Arbitrage Pricing Theory Risk-Neutral Pricing and Martingale 1
Arbitrage Pricing Theory Risk-Neutral Pricing and Martingale 1
风险中性定价和鞅 ·假设市场上交易的证券中，有一只是无风险债券，它在1期的支 付确定为1。令它的支付向量为X1=[1;；1]=l,价格为St,这 里定义为元素全为1的列向量。由资产定价基本原理，存在一个 严格为正的状态价格向量中可对所有交易证券定价，包括无风险 证券。因此，对于无风险债券，有 s=rφ=∑ 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或净收益率(net rate of return),也称作无风险利率，并记为。则 S(+)=10r=- S 2
风险中性定价和鞅 • 假设市场上交易的证券中，有一只是无风险债券，它在1期的支 付确定为1。令它的支付向量为𝑋1 = 1 ; ⋯ ; 1 = 𝑙，价格为𝑆𝑡 ,这 里定义为元素全为1的列向量。由资产定价基本原理，存在一个 严格为正的状态价格向量中可对所有交易证券定价，包括无风险 证券。因此，对于无风险债券，有 𝑆1 = 𝑙 𝑇𝜙 = 𝜔 𝜙𝜔 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或净收益率(net rate of return),也称作无风险利率，并记为。则 ( ) 1 1 1 1 1 1 or F F S S r r S− + = = 2
利率也叫做货币的时间价值(time value of money) 因为它反映 了以今天的1单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报。由 定价关系有 1+r ∑4。 把债券的定价公式重新写成 S= 1=∑。 1+re 以此形式把债券的价格表达成其支付的线性函数的方法叫贴现 (discounting)。也就是说，债券的价格就是它未来支付的折现。这 个线性函数的系数，即+ 也称为折现因子，Tε被称为折现率。 3
利率也叫做货币的时间价值（time value of money），因为它反映 了以今天的1单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报。由 定价关系有 把债券的定价公式重新写成 以此形式把债券的价格表达成其支付的线性函数的方法叫贴现 (discounting)。也就是说，债券的价格就是它未来支付的折现。这 个线性函数的系数，即 1 1+𝑟𝐹 也称为折现因子，𝑟𝐹被称为折现率。 1 1 Fr = + 1 1 1 F S r = = + 3
·对于市场上的其他证券，如支付为xn=Xn=xm;xnn的 证券n,由定价公式S=(中TX)T=XT中可得 Sn=xp=∑p。Xa 其中，n=2,.,N。定义 9。=功。1∑中 显然，qw,>0,∑wqaw=1。因此，Q三{qw,ωE2}可以被解释为2 上的概率测度。因此，我们可以把定价方程重新写为 8=6-2%X-9.2X.=s2a.X=1+[] 4
• 对于市场上的其他证券，如支付为𝑥𝑛 = 𝑋∙,𝑛 = ቂ𝑥1 ቃ ,𝑛; ⋯ ; 𝑥Ω,𝑛 的 证券n，由定价公式𝑆 = ሺ𝜙 ሻ 𝑇𝑋 𝑇 = 𝑋 𝑇𝜙可得 其中，𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁。定义 显然，𝑞𝑤 > 0, σ𝜔 𝑞𝜔 = 1。因此，𝑄 ≡ {𝑞𝜔, 𝜔 ∈ Ω}可以被解释为Ω 上的概率测度。因此，我们可以把定价方程重新写为 , T n n n S x X = = q / = , , 1 , 1 1 T Q n n n n n n F S X X q X S q X E X r = = = = = + 4
·这里，我们把证券n的支付当成一个随机变量并记作xn,而E[] 则表示在概率测度Q下取期望值。上式的含义：证券价格就是它 在概率测度Q下的期望支付对无风险利率的折现，称之为sk- neutral pricing公式，Q被称为risk-neutral measure。 ·因为S1=中且=1，资产定价公式可以写成 S,/S,=Ee[ 注意S1和Sn是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。而两 者之比”则是证券n以证券1为计量单位的价格。也就是说，如果我 们使用1单位的证券1作为价格的计算单位，那么证券n的0期价格 就变成。而它在1期的价格则是 xn/x1=n 5
• 这里，我们把证券n的支付当成一个随机变量并记作x𝑛，而𝐸 𝑄 ⋅ 则表示在概率测度Q下取期望值。上式的含义：证券价格就是它 在概率测度Q下的期望支付对无风险利率的折现，称之为 riskneutral pricing 公式，Q被称为 risk-neutral measure。 • 因为S1 = 1 1+𝑟𝐹 且x1 = 1, 资产定价公式可以写成 注意𝑆1和𝑆𝑛是证券1和n以现在的消费品作为计量单位的价格。而两 者之比𝑆𝑛 𝑆1 则是证券n以证券1为计量单位的价格。也就是说，如果我 们使用1单位的证券1作为价格的计算单位，那么证券n的0期价格 就变成𝑆𝑛 𝑆1 。而它在1期的价格则是 / / 1 1 Q n n S S E x x = 1 / n n x x x = 5