矩阵知识回顾: (1)特征根与特征向量 A、若对任意的k阶方阵C,有数字九与向量5满足:=C, 则称兄为C的特征根,5为C的相应于九的特征向量。 B、同时,方阵C的特征相是k阶方程C-=0的根。 (2)任一k阶方阵C的特征根λ,的性质: ∑4=m(C)=矩阵C对角线上的元素之和 2021/11/30 16
2021/11/30 16 zf 矩阵知识回顾： （1）特征根与特征向量 A、若对任意的k阶方阵C，有数字 与向量 满足： ， 则称 为C的特征根， 为C的相应于 的特征向量。 B、同时，方阵C的特征根 是k阶方程 的根。 （2）任一k阶方阵C的特征根 的性质： = C C −I = 0 j t r C 矩阵C对角线上的元素之和 k j j = = = ( ) 1
(3)任一k阶的实对称矩阵C的性质: A、实对称矩阵C的非零特征根的数目=C的秩 B、k阶的实对称矩阵存在k个实特征根 C、实对称矩阵的不同特征根的特征向量是正交的 D、若5是实对称矩阵C的单位特征向量,则 若矩阵,5是由特征向量所构成的,则有: 5C9 2021/11/30
2021/11/30 17 zf （3）任一k阶的实对称矩阵C的性质： A、实对称矩阵C的非零特征根的数目＝C的秩 B、k阶的实对称矩阵存在k个实特征根 C、实对称矩阵的不同特征根的特征向量是正交的 D、若 是实对称矩阵C的单位特征向量，则 若矩阵 ，是由特征向量 所构成的，则有： j j C j = j ' j = k j C j 0 1 0
基于协方差矩阵求解主成分 令假设有n个样本,每个样本有p个观测变量。运用主成 分分析构造以下p个主成分关于原始变量的线性组合 模型: Fl=ax,tax +.+a,x Ip"p au a d X F2=421+a2x2+…4aF10a‖x2 AX Fp=an1+an2x2+…+amxp X P八P 这就是正交旋转变换矩阵 2021/11/30 18
2021/11/30 18 zf 基于协方差矩阵求解主成分 ❖ 假设有n个样本，每个样本有 p 个观测变量。运用主成 分分析构造以下 p 个主成分关于原始变量的线性组合 模型: p p p p p p p p p Fp a x a x a x F a x a x a x F a x a x a x = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 AX X X X a a a a a a a a a F p p p p P p p = = 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 这就是正交旋转变换矩阵
令假设p个原始变量的协方差阵为: 12 IP 2P P2 对角线上的元素σ12O2…m分别代表x12x2…xn的方差 对角线外的元素a=O1=01n=On且不全为0 ○ 2021/1这是个什 对角线外的元素不 1 么矩阵? 为0意味着什么?
2021/11/30 19 zf ❖ 假设p个原始变量的协方差阵为: = P P PP P P X 1 2 21 22 2 11 12 1 , , , , 0; , , ; 1 2 2 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 对角线外的元素 且不全为 对角线上的元素 分别代表 的方差 p p p p p x x x = = = 这是个什 么矩阵？ 对角线外的元素不 为0意味着什么？
对角线外的元素不全为0,意味着原始变量xl,x2,…,x 存在相关关系。 如何运用主成分分析将这些具有相关关系的变量转化 为没有相关关系的新变量(主成分)呢?? 新变量之间没有相关关系,则意味着它的方差协方差 阵为对角矩阵: 如何将∑转化为 λ并计算出新变量 (主成分)? 2021/11/30
2021/11/30 20 zf ➢ 对角线外的元素不全为0，意味着原始变量x1,x2, …,xp 存在相关关系。 ➢ 如何运用主成分分析将这些具有相关关系的变量转化 为没有相关关系的新变量（主成分）呢？？ ➢ 新变量之间没有相关关系，则意味着它的方差协方差 阵为对角矩阵： = p 0 0 1 如何将 Σx 转化为 λ并计算出新变量 （主成分）?