简述二阶段最小二乘法(2SLS)的两个阶段 6-2λ.在联立方程计量经济学模型YB+Xr=U中,每个结构方程的随机误差项具有0均值、 同方差且存在一阶序列相关,每个结构方程的随机误差项之间具有同期相关。 要求:写出该联立方程计量经济学模型随机误差项的方差一协方差矩阵 6-23.某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量(y1,y2,y3)、3个外生变 量(x1,x3,x3)和样本观测值始终为1的虚变量C,样本容量为n。其中第2个方程: y2=a0+a1x1+a2y3+a3x3+l2 为恰好识别的结构方程 要求:(1)写出用IV法估计该方程参数的正规方程组 2)用LLS方法估计该方程参数,也可以看成一种工具变量方法,指出工具变量是 如何选取的,并写出参数估计量的矩阵表达式: (3)用2SLS方法估计该方程参数,也也可以看成一种工具变量方法,指出y3的工 具变量是什么,并写出参数估计量的矩阵表达式 6-24.下列为一完备的联立方程计量经济学模型: M=ao +a+a2P+u Y=Po+B,M
6-18．写出简化模型的一般形式和参数关系式的表达式。 6-19．已知简单的 Keynesian 收入决定模型如下： Ct = a0 + a1Yt + ut （消费方程） t t t t I = + Y + Y + v 0 1 2 −1 （投资方程） t t t Gt Y = C + I + （定义方程） 要求：（1）导出简化型方程； （2）试证明：简化型参数是用来测定外生变量变化对内生变量所起的直接与间接的 总影响（以投资方程的简化型为例来加以说明）。 （3）试用阶条件与秩条件确定每个结构方程的识别状态；整个模型的识别状态如何？ 6-20．为什么间接最小二乘法（ILS）只适用于恰好识别的结构模型？ 6-21．简述二阶段最小二乘法（2SLS）的两个阶段 6-22．在联立方程计量经济学模型 YΒ+XΓ=U 中，每个结构方程的随机误差项具有 0 均值、 同方差且存在一阶序列相关，每个结构方程的随机误差项之间具有同期相关。 要求：写出该联立方程计量经济学模型随机误差项的方差—协方差矩阵。 6-23．某联立方程计量经济学模型有 3 个方程、3 个内生变量（ 1 y ， 2 y ， 3 y ）、3 个外生变 量（ 1 x ， 2 x ， 3 x ）和样本观测值始终为 1 的虚变量 C，样本容量为 n。其中第 2 个方程： 2 0 1 1 2 3 3 3 u2 y = + x + y + x + 为恰好识别的结构方程。 要求：（1）写出用 IV 法估计该方程参数的正规方程组； （2）用 ILS 方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出工具变量是 如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式； （3）用 2SLS 方法估计该方程参数，也也可以看成一种工具变量方法，指出 3 y 的工 具变量是什么，并写出参数估计量的矩阵表达式； 6-24．下列为一完备的联立方程计量经济学模型： Mt = 0 +1Yt + 2Pt + u1t Yt = 0 + 1Mt + u2t