如果概率空间(2，F,P)的P零测集（即零概率事件）的 每个子集仍为事件，则称之为完备的概率空间.为了避 免P零测集的子集不是事件的情形出现，我们把概率测度完 备化.令W代表2的所有P零测集的子集的全体，由{F,W} 生成的σ代数（即包含F和W的最小σ代数）称为F的完备化， 记为下.F中的每个集合B都可以表为B=AUN,其 中A∈F,∈W,且A∩N=0.定义 11/62 P(B)=P(AUN)=P(A) 则P就被扩张到F上！ 容易验证，P是F上的概率测度，集函数P称为P的完 备化.本书总假定P是完备的概率测度， GoBack FullScreen Close Quit
11/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJV«òm(Ω, F, P)P"ˇ8(="V«Øá) záf8EèØáßK°ÉèV«òm. è ; ùP"ˇ8f8ÿ¥Øáú/—yß·ÇrV«ˇ› z. -NìLΩ§kP"ˇ8f8 Nßd{F, N } )§σìÍ (=ù¹F⁄NÅσìÍ)°èFzß Pè F. F •zá8‹B —å±LèB = A ∪ Nߟ •A ∈ F, N ∈ N , ÖA ∩ N = ∅. ½¬ P¯(B) = P¯(A ∪ N) = P(A) KP“*‹F˛. N¥yßP¯¥F˛V«ˇ›ß8ºÍP¯°èP z. ÷ob½P¥V«ˇ›.
§1.2 随机变量和分布函数 定义1.2.1设(2，F,P)是（完备的）概率空间，X是定 义在2上取值于实数集R的函数，如果对任意实数x∈ R,{w:X(w)≤x}∈F,则称X(w)是F上的随机变量，简 称为随机变量. 12/62 F(x)=P(u:X(w)≤c),-∞<x<∞ 称为随机变量X的分布函数 如果存在函数f(x),满足 F()= f(t)dt -O 则称f(x)为随机变量X或其分布函数F(x)的分布密度 GoBack 如果X具有分布密度，则称X为连续型随机变量； FullScreen Close Quit
12/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §1.2 ëÅC˛⁄©ŸºÍ ½¬ 1.2.1 (Ω, F, P)¥()V«òmßX¥½ ¬3Ω ˛äu¢Í8 RºÍ, XJÈ?ø¢Íx ∈ R, {ω : X(ω) ≤ x} ∈ FßK°X(ω)¥F˛ëÅC˛ß{ °èëÅC˛. F(x) = P(ω : X(ω) ≤ x), −∞ < x < ∞ °èëÅC˛X©ŸºÍ. XJ3ºÍf(x), ˜v F(x) = Z x −∞ f(t)dt K°f(x)èëÅC˛X½Ÿ©ŸºÍF(x)©Ÿó›. XJX‰k©Ÿó›, K°XèÎY.ëÅC˛;
项 如果X最多以正概率取可数多个值，则称X为离散型随 机变量. 定义1.2.2两个随机变量X与Y,如果满足P(w∈2： X(w)≠Y(w)=0,则称它们是等价的. 注：对于两个等价的随机变量，我们视为同一. 定理1.2.1下列命题等价： 13/62 (1)X是随机变量； (2){w:X(w)≥a}∈F,Ha∈R; (3){w:X(w)>a}∈F,Ha∈R; (4){w:X(w)<a}∈F,Ha∈R. 注：习惯上将{w:X(w)≥a}记为{X≥a} GoBack FullScreen Close Quit
13/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJXÅı±V«åÍıáä,K°Xèl—.ë ÅC˛. ½¬ 1.2.2 ¸áëÅC˛XÜY , XJ˜vP(ω ∈ Ω : X(ω) 6= Y (ω)) = 0, K°ßÇ¥ d. 5µÈu¸á dëÅC˛ß·Ç¿è”ò. ½n 1.2.1 e·K dµ (1) X¥ëÅC˛¶ (2) {ω : X(ω) ≥ a} ∈ F, ∀ a ∈ R¶ (3) {ω : X(ω) > a} ∈ F, ∀ a ∈ R¶ (4) {ω : X(ω) < a} ∈ F, ∀ a ∈ R. 5µS.˛Ú{ω : X(ω) ≥ a}Pè{X ≥ a}
定理1.2.2(1)若X,Y是随机变量，则{X<Y},{X≤ Y},{X=Y}及{X卡Y}都属于F; (2)若X,Y是随机变量，则X士Y与XY亦然； (3)若{Xn}是随机变量序列，则supn Xn,infn Xn, lim supn Xn和lim infno Xn2都是随机变量. 映射X:2→Rd,表示为X=（X1,·,Xd),若对所 有的k,1≤≤d,Xk都是随机变量，则称X为随机向量. 14/62 复值随机变量Z定义为两个实值随机变量X和Y的线性 组合X+Y. 给定随机变量X,可以生成2上的σ代数，即包含所有 形如{X≤a},a∈R的最小o代数，记为σ(X).类似可定 义由随机变量X1,·,Xn生成的代数o(X1,·,Xn) GoBack FullScreen Close Quit
14/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 1.2.2 (1) eX, Y ¥ëÅC˛ßK{X < Y }, {X ≤ Y }, {X = Y }9{X 6= Y } —·uF¶ (2) eX, Y ¥ëÅC˛ßKX ± Y ÜXY ½,¶ (3) e{Xn}¥ëÅC˛S,Ksupn Xn, infn Xn, lim supn→∞ Xn ⁄ lim infn→∞ Xn—¥ëÅC˛. NX : Ω → Rd ßL´èX = (X1, · · · , Xd)ßeȧ kk, 1 ≤ k ≤ d, Xk—¥ëÅC˛ßK°XèëÅï˛. EäëÅC˛Z½¬è¸á¢äëÅC˛X⁄Y Ç5 |‹X + iY . â½ëÅC˛Xßå±)§Ω˛σìÍß=ù¹§k /X {X ≤ a}, a ∈ RÅσìÍßPèσ(X). aqå½ ¬dëÅC˛X1, · · · , Xn)§ σìÍσ(X1, · · · , Xn).
常用的两种类型随机变量： 花 (1)离散型随机变量X的概率分布用分布列描述： pk=P(X=xk),k=1,2,... 其分布函数F(c)=∑4SrPk· (2)连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)描述， 其分布函数 15/62 F()=. (3)对于随机向量X=(X1,·,X),它的(d维)分布函数 (或联合分布函数)定义为 F(x1,·,cd)=P(X1≤c1,·,Xa≤xd) GoBack 这里d为正整数，xk∈R,k=1,2,.·,d. FullScreen Close Quit
15/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~^¸´a.ëÅC˛µ (1) l—.ëÅC˛XV«©Ÿ^©Ÿ£„µ pk = P(X = xk), k = 1, 2, · · · Ÿ©ŸºÍ F(x) = P xk≤x pk. (2) ÎY.ëÅC˛ XV«©Ÿ^V«ó›f(x)£„ß Ÿ©ŸºÍ F(x) = Z x −∞ f(t)dt. (3) ÈuëÅï˛X = (X1, · · · , Xd), ß(dë)©ŸºÍ £½È‹©ŸºÍ§ ½¬è F(x1, · · · , xd) = P(X1 ≤ x1, · · · , Xd ≤ xd) ˘pdèÍßxk ∈ R, k = 1, 2, . . . , d