《工程科学学报》：基于连续反演算法的时滞补偿控制综述

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩张爽何修宇刘志杰 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao,ZHANG Shuang.HE Xiu-yu.LIU Zhi-jie 引用本文： 马永浩，张爽，何修宇，刘志杰.基于连续反演算法的时滞补偿控制综述[J].工程科学学报，优先发表.do: 10.13374j.issn2095-9389.2021.01.10.002 MA Yong-hao,ZHANG Shuang,HE Xiu-yu,LIU Zhi-jie.A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems[J].Chinese Journal of Engineering,In press.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2021.01.10.002 在线阅读View online:https::/doi.org10.13374.issn2095-9389.2021.01.10.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system 工程科学学报.2017,39(4：619htps:/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2017.04.018 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构控制一体化设计 Plant/controller co-design of motor driving systems based on finite-time filtering control 工程科学学报.2019,41(9y:1194 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.09.011 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 Cooperative optimal preview tracking control of discrete-time multi-agent systems 工程科学学报.2018.40(2：241 https::/doi.org10.13374j.issn2095-9389.2018.02.015 考虑磁滞的铁稼磁致伸缩位移传感器输出电压模型及结构设计 Output voltage model of Fe-Ga magnetostrictive displacement sensor considering hysteresis and structural design 工程科学学报.2017,398：1232 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.08.013 基于安全传输策略的网络化预测控制系统设计 Design of networked predictive control system based on secure transmission strategy 工程科学学报.2017,399外：1403htps:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2017.09.014 巡线机器人延迟容忍传感器网络数据传输策略 Date delivery scheme of delay-tolerant mobile sensor networks for high-voltage power transmission line inspection robot 工程科学学报.2018,4011)：1412htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.11.015

基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩 张爽 何修宇 刘志杰 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao, ZHANG Shuang, HE Xiu-yu, LIU Zhi-jie 引用本文: 马永浩, 张爽, 何修宇, 刘志杰. 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述[J]. 工程科学学报, 优先发表. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002 MA Yong-hao, ZHANG Shuang, HE Xiu-yu, LIU Zhi-jie. A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems[J]. Chinese Journal of Engineering, In press. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2021.01.10.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system 工程科学学报. 2017, 39(4): 619 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.018 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/控制一体化设计 Plant/controller co-design of motor driving systems based on finite-time filtering control 工程科学学报. 2019, 41(9): 1194 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.011 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 Cooperative optimal preview tracking control of discrete-time multi-agent systems 工程科学学报. 2018, 40(2): 241 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.02.015 考虑磁滞的铁稼磁致伸缩位移传感器输出电压模型及结构设计 Output voltage model of Fe-Ga magnetostrictive displacement sensor considering hysteresis and structural design 工程科学学报. 2017, 39(8): 1232 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.08.013 基于安全传输策略的网络化预测控制系统设计 Design of networked predictive control system based on secure transmission strategy 工程科学学报. 2017, 39(9): 1403 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.014 巡线机器人延迟容忍传感器网络数据传输策略 Date delivery scheme of delay-tolerant mobile sensor networks for high-voltage power transmission line inspection robot 工程科学学报. 2018, 40(11): 1412 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.11.015

工程科学学报.第44卷，第X期：1-9.2022年X月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.X:1-9.X 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩2)，张爽，2)，何修宇2，)区，刘志杰2，) 1)北京科技大学人工智能研究院，北京1000832)北京科技大学自动化学院，北京1000833)北京科技大学顺德研究生院，佛山528399 ☒通信作者，E-mail:xiuyuhe@ieee.org 摘要在实际系统的工作过程中，时滞现象普遍存在，如控制信号的采集与传输、控制器的构建与实施、事件的决策与处 理等.考虑并有效处理时滞特性的影响有助于提升系统的性能.基于连续反演算法的时滞补偿控制策略是一种有效的控制 方法且取得很多研究成果.该时滞补偿控制的主要思路是将具有时滞特性的常微分方程或偏微分方程变换为不具有时滞特 性的常微分方程-偏微分方程/常微分方程-偏微分方程(ODE-PDE/PDE-PDE)级联系统.进一步地，基于变换的级联系统，结 合连续反演算法提出相应的控制策略。该方法具有系统的稳定性证明简单，鲁棒性强，易于求取闭环系统精确解等优点.详 细论述了连续反演算法的基本原理，并针对基于连续反演算法的时滞补偿控制算法在处理输人、输出、状态等类型时滞特性 的最新研究进展做简单的阐述和总结.最后，开放式地论述了时滞系统的未来研究方向 关键词时滞系统：输入时滞：输出时滞：连续反演算法；分布参数系统 分类号TP273.3 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao 2.ZHANG Shuang2).HE Xiu-yu LIU Zhi-jie2 1)Institute of Artificial Intelligence,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Shunde Graduate School,University of Science and Technology Beijing,Foshan 528399,China Corresponding author,E-mail:xiuyuhe@ieee.org ABSTRACT In practical control systems,time delays inevitably occur when sensors need to measure and require the system's data for decision making as well as when microcontrollers (or other devices)compute and implement control signal processes.The time-delay phenomenon is common in network systems because information(e.g.,plant output and control input)is exchanged via a network among control system components and communication delays inevitably arise.Time delays usually affect the dynamic performance of a system, such as the response time and operation accuracy of the system,and may even lead to system instability.Therefore,considering the effects of time delays and effectively compensating for them will improve the performance of a system.Recently,considerable attention has been paid to the study of time-delay problems based on a continuum backstepping control algorithm for its superiority on stability analysis.The design process mainly comprises three steps.First,the original system is transformed into an ordinary differential equation (ODE)-partial differential equation(PDE)or PDE-PDE cascaded system wherein a first-order hyperbolic transport-PDE is introduced to describe the time-delay phenomenon.Thereafter,the cascaded system is turned into a stable system using a Volterra transformation. Finally,a corresponding time-delay compensated control law is developed based on the proposed Volterra transformation.The algorithm 收稿日期：2021-01-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(U2013201,62003029.62073031):北京科技大学顺德研究生院博士后研究基金资助项目(2020BH006): 北京高校高精尖学科北京科技大学“人工智能科学与工程

基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩1,2)，张    爽1,2)，何修宇1,2,3) 苣，刘志杰1,2,3) 1) 北京科技大学人工智能研究院，北京 100083    2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083    3) 北京科技大学顺德研究生院，佛山 528399 苣通信作者， E-mail: xiuyuhe@ieee.org 摘    要    在实际系统的工作过程中，时滞现象普遍存在，如控制信号的采集与传输、控制器的构建与实施、事件的决策与处 理等. 考虑并有效处理时滞特性的影响有助于提升系统的性能. 基于连续反演算法的时滞补偿控制策略是一种有效的控制 方法且取得很多研究成果. 该时滞补偿控制的主要思路是将具有时滞特性的常微分方程或偏微分方程变换为不具有时滞特 性的常微分方程−偏微分方程/常微分方程−偏微分方程 (ODE−PDE/PDE−PDE) 级联系统. 进一步地，基于变换的级联系统，结 合连续反演算法提出相应的控制策略. 该方法具有系统的稳定性证明简单，鲁棒性强，易于求取闭环系统精确解等优点. 详 细论述了连续反演算法的基本原理，并针对基于连续反演算法的时滞补偿控制算法在处理输入、输出、状态等类型时滞特性 的最新研究进展做简单的阐述和总结. 最后，开放式地论述了时滞系统的未来研究方向. 关键词    时滞系统；输入时滞；输出时滞；连续反演算法；分布参数系统 分类号    TP273.3 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao1,2) ，ZHANG Shuang1,2) ，HE Xiu-yu1,2,3) 苣 ，LIU Zhi-jie1,2,3) 1) Institute of Artificial Intelligence, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) Shunde Graduate School, University of Science and Technology Beijing, Foshan 528399, China 苣 Corresponding author, E-mail: xiuyuhe@ieee.org ABSTRACT    In practical control systems, time delays inevitably occur when sensors need to measure and require the system’s data for decision making as well as when microcontrollers (or other devices) compute and implement control signal processes. The time-delay phenomenon is common in network systems because information (e.g., plant output and control input) is exchanged via a network among control system components and communication delays inevitably arise. Time delays usually affect the dynamic performance of a system, such as the response time and operation accuracy of the system, and may even lead to system instability. Therefore, considering the effects of time delays and effectively compensating for them will improve the performance of a system. Recently, considerable attention has been paid to the study of time-delay problems based on a continuum backstepping control algorithm for its superiority on stability analysis. The design process mainly comprises three steps. First, the original system is transformed into an ordinary differential equation (ODE)–partial differential equation (PDE) or PDE–PDE cascaded system wherein a first-order hyperbolic transport-PDE is introduced to describe  the  time-delay  phenomenon.  Thereafter,  the  cascaded  system  is  turned  into  a  stable  system  using  a  Volterra  transformation. Finally, a corresponding time-delay compensated control law is developed based on the proposed Volterra transformation. The algorithm 收稿日期: 2021−01−10 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（U2013201，62003029，62073031）；北京科技大学顺德研究生院博士后研究基金资助项目（2020BH006）； 北京高校高精尖学科北京科技大学“人工智能科学与工程” 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期：1−9，2022 年 X 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. X: 1−9, X 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002; http://cje.ustb.edu.cn

工程科学学报，第44卷，第X期 based on the continuum backstepping control algorithm is robust,has an inverse optimal control,and exhibits great potential for explicit exact control laws.Moreover,the stability analysis and exact solutions of closed-loop systems are obtained easily.This survey summarizes the basic principle and design procedure of the time-delay compensation method and control law based on the continuum backstepping control algorithm.Further,the recent works of the time-delay compensation control based on this algorithm are introduced for time-delay systems covering the aspects of input,output,and state.Finally,the future works of the time-delay compensation control based on the continuum backstepping control algorithm are discussed. KEY WORDS time-delay systems;input time delay;output time delay;continuum backstepping control;distributed parameter systems 时滞系统，通常称之为具有后效应或停滞时 的不稳定.另外，Smith预估器对时滞参数非常敏 间的系统山相别于一般系统，时滞系统的一个本 感.那么，Smith预估器只适用于非滞后部分稳定 质特征是它的未来发展取决于系统的当前状态和 的输入时滞系统，对非滞后部分不稳定的情形却 过去状态.时滞特性不可避免地存在于许多实际 无能为力.有限频谱配置法首先预估出一个超前 工程中以，例如：电力系统)、网络传输系统、航 的状态（超前量恰好等于输人滞后的时长），然后 天飞行器)、化学反应过程6刀时滞特性产生的主 将得到的超前状态用于反馈，以便补偿输入滞后 要原因是在系统信息获取、传输以及控制决策、 的影响，从而保证闭环系统是有限维的，这个维数 执行等过程所需耗费必要的时间.以常见的反馈 恰好就是原系统的维数，并在此前提下实现全部 控制系统为例，部件的物理结构限制或采集信号 特征值的任意配置.该方法存在一个显著的不足： 和控制信号的长距离传输等因素会导致传感器到 在闭环系统的稳定性分析中，合适的Lyapunov-- 控制终端和控制终端到执行器等通道上存在时滞 Krasovskii函数的选取存在很大的难度，因为整个 现象.而在网络控制系统中，在系统输出、控制输 闭环系统包括有限维的系统状态和无限维的执行 入等信息在系统组件（传感器节点，控制器节点， 器状态.为了克服这一不足，Krstic和Smyshlyaev 执行器节点等)间的交换过程中，通信网络媒介的 研究了具有单输入时滞特性的有限维系统，创新 引入会不可避免地产生滞后现象，导致系统具有 性地引入分布式状态向量u(x,)来描述执行器的状 时滞特性.时滞现象的存在通常会影响系统的动 态，采用一阶双曲型PDEs表示系统中的时滞特 态性能，如系统的响应时间和操作精度，甚至会导 性，将具有时滞特性的原系统映射为不具输入时 致系统的不稳定.Datko等指出任意小的时滞都能 滞特性的ODE-PDE级联系统，并引进连续反演算 导致一维双曲型偏微分方程(Partial differential equations,PDEs)不稳定s-因此，时滞系统的研究 法降低Lyapunov--Krasovskii函数构造的难度2四 本文尝试对基于连续反演算法的时滞补偿控 具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、控 制思路进行简洁的阐述，并针对其近年来的研究 制等领域的热点研究问题之一，针对时滞系统的 成果展开详细的介绍及分析，探讨时滞补偿控制 研究由来已久，并取得了丰硕的研究成果0-14，其 的未来发展方向. 中，在无穷维系统中也具有广泛且深入的研究，如 符号说明：R表示为实数集；R+表示为非负实 波方程和薛定谔方程 数集；R表示为欧几里得空间，其中，为正常数； 目前，常见的时滞补偿控制方法主要有：Smith 预估控制l7-l和有限谱配置法(Finite spectrum Raxb为a×b维实矩阵空间，其中，a和b为正整数； assignment,,FSA)l9-2)等.Smith预估控制通过引 C20,o)表示为函数空间无：R+→R”,其范数定义 入Smith预估器，将时滞部分有效地转移到了闭环 为llL2=6(Pd02;H'(a,b)为绝对连续函数 控制之外，即消除了闭环传递函数的特征方程中 所构成的索伯列夫空间，函数无：[a,b)→R"且 存在的时滞特性，处理后的系统可按常规的控制 f∈C2(a,b):HP(a,b)为绝对连续函数f所构成的索 器设计方法来设计，该方法的优点在于将含有时 伯列夫空间，函数f:[a,b]→R"且f,f∈C2(a,b): 滞特性的设计问题转化为不含时滞特性的设计问 (●)x=a●)/ax,(●)h=d●)/at 题，使问题得到简化.然而，该种方法严重依赖准 1 时滞系统分类 确的数学模型，一旦模型和对象不匹配，Smith预 估器就无法得到理想的性能，甚至可能导致系统 目前，根据时滞特性在系统中出现的不同位

based on the continuum backstepping control algorithm is robust, has an inverse optimal control, and exhibits great potential for explicit exact  control  laws.  Moreover,  the  stability  analysis  and  exact  solutions  of  closed-loop  systems  are  obtained  easily.  This  survey summarizes the basic principle and design procedure of the time-delay compensation method and control law based on the continuum backstepping control algorithm. Further, the recent works of the time-delay compensation control based on this algorithm are introduced for time-delay systems covering the aspects of input, output, and state. Finally, the future works of the time-delay compensation control based on the continuum backstepping control algorithm are discussed. KEY  WORDS    time-delay  systems； input  time  delay； output  time  delay； continuum  backstepping  control； distributed  parameter systems 时滞系统，通常称之为具有后效应或停滞时 间的系统[1] . 相别于一般系统，时滞系统的一个本 质特征是它的未来发展取决于系统的当前状态和 过去状态. 时滞特性不可避免地存在于许多实际 工程中[2] ，例如：电力系统[3]、网络传输系统[4]、航 天飞行器[5]、化学反应过程[6−7] . 时滞特性产生的主 要原因是在系统信息获取、传输以及控制决策、 执行等过程所需耗费必要的时间. 以常见的反馈 控制系统为例，部件的物理结构限制或采集信号 和控制信号的长距离传输等因素会导致传感器到 控制终端和控制终端到执行器等通道上存在时滞 现象. 而在网络控制系统中，在系统输出、控制输 入等信息在系统组件 (传感器节点，控制器节点， 执行器节点等) 间的交换过程中，通信网络媒介的 引入会不可避免地产生滞后现象，导致系统具有 时滞特性. 时滞现象的存在通常会影响系统的动 态性能，如系统的响应时间和操作精度，甚至会导 致系统的不稳定. Datko 等指出任意小的时滞都能 导致一维双曲型偏微分方 程 (Partial  differential equations, PDEs) 不稳定[8−9] . 因此，时滞系统的研究 具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、控 制等领域的热点研究问题之一. 针对时滞系统的 研究由来已久，并取得了丰硕的研究成果[10−14] ，其 中，在无穷维系统中也具有广泛且深入的研究，如 波方程[15] 和薛定谔方程[16] . 目前，常见的时滞补偿控制方法主要有：Smith 预估控制 [17−18] 和有限谱配置 法 (Finite  spectrum assignment, FSA) [19−21] 等. Smith 预估控制通过引 入 Smith 预估器，将时滞部分有效地转移到了闭环 控制之外，即消除了闭环传递函数的特征方程中 存在的时滞特性，处理后的系统可按常规的控制 器设计方法来设计，该方法的优点在于将含有时 滞特性的设计问题转化为不含时滞特性的设计问 题，使问题得到简化. 然而，该种方法严重依赖准 确的数学模型，一旦模型和对象不匹配，Smith 预 估器就无法得到理想的性能，甚至可能导致系统 u(x,t) 的不稳定. 另外，Smith 预估器对时滞参数非常敏 感. 那么，Smith 预估器只适用于非滞后部分稳定 的输入时滞系统，对非滞后部分不稳定的情形却 无能为力. 有限频谱配置法首先预估出一个超前 的状态（超前量恰好等于输入滞后的时长），然后 将得到的超前状态用于反馈，以便补偿输入滞后 的影响，从而保证闭环系统是有限维的，这个维数 恰好就是原系统的维数，并在此前提下实现全部 特征值的任意配置. 该方法存在一个显著的不足： 在闭环系统的稳定性分析中，合适的 Lyapunov− Krasovskii 函数的选取存在很大的难度，因为整个 闭环系统包括有限维的系统状态和无限维的执行 器状态. 为了克服这一不足，Krstic 和 Smyshlyaev 研究了具有单输入时滞特性的有限维系统，创新 性地引入分布式状态向量 来描述执行器的状 态，采用一阶双曲型 PDEs 表示系统中的时滞特 性，将具有时滞特性的原系统映射为不具输入时 滞特性的 ODE−PDE 级联系统，并引进连续反演算 法降低 Lyapunov−Krasovskii 函数构造的难度[22] . 本文尝试对基于连续反演算法的时滞补偿控 制思路进行简洁的阐述，并针对其近年来的研究 成果展开详细的介绍及分析，探讨时滞补偿控制 的未来发展方向. R R+ R n n R a×b a×b a b L2[0,∞) fe : R+ → R n ∥fe∥L2 = [ ∫ ∞ 0 | fe(θ)| 2 dθ ] 1 2 H1 (a,b) fe fe : [a,b] → R n f ′ e ∈ L2(a,b) H2 (a,b) fe fe : [a,b] → R n f ′ e , f ′′ e ∈ L2(a,b) (•)x = ∂(•)/∂x,(•)t = ∂(•)/∂t 符号说明： 表示为实数集； 表示为非负实 数集； 表示为欧几里得空间，其中，为 正常数； 为 维实矩阵空间，其中， 和 为正整数； 表示为函数空间 ，其范数定义 为 ； 为绝对连续函数 所构成的索伯列夫空间 ，函数 且 ； 为绝对连续函数 所构成的索 伯列夫空间 ，函数 且 ； . 1    时滞系统分类 目前，根据时滞特性在系统中出现的不同位 · 2 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期

马永浩等：基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 3 置，时滞系统主要可分为输人时滞系统、输出时滞 dx(t) dr =AX(t)+F(t) 系统、状态时滞系统等.下面将简要介绍这三类 (5) u(x,t)=ux(x,t) 时滞系统 u(D,1)=U(t) 输人时滞系统 其中，u(x,t0=u(x,t)/ax,u,(x,t)=(,t)/t,F)为 具有输入时滞特性的有限维系统通常如式(1) 所示2] 不同输人时滞所求得的对应函数向量 输出时滞系统 dX()=AX()+BU(t-).X(O)=Xo (1) dr 具有定常输出时滞的有限维系统一般可表示 其中，X∈R“表示系统的状态向量，1表示时间变 为式(6)P1 量，A∈Rxa为系统矩阵，BeRb为系统的控制矩 dx(t) =AX(t)+BU(t).X(0)=Xo dt (6) 阵，a和b为正常数.p表示系统时滞的大小，若 Y(t)=CX(t-D) P=D,D为大于0的常数，系统为具有定常离散输 其中，Y为输出矢量，C为输出矩阵 入时滞特性的时滞系统.若p=d(),d(t)为大于0的 相应地，具有定常输出时滞的无限维系统可 函数，系统则为具有时变离散输入时滞特性的时 以表示为 滞系统.U为控制矢量.U=h(0,0∈(-g,0),h为 dXin(t) 历史函数向量，X是有限维系统的初始状态 dt AinXin(f)+BinUin(t).Xin(0)=Xino (7) 而具有输入时滞特性的无限维系统通常如式 Yin(t)=CinXin(t-D) (2)所示 其中，Yn和Cn分别为定义在观测空间H,的函数向 dXin(t) 量和观测算子 dt AinXin(t)+BinUin(t-),Xin(0)=Xino (2) 以具有定常输出时滞特征的有限维系统为 其中，Xm表示系统的状态向量，Um为无限维系统 例，采用与第1.1节相同的方法，通过引入分布式 的控制矢量，An为定义在状态空间H上的系统算 状态向量u(x,t)描述系统的输出时滞特性，得到不 子，Bm为定义在控制空间H上的控制算子，系统状 具有输出时滞特性的ODE-PDE级联系统如式 态空间H和控制空间Hu均为希尔伯特空间.Xno (8)所示： 是无限维系统的初始状态.无限维系统的表示方 dx(t) 式可以直接从有限维系统类比得到，故下文不再 =AX(t) dt 特别地阐述无限维系统的表示方式 u(x,t)=ux(x,t) (8) 当系统为多个输入系统时，相应的多输入定 u(①，t)=CX(t) 常时滞系统如式(3)所示24： u(0,t)=Y(t) XO=AX()+BUA(-D).X(O)=Xo (3) 状态时滞系统 dt 具有定常状态时滞特性的有限维系统一般可 用式(9)表示P 其中，B:E Raxb为每个输入通道中系统的控制矩阵， dx(t) 每个输入通道U:都具有相应的定常时滞大小 dr =AX(t)+A2X(t-D)+BU(t).X(0)=Xo (9) D,>0,i=1,…,m,m为正整数.特别地，针对带分 其中，A1和A2为不同的系统矩阵 布式输入定常时滞的时滞系统可表示式(4)2 相应地，具有定常状态时滞特性的无限维系 dK0=AX0+Bais(SUas(t--6d6,K0)=X（4） 统一般可以用式(10)表示 drt 其中，6是分布式时滞变量，它的取值范围是[0，D吵 dX-Ai1Xi()+Aim2Xin(-D)+BnUn().Xin(O)=Xin0 dt Bs:[0,D]→Raxh为分段连续函数矩阵；Us为分布 (10) 式控制矢量 其中，Anl和Ain2定义在状态空间Hs的系统算子 以具有定常输入时滞特征的有限维系统为 通常情况下，状态时滞系统仅部分状态量存 例，为处理系统中的输入时滞特性，通过引入分布 在时滞现象.特别地，针对具有部分状态时滞特性 式状态向量(x,t)描述系统的输入时滞特性，得到 的系统，可直接在原系统上应用连续反演算法，而 不具有输入时滞特性的ODE-PDE级联系统，其一 不需要采用双曲型PDE描述系统中的状态时滞 般形式如式(5)所示： 特性

置，时滞系统主要可分为输入时滞系统、输出时滞 系统、状态时滞系统等. 下面将简要介绍这三类 时滞系统. 输入时滞系统 具有输入时滞特性的有限维系统通常如式（1） 所示[23] dX(t) dt = AX(t)+ BU(t−φ),X(0) = X0 （1） X ∈ R a A ∈ R a×a B ∈ R a×b a b φ φ = D D φ = d(t) d(t) U(θ) = h(θ), θ ∈ (−φ,0) h 其中， 表示系统的状态向量，t 表示时间变 量，， 为系统矩阵， 为系统的控制矩 阵 ， 和 为正常数. 表示系统时滞的大小 ，若 ， 为大于 0 的常数，系统为具有定常离散输 入时滞特性的时滞系统. 若 ， 为大于 0 的 函数，系统则为具有时变离散输入时滞特性的时 滞系统. U 为控制矢量. ， 为 历史函数向量，X0 是有限维系统的初始状态. 而具有输入时滞特性的无限维系统通常如式 (2) 所示 dXin(t) dt = AinXin(t)+ BinUin(t−φ),Xin(0) = Xin0 （2） Xin Uin Ain Hs Bin Hu Hs Hu Xin0 其中， 表示系统的状态向量， 为无限维系统 的控制矢量. 为定义在状态空间 上的系统算 子， 为定义在控制空间 上的控制算子，系统状 态空间 和控制空间 均为希尔伯特空间. 是无限维系统的初始状态. 无限维系统的表示方 式可以直接从有限维系统类比得到，故下文不再 特别地阐述无限维系统的表示方式. 当系统为多个输入系统时，相应的多输入定 常时滞系统如式（3）所示[24] ： dX(t) dt = AX(t)+ ∑m i=1 BiUi(t−Di),X(0) = X0 （3） Bi ∈ R a×b Ui Di > 0,i = 1,··· ,m 其中， 为每个输入通道中系统的控制矩阵， 每个输入通道 都具有相应的定常时滞大小 ，m 为正整数. 特别地，针对带分 布式输入定常时滞的时滞系统可表示式（4） [25] dX(t) dt = AX(t)+∫ D 0 Bdis(δ)Udis(t−δ)dδ,X(0) = X0（4） δ [0,D] Bdis : [0,D] → R a×b Udis 其中， 是分布式时滞变量，它的取值范围是 ; 为分段连续函数矩阵； 为分布 式控制矢量. u(x,t) 以具有定常输入时滞特征的有限维系统为 例，为处理系统中的输入时滞特性，通过引入分布 式状态向量 描述系统的输入时滞特性，得到 不具有输入时滞特性的 ODE−PDE 级联系统，其一 般形式如式 (5) 所示：    dX(t) dt = AX(t)+ F(t) ut(x,t) = ux(x,t) u(D,t) = U(t) （5） 其中 ， ux(x,t) = ∂u(x,t)/∂x,ut(x,t) = ∂u(x,t)/∂t ; F(t) 为 不同输入时滞所求得的对应函数向量. 输出时滞系统 具有定常输出时滞的有限维系统一般可表示 为式 (6)[26]    dX(t) dt = AX(t)+BU(t),X(0) = X0 Y(t) = CX(t−D) （6） 其中， Y 为输出矢量， C 为输出矩阵. 相应地，具有定常输出时滞的无限维系统可 以表示为    dXin(t) dt = AinXin(t)+ BinUin(t),Xin(0) = Xin0 Yin(t) = CinXin(t−D) （7） 其中， Yin 和 Cin 分别为定义在观测空间 Hy 的函数向 量和观测算子. u(x,t) 以具有定常输出时滞特征的有限维系统为 例，采用与第 1.1 节相同的方法，通过引入分布式 状态向量 描述系统的输出时滞特性，得到不 具有输出时滞特性 的 ODE−PDE 级联系统如 式 (8) 所示：    dX(t) dt = AX(t) ut(x,t) = ux(x,t) u(D,t) = CX(t) u(0,t) = Y(t) （8） 状态时滞系统 具有定常状态时滞特性的有限维系统一般可 用式 (9) 表示[27] dX(t) dt = A1X(t)+ A2X(t− D)+ BU(t),X(0) = X0 （9） 其中， A1 和 A2 为不同的系统矩阵. 相应地，具有定常状态时滞特性的无限维系 统一般可以用式 (10) 表示 dXin(t) dt =Ain1Xin(t)+Ain2Xin(t−D)+BinUin(t),Xin(0)=Xin0 （10） 其中， Ain1 和 Ain2 定义在状态空间 Hs的系统算子. 通常情况下，状态时滞系统仅部分状态量存 在时滞现象. 特别地，针对具有部分状态时滞特性 的系统，可直接在原系统上应用连续反演算法，而 不需要采用双曲型 PDE 描述系统中的状态时滞 特性. 马永浩等： 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 · 3 ·

工程科学学报，第44卷，第X期 2基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 变换，得到相对应的时滞补偿控制律 概述 3 面向输入时滞的基于反演法的时滞补偿 在文献[28]中，Smyshlyaev和Krstic提出了面 控制 向PDEs的反演法.该方法是针对PDE系统构造 由于系统控制决策的创建和执行通常需要一 边界控制器和观测器的特定工具29-3川，在处理ODE 定的处理时间和响应时间，时滞特性在实际系统 系统和PDE系统的时滞补偿特性时都具有它的独 的输入部分非常常见.近年来，基于连续反演算法 特优势.以有限维系统为例，基于连续反演算法的 的时滞补偿控制方法在处理时滞系统的已知和未 时滞补偿控制方法的主要步骤如下： 知输入时滞特性过程中，取得了良好的时滞补偿 步骤一 效果和控制效果2-3刘 引入分布式状态向量描述时滞特性可获得 3.1面向时滞大小已知的时滞补偿控制 ODE-PDE级联系统，如系统（⑤）和(8).针对ODE- 针对输入时滞已知的情况，Krstic与Smyshlyaev PDE级联系统，通过增加或移除特定的附加项后 首次将连续反演算法应用于具有单输入时滞特性 得到期望的稳定目标系统.具有输入时滞或输出 的ODE系统.文中结合李雅普诺夫直接法提出了 时滞特性的目标系统表达式如式(11)所示： 具有指数稳定性的目标系统，通过构造合适的反 dX()=Ax()+Bw(0.1) 演变换函数和逆变换函数证明原闭环系统的稳定 dt (11) 性四基于上文的研究，Krstic进一步分析了系统 wi(x,t)=wx(x,t) w(D,t)=0 初始值对系统稳定性的影响，并提出了具有逆 其中，和w是目标系统的状态向量和分布式状态 最优特性的预测反馈控制律.不同于已有研究 向量：A和B分别是目标系统的系统矩阵和控制矩 结果2)，上文在控制设计中构造了一个低通滤波 阵，wx(,t)=w(x,t)/ax,w(x,t)=w(x,t)/at 器，该控制律能够保证小时滞非匹配(Delay 步骤二 mismatch)情况下系统的指数稳定性，提升了系统 构造合适的反演变换（即Volterra映射），将原 的鲁棒性.特别地，针对具有时变输人时滞特性 系统映射为稳定的目标系统.反演变换函数的一 的ODE系统，即o=d(t).所引入的一阶双曲型PDE 般表达形式如式(12)所示： 方程也具有时变特性，其对应反演变换函数的核 w(x.t)=u(x.)-[k(x.y)u(x.y)dy 函数也是时变的.因此，证明闭环系统的稳定性时 (12) 也需要构造时变的李雅普诺夫函数7 其中，w(x,)为目标系统的状态向量，(x,)为原系 Tsubakino等面向具有多输入时滞特性的ODE 统的状态向量，k(x,)为将(x,t)变换为w(x,t)的待解 系统，针对每个输入U;具有不同时滞大小D,需对 核函数向量.基于原系统和目标系统，并结合构造 应引入具有不同空间域的描述时滞特性的一阶双 的反演变换函数获得关于待解核函数的偏微分方 曲型PDE方程.进一步，文中针对获得的ODE-PDE 程组.进一步地，基于待解核函数的偏微分方程 级联系统构造了面向PDEs的类反演变换函数 组，采用变量代换方法和迭代求解积分方程方式， (Backstepping--like transformation),并分析了系统的稳 求解得到待解核函数的具体表达式， 定性3]Bekiaris-Liberis和Krstic针对具有多输入分 步骤三 布式时滞的ODE系统，引入了面向PDEs的前馈- 构造反演变换的逆变换，基于目标函数的稳 反演变换(Forwarding--backstepping transformation), 定性证明原系统的稳定性.反演变换的逆变换函 将原系统变换为期望的稳定目标系统，并结合二 数的一般表达形式如式(13)所示： 次型李雅普诺夫泛函证明了目标系统的指数稳定 a0=wc)-cm,冲 性：通过求解变换过程中变换函数和逆变换函数 (13) 证明原系统的稳定性B啊在文献[40-42]中，作者 其中，l(x,)为将w(x,t)变换为u(x,)的待解核函数向 进一步针对具有时变单输入时滞线性系统、定常 量.采用与步骤二同样的求解方法可得到核函数 多输入时滞线性系统和定常单输入时滞非线性系 向量的具体表达式 统研究了系统的逆最优特性 步骤四 Krstic针对具有输入时滞特性的反应-扩散 利用级联系统与目标系统的边界条件和反演 PDEs系统，利用变量代换将具有时滞特性的原

2    基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 概述 在文献 [28] 中，Smyshlyaev 和 Krstic 提出了面 向 PDEs 的反演法. 该方法是针对 PDE 系统构造 边界控制器和观测器的特定工具[29−31] ，在处理 ODE 系统和 PDE 系统的时滞补偿特性时都具有它的独 特优势. 以有限维系统为例，基于连续反演算法的 时滞补偿控制方法的主要步骤如下： 步骤一 引入分布式状态向量描述时滞特性可获得 ODE−PDE 级联系统，如系统 (5) 和 (8). 针对 ODE− PDE 级联系统，通过增加或移除特定的附加项后 得到期望的稳定目标系统. 具有输入时滞或输出 时滞特性的目标系统表达式如式 (11) 所示：    dX˜(t) dt = A˜X˜(t)+ Bw˜ (0,t) wt(x,t) = wx(x,t) w(D,t) = 0 （11） X˜ w A˜ B˜ wx(x,t) = ∂w(x,t)/∂x,wt(x,t) = ∂w(x,t)/∂t 其中， 和 是目标系统的状态向量和分布式状态 向量； 和 分别是目标系统的系统矩阵和控制矩 阵， . 步骤二 构造合适的反演变换（即 Volterra 映射），将原 系统映射为稳定的目标系统. 反演变换函数的一 般表达形式如式 (12) 所示： w(x,t) = u(x,t)− w x 0 k(x, y)u(x, y)dy （12） w(x,t) u(x,t) k(x,t) u(x,t) w(x,t) 其中， 为目标系统的状态向量， 为原系 统的状态向量， 为将 变换为 的待解 核函数向量. 基于原系统和目标系统，并结合构造 的反演变换函数获得关于待解核函数的偏微分方 程组. 进一步地，基于待解核函数的偏微分方程 组，采用变量代换方法和迭代求解积分方程方式， 求解得到待解核函数的具体表达式. 步骤三 构造反演变换的逆变换，基于目标函数的稳 定性证明原系统的稳定性. 反演变换的逆变换函 数的一般表达形式如式 (13) 所示： u(x,t) = w(x,t)− w x 0 l(x, y)w(x, y)dy （13） 其中， l(x,t) 为将 w(x,t) 变换为 u(x,t) 的待解核函数向 量. 采用与步骤二同样的求解方法可得到核函数 向量的具体表达式. 步骤四 利用级联系统与目标系统的边界条件和反演 变换，得到相对应的时滞补偿控制律. 3    面向输入时滞的基于反演法的时滞补偿 控制 由于系统控制决策的创建和执行通常需要一 定的处理时间和响应时间，时滞特性在实际系统 的输入部分非常常见. 近年来，基于连续反演算法 的时滞补偿控制方法在处理时滞系统的已知和未 知输入时滞特性过程中，取得了良好的时滞补偿 效果和控制效果[32−34] . 3.1    面向时滞大小已知的时滞补偿控制 φ = d(t) 针对输入时滞已知的情况，Krstic 与 Smyshlyaev 首次将连续反演算法应用于具有单输入时滞特性 的 ODE 系统. 文中结合李雅普诺夫直接法提出了 具有指数稳定性的目标系统，通过构造合适的反 演变换函数和逆变换函数证明原闭环系统的稳定 性[22] . 基于上文的研究，Krstic 进一步分析了系统 初始值对系统稳定性的影响[35] ，并提出了具有逆 最优特性的预测反馈控制律[36] . 不同于已有研究 结果[23] ，上文在控制设计中构造了一个低通滤波 器 ， 该 控 制 律 能 够 保 证 小 时 滞 非 匹 配 (Delay mismatch) 情况下系统的指数稳定性，提升了系统 的鲁棒性. 特别地，针对具有时变输入时滞特性 的 ODE 系统，即 ，所引入的一阶双曲型 PDE 方程也具有时变特性，其对应反演变换函数的核 函数也是时变的. 因此，证明闭环系统的稳定性时 也需要构造时变的李雅普诺夫函数[37] . Ui Di Tsubakino 等面向具有多输入时滞特性的 ODE 系统，针对每个输入 具有不同时滞大小 ，需对 应引入具有不同空间域的描述时滞特性的一阶双 曲型 PDE 方程. 进一步，文中针对获得的 ODE−PDE 级联系统构造了面 向 PDEs 的类反演变换函 数 (Backstepping-like transformation)，并分析了系统的稳 定性[38] . Bekiaris-Liberis 和 Krstic 针对具有多输入分 布式时滞的 ODE 系统，引入了面向 PDEs 的前馈− 反演变换 (Forwarding−backstepping transformation)， 将原系统变换为期望的稳定目标系统，并结合二 次型李雅普诺夫泛函证明了目标系统的指数稳定 性；通过求解变换过程中变换函数和逆变换函数 证明原系统的稳定性[39] . 在文献 [40−42] 中, 作者 进一步针对具有时变单输入时滞线性系统、定常 多输入时滞线性系统和定常单输入时滞非线性系 统研究了系统的逆最优特性. Krstic 针对具有输入时滞特性的反应−扩散 PDEs 系统，利用变量代换将具有时滞特性的原 · 4 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期