第十二章正弦稳态功率和能量 相电路 木章讨论正弦稳态元件及单口网络的瞬时功率、平均功率(有功功率)、无功 功率、视在功率、复功率和功率因数。正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功 率的问题,以及三相电路的基本概念。 ?12-1基本概念 1、瞬时功率p(1)定义为能量对吋间的导数,当端口电压和电 流釆用关联参考方向,它吸收的功率是由同一时刻的电压与 电流的乘积来确定的。为p(t)==,=u(t)i(t) N 正弦稳态时,端口电压和电流是相同频率的正弦量,即 u(o=Um cos(ot +Q,)=v2U cos(ot +@.) i(r)=Im cos(ot +o, )=v2/ cos(ot+@) P(r=u(oi(o=Um cos(ot+@u)Im coS(@t+o) 瞬时功率为 Unln[cos(-9)+cos(2o1+m+)22=是电压与 UI cos e,+UI cos(2ot+20, -B2) 电流的相位差。瞬时功率山一个恒定分量和一个频率为2a的正弦分量组成,周 期性变化,当p()>0时,该网络吸收功率:当p()<0时,该网络发出功率。瞬时 功率的波形如图所示。在时间间隔t与t内,给予二端元件或单口网络的能量 为 r(4)=)oh=u()-w(6) 当端口电压u()和电流)采用关联爹考方向,则p(1)就是流入元件或网络的能 量的变化率,p()称为该元件或冈络所吸收的功率。因此p(>0时,表示能量确 实流入元件或网络:p()<0时,表示能量实际上流出该元件或网络。如果元件是
电阻元件,流入的能量将变換成热能而被消耗,不可能再行流出。如果元件中动 态元件,流入的能量可以被存贮起来,在其它时刻再行流出,送回外电路 线性非时变R、L、C的功率、能量的一般关系式可由表12-1表明 端元件吸收功率 消耗功率「流入能量 存贮能量 的VAR Ri或 Ri=g R|"2或 dt dt cp()-n2( u=L 如=1Ld2 4)=P(o ?12-2电阻的平均功率 电阻元件的功率 设正弦稳态电路中,在关联参考方向下,瞬时功率为 PR(=u(ti(t) 没流过电阻元件的电压为 u(t) 其电阻两端电流为 i(t=u(U/RA 则电阻吸收的瞬时功率为 p(t=(oi(o=U cos(ot+eu-mcos(o t+eu) R =UmImcos-(t+0=-UmIm[1/ 2(wt+Bu7 其中:= p(t)≥0,U和I为电压、电流的有效值,正弦条件下有 电阻瞬时功率的波形图如下。由图可见,电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的 频率变化的,而且p(t)≥0,说明电阻元件是耗能元件
瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率,记为P。平均功率又叫有功功率 p2(t)↑ag(t),ih(t) PR(t) 电阻的平均功率 U..=/RR R 可见对于电阻元件,半玓功率的计算公式与直流电路相似。 ?12-3电感、电容的平均功率 1.电感元件的功率 在关联参考方向下,设流过电感元件的电流为 ()=√2l1 sin ota 则电感电压为 n2()=√2l1x1in(on+xy=√ U, sin((m+x 其瞬时功率为:P2(1)=t2(1)×i1(1)=2U1l2sin(O+) sin ot=U1lsin2o上式表 明,电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的:且p1(t)的值可正可负, 其波形图如下图所小。 从图上看出,当4()、(0)都为正值时或都为负值时,P(O)为正,说明此时 电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来;反之,当P1()为负时,电感元件向 外释放能量。PL()的值正负交替,说明电感元件与外电路不断地进行着能量的 交换
P2(t)tug(2),in (t) P2(t) (t) T/2 电感消耗的平均功率为:p p,(tdt I sin2ott=0电感消耗的平 均功率为零笭,说明电感元件不消耗功率,只是与外界交换能量 2.电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为 i()=√2 sin ota则电容电压为 n()=√21X。sin(o-x)=√2csm(m-x)其瞬时功率为 p(t=u(t)i (t)=2U I sin(ot-)sin t=-U I sin 2ot l2()、i(0)、P()的波形如图所示。 pc (r),ic (t),uc(t) (t) 从图上看出,Pc①、与P1(波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能 电容的平均功率也为零,即 n.=rOh=(U125m20)4=0电感元件以磁场能量与外界进行能量 交换,电容元件是以电场能量与外界进行能量交换
?12-4单口网络的平均功率功率因数 1.瞬时功率 如图所示二端电路中,设电流t)及端口电压l(t)在 关联参考方向下,分别为 u(t)=U cos(ot +(,)=N2U cos(ot +om)V p(t) N i(o=I coS ot= v2I cos otA 则二端电路所吸收的瞬时功率为 p()=(1))=√2Ucos(o+0n)×√2 cost UIm[cos(20t+Qu)+coS Pu =Un[cos(2ot+Ou)+cos qu 上:式表明,二端电路的瞬时功率由两部分组成,一项为常量,另一项是两倍于电 压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图所示。 从图上看出,(t)或t)为零时,p(t)为零:当二者同号时,p(t)为正,电路吸 收功率;二者异号时,p(t)为负,电路放出功率,图上阴影面积说明,一个周期 内电路吸收的能量比释放的能量多,说明电路有能量的消耗。 瞬时功率p(1)有时为正,有时为负。p()>0时网络N吸收功率,p(t)<0时 网络N送出功率。虽然功率有正有负,但在一整个箱环内p(t)>0部分仍大于p( <0的部分。因此,平均来看网络N仍是吸收功率的。其平均功率显然是p(t)表 达式中的常量部分。另一项为正弦项,角频率为20,它在一整个循环内的平均 值为零 2.有功功率(也叫平均功率)和功率因素 p=T() [UI cos -Ul cos(2at +o,)Jt UmM COS P =Ul cos p z 式中co2=cos(n=0)=cos(,-0),称为二端电路的功率因素,功率因素的 值取决于电压与电流之间的相位差92,92也叫功率因素角。 芢N只由R、L、C等无源元件组成,则