nx|-=ln1+x|+C。 1[a(x+2x+2)-1a(x+ (x10+2x5+2)2 d210(x0+2x3+2)-5+(x3+1) 10(x°+2x3+2)10(x0+2x3+2)10am(x3+1)+C x5+2 10(x+2x3+2)10 arctan(x'+1)+C (16) 1)2 1(x"d 1)2 +亠 arctan x"+C。 2 2.在什么条件下,x2+bx+的原函数仍是有理函数? x(x+1) 解(x)=32+bx+可化为部分分式4、B+(+D于是 C (x+1)2 A(x+1+Bx(x+1+Cx= ax+bx +c, 要使f(x) ax2+bx +c 的原函数为有理函数,必须A=0.,B=0,由此可 得a=0.c=0 3.设p(x)是一个n次多项式,求 p (x) 解由于(x)P(x-ay,所以 (r-a)+=>P c p,(x) dx a Pn In
2 7 ln ln 1 7 = − x + x +C 。 (15) x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ∫ ∫ + + + − + + + + = 5 2 2 5 10 5 2 10 5 [1 ( 1) ] ( 1) 5 1 ( 2 2) ( 2 2) 10 1 x d x x x d x x 5 5 10 5 10 5 1 1 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10( 2 2) 10 x x C x x x x + = − − − + + + + + + 5 5 10 5 2 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10 x x C x x + = − − + + + + 。 (16) x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) = ∫ ∫ + = − + 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 2 2 2 n n n n n x x d n dx x x n 2 2 2 1 1 1 1 arctan 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n x dx x x C n x n x n x n = − + = − + + + + + ∫ 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 解 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 可化为部分分式 2 1 ( +1) + + + x C x B x A ，于是 A x + + Bx x + + Cx ≡ ax + bx + c 2 2 ( 1) ( 1) ， 要使 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数为有理函数，必须 A = 0, B = 0，由此可 得 a = 0, c = 0。 ⒊ 设 pn (x)是一个n次多项式，求 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) 。 解 由于 pn (x) =∑= − n k k k n x a k p a 0 ( ) ( ) ! ( ) ，所以 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) ∑ ∫ − + = − = 1 0 ( ) ! ( ) ( ) n k n k k n x a dx k p a 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ln !( ) ( ) ! n k n n n n k k p a p a x a C k n k x a n − − = = − + − + − − ∑ 。 191
4.求下列不定积分 dx (2) √(x-ab-x) 2 (4) dx x4+1 x+1+√x一 dh x(1+x) (8)x√1+ dx (x+ (1D (x-2)x+1)2 2D∫ 解(1) dh 2+4x 2+4x +4x)3+C (x-1)√2+4x+C (2)不妨设a<b d x arcsin √(x-ab-x) a+b、2 b 2 注:本题也可令x=acos2t+bsin2t,解得 =2 arcsin (x-a(b-x) b d-1(4(+x-x)+3在 --(2x+3)v1+x-x+=arcsin √5 192
⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ ∫ (x − a)(b − x) dx ； ⑶ ∫ + − dx x x x 2 2 1 ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x (1+ ∫ ) ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； 解（1） x x dx 2 4 + ∫ = ∫ ∫ + = + x − + xdx x xd x 2 4 2 1 2 4 2 2 4 2 1 1 3 2 4 (2 4 ) 2 12 x = + x − + x C+ 1 ( 1) 2 4 6 = −x + x +C 。 （2）不妨设a < b， ∫ (x − a)(b − x) dx ∫ + − − − = 2 2 ) 2 ) ( 2 ( a b x b a dx 2 arcsin x a b C b a − − = + − 。 注：本题也可令 x = a cos 2 t + bsin 2 t ，解得 2arcsin ( )( ) dx x a C x a b x b x − = + − − − ∫ 。 （3）∫ + − dx x x x 2 2 1 ∫ ∫ ∫ + − + + − + − − + − + − = − 2 2 2 2 2 2 1 3 1 (1 ) 2 1 1 1 x x dx x x d x x dx x x x x 1 2 7 (2 3) 1 arcsin 4 8 5 2x 1 x x x C − = − + + − + + 。 192