无套利定价 期权定价 第二部分：美式期权定价 1
无套利定价 期权定价 第二部分：美式期权定价 1
重点提要 1.美式期权的价值大于对应的欧式期权； 2.无红利的美式看涨期权不会提前执行，有红利的欧式看涨期权 有可能提前执行，深度实值看跌期权可能提前执行； 3.美式期权平价公式及其证明。 2
重点提要 1. 美式期权的价值大于对应的欧式期权； 2. 无红利的美式看涨期权不会提前执行，有红利的欧式看涨期权 有可能提前执行，深度实值看跌期权可能提前执行； 3. 美式期权平价公式及其证明。 2
C(S,k)=(S.k)+arly erercise premium 美式期权价值与欧式期权价值 P(S.K)S,K)arlyeercis prmum ·美式期权允许投资者在到期日之前提前行权(early exercise), 如果提前行权，则获得内部价值S一K; ·对于美式期权来说，early exercise只是权利而非义务； ·如果持有美式期权至到期日，则它的支付与相应的欧式期权完全 一样。 ·因为期权持有者有权利提前执行，而他只有在更优时才提前执行， 所以美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权。这就是说， C(S,K)≥c(S,K),P(S,K)≥p(S,K) 3
美式期权价值与欧式期权价值 • 美式期权允许投资者在到期日之前提前行权（early exercise）， 如果提前行权，则获得内部价值𝑆 − 𝐾； • 对于美式期权来说，early exercise 只是权利而非义务; • 如果持有美式期权至到期日， 则它的支付与相应的欧式期权完全 一样。 • 因为期权持有者有权利提前执行，而他只有在 更优时才提前执行， 所以美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权。这就是说， 3
美式期权什么时候执行最优 影响提前执行的一个重要因素是标的证券支付的股利。我们考虑 两种情况，无红利，和有红利。 ·判断美式期权是否提前执行，即判断提前执行的价值和持有到期 的价值哪个大，数学语言 IfS-K>c(S,),则立即执行 IfS-K<c(S,KW,则持有到期 IfS-K=c(S,K),解此非线性方程，得到的S*即最有执行边界；
美式期权什么时候执行最优 • 影响提前执行的一个重要因素是标的证券支付的股利。我们考虑 两种情况，无红利，和有红利。 • 判断美式期权是否提前执行，即判断提前执行的价值和持有到期 的价值哪个大，数学语言 If S-K > c(S,K)，则立即执行； If S-K < c(S,K), 则持有到期； If S-K = c(S,K)，解此非线性方程，得到的𝑆 ∗即最有执行边界； 4
无红利支付美式期权的最优执行策略 A.No Dividends 看涨期权：没有红利，看涨期权不会提前执行。 原因：对于美式期权，我们可以证明没有红利，立即执行的价值小 于持有到期的价值；即S-K≤c(S,K): 2 3 Proof: K S-K≤S- -≤maxf0,S- K ]≤c(S,K) 1+ 1+r 思考：这三个不等式分别是怎么推导出来的？
无红利支付美式期权的最优执行策略 A. No Dividends 看涨期权：没有红利，看涨期权不会提前执行。 原因：对于美式期权，我们可以证明没有红利，立即执行的价值小 于持有到期的价值；即𝑆 − 𝐾 ≤ 𝑐 𝑆,𝐾 ; Proof: 1 2 3 思考：这三个不等式分别是怎么推导出来的？ 5