基于期权定价理论的矿业工程投资决策模型

D0I:10.13374/i.1ssnm1001-053x.2002.01.030 第24卷第1期 北京科技大学学报 Vol.24 No.1 2002年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2002 基于期权定价理论的矿业工程投资决策模型 张能福”蔡嗣经”刘朝马) )准南工业学院，安撒2320012)北京科技大学土木与环境1程学院，北京1000833)南方治金学院，情州341000 精要矿业亡程项目的投资受到许多不确定因素的影响，传统的净现值(NPV)法对上：程项 目的评价未考虑这些不确定因素.应用期权定价理论和方法，研究了矿产品价格的运行模式， 在充分考虑矿业投资项H成本和收益的不确定性的基础上，建立了矿业【程投资决策模型，为 矿山投资决策提供了新的思路和决策方法. 关鱸铜矿业.程；决策：期权定价；不确定性 分类号F407.1 期权定价理论与方法是近20年来广泛应 1期权定价决策原理 州于金融投资领域的一种投资决策方法，它在 金融投资领域的巨大成功也为企业战略投资决 对于矿企业投资的评价，最基本的方法 策分析提供了新的思路和评价方法叫.与传统的 是净现值法，这要求先预测投资后各年的现金 评价思路不同，期权定价理论的出发点是适时 流序列C,(i=1,2,,W),N为矿山投资项目预计 根据市场价格的随机波动反映投资项目的投资 寿命：然后确定适当的资本机会成本，即折现率 价值和潜在价值，该理论特别注重投资过程的 i.投资项月的净现值NPV-三资本资产定 阶段性评价，这对周期长、受不确定因素影响较 价模型是用来什计风险调整折现率(“) 大的投资项月尤为重要"，期权定价理论应用于 r=ytM,·B (1) 矿1企业投资决策评估是80年代末至90年代 其中，y为无风险投资收益率；M,为与项目投资 初出现的新现象，实际代表着西方国家近年 有关的市场风险贴水：B为反映'与市场有关的衍 米在矿山企业投资管理领域的一个突破.目前， 生证券的价格波动举的系数. 研究正逐步涉及研究与开发项月投资评估、战 如果资本支出的现值为C。,由于矿品价 略兼并、经营范围及投资方向调整、风险投资等 格是不确定的，矿山投资项马的未来现金流具 具体方面.矿业上程投资决策受到许多不确定 有不确定性，则PV具有不确定性，如果现在立 的因索的影响，包括市场内素环境因素以及项 即投资则投资项月的投资价值为'v=max{O, 川本身标的物（矿床）的内茶等，其中最重要的 PV-Co}=max{O,NPV},若项月其有延迟投资选 因素是如何对产品价格和成本进行确定和分析. 择权，则延迟教资给项月带来一定的教资机会 传统的净现值法及折现现金流法对矿业程投 价值，投资机会价值可用期权定价理论加以分 资项H的评价时未能考虑投资项月的现金流的 析.1 波动性，忽略了项口的不确定性因素对投资价 期权定价的基本设想是构造一个无风险证 值的影响，往往低估了矿产：资源的投资价值. 券组合，这种假设的证券组合是由投资机会和 本文应用期权定价理论和方法，研究了矿 定数量矿产品的矿山投资头时组成，头寸的 产品价格的波动性并建立了矿产资源项目投资 选择应使该证券组合是无风险的，即它的未来 决策模型，为矿企业投资决策提供了新的思 价值独立.于矿产品的价格运动：由于证券组合 路和量化其. 是无风险的，它的净收益等于其无风险安全收 益.即为总的收人所得减去执行矿投资头寸 收摘日期20010423张能福男，37岁，副数授，博上 时的现金支付 *【家自然科学基金资曲项I(N.79960005) 期权定价决策的【！标是从矿山投资项H中

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 厄 七 匕 基于期权定价理论的矿业工程投资决策模型 张能福 ” 蔡嗣 经 ” 刘朝 马 ” 淮南工业学院 ， 安徽 月匕京科技大学土 木 与环境 卜程学院 ， 北京 南方冶金学院 ， 帐州 引 摘 要 矿 业 一 程 项 目的投资受到许多不 确定 因 素的影 响 ， 传统的净现值 法 对 一 程项 目的评价未考虑这 些不确定因素 应用期权定价理论和方法 ， 研究 了矿 产 品价格的运 行 模式 ， 在充分考虑矿 业投 资项 目成本和 收益 的不 确定性 的基础 上 ， 建立 矿 、 卜 一 程投 资决 策模型 ， 为 矿 山投资决 策提供 厂新 的思 路和决策 方法 关一词 矿 业 一 程 决 策 期权定价 不 确定性 分 类号 期权 定价理论 与方法 川 是 近 年来 广 泛 应 用 于 金 融投资领 域 的 一 种 投 资决策方 法 ， 它 在 金 融投 资领域 的 巨 大成 功 也 为企业战略投 资决 策分析提供 了新 的思 路 和 评价 方法 与传统 的 评 价 思 路不 同 ， 期权 定 价理论 的 出发 点 是适 时 根 据 市场价格 的 随机 波动 反 映投 资项 目的投 资 价 值 和 潜在 价值 ， 该理 论 特 别注 重 投 资过 程 的 阶段性 评价 ， 这对周期长 、 受 不确定 因素影 响较 大的投资项 目尤 为重要 ” ’ 期权 定价理 沦应 用 于 矿 山企 业 投资决策评估是 年代末至 年代 初 出现 的新现 象 ， 实 际 几代 表着西 方 国 家近 年 来在矿 山企业投 资管理领 域 的一 个突破 目前 ， 研 究 正 逐 步 涉 及 研 究 与开 发 项 目投 资评估 、 战 略 兼 并 、 经 营范 围 及投 资 方向调 整 、 风险投 资等 具 体 方面 矿业 工 程 投 资决 策受 到许 多 不 确 定 的因 素的影响 ， 包括 市场 因 素 、 环境因素以 及项 本 身标 的物 矿 床 的 因 索等 ， 其 中最 重 要 的 因 素是 如何对产 品价格 和 成本 进行确定 和分析 传统 的 净现值法及 折 现现金 流 法对矿业 「程 投 资项 日的评价时未能考虑 投 资项 目的现 金 流 的 波动性 ， 忽略 了项 日的 不确定 性 因素对 投 资价 值的影 响 ， 往往低估 矿 产 资源 的投资价 值 本 文应 用 期权 定 价 理 沦和 方法 ， 研究 了矿 广” 品 价格 的波动性并建 、 一’ 矿 产资源项 目投 资 决 策模 型 ， 为矿 山 企 业 投 资 决 策提供 了新 的 思 路 和 量 化 ’ 具 收 稿 期 刁 一 张 能 粉 男 ， 岁 副教 授 ， 博 上 司家 自然 科 学 基 金 资助 项 期权定价决策原理 对 干 矿 山企 业投 资 的评 价 ， 最 基 本 的 方 法 是 净 现值法 ， 这 要 求先预 测 投 资后 各年 的 现 金 流 序列 ， ， ， … ， ， 为矿 山投 资项 目预计 寿命 然后 确定适 当的 资本机会 成本 ， 即折现 率 ， ， 投 资项 目的 净现值 一 誊两 · 资本 资产定 价模 型 是 用 来估 计风 险调 整折 现 率 ， ， 汁从 · 刀 其 中 ， 为无 风 险投 资收 益率 为与项 目投 资 有关 的市场风险贴水 渭为反 映 一 ， 市场有关 的衍 生 证券 的 价格 波动 率 的 系数 如果 资本 支 出 的现值 为 ， 由 于矿 产 品 价 格 是 不 确定 的 ， 矿 山 投 资项 目的 未 来现金 流 具 有 不 确定性 ， 则 具有 不 确定性 ， 如 果 现在 立 即投 资则投 资项 日的投 资价 值 为 蛛 、 二 毛， 一 二 ， ， 若项 目具有延 迟 投资选 择 权 ， 则延 迟 投 资 给项 目带 来一 定 的投 资机会 价 值 ， 投 资机 会 价 值 可用 期 权 定 价 理论加 以 分 析 ， · ” 期权定 价 的基 本 设想 是 构造一 个 无风险 证 券组 合 ， 这 种 假设 的 证券组 合是 由投 资机会 和 一 定 数量矿 产 品 的矿 山投 资头 寸组 成 ， 头 寸 的 选 择 应 使该证 券组 合是 无 风 险的 ， 即它 的未 来 价值独立 于 矿 产 品 的价 格 运 动 由于 证券组 合 是 无 风 险 的 ， 它 的净收 益 等 其 无 风 险安全 收 益 即 为总 的收 入 所 得 减 去执行 矿 山投 资头 寸 时 的现 金 支付 期权定 价决 策 的 日标 是 从 矿 山投 资项 目中 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2002．01．030

6 北京科技大学学报 2002年第1期 获得最大的收益，因此，该决策需要比较2个值： dFrsods (7) 期权价值和投资机会价值.如果期权价值大于 投资机会价值，等待是最佳的选择，投资选择权 3期权定价决策模型 保持到投资机会价值等于期权价值时才进行投 资决策. 矿产品的价格行为应遵循由(2)式表示的几 执行期权要支付其执行价格，即项目的投 何布朗运动.因为矿山的收益R为： 资K,并产生项目的价值？执行期权获得的净 R=s.x.n.g'n (⑧) 值，即投资机会值，是项目的值减去期权的执行 式中，x为生产率，n为年工作日，g为矿石品位， 价格K;若收益R很小，期权值将大于执行它的 ”为矿石回收率. 净值，因此最佳的策略是等待 按Ito定理： aR=8股ds+号8器d如 (9) 2矿产品价格的运行模式 由(2)式和(8)式得：dR=gRdt+oRdz.由此可 矿产品的价格运行模式通常用维纳过程来 知矿山收益遵循漂移率为g、标准差为σ的几何 表示，即用标准几何布朗运动来描述矿产品的 布朗运动.假设建立一个由价值为V的现金和H 价格变化过程.设为矿产品的价格，为矿产品 单位的矿山空头头寸的证券组合，该证券组合 价格的瞬时标准差，“为价格的瞬时期望漂移 的价值为： 率，z为矿产品的价格波动率，矿产品的价格运 W=V-H.s (10) 行遵循Ito过程： 在d时间内持有该证券组合的收益为： ds=4sdr什osdz (2) △W=dV-Hds (11) 式中，dz是一个标准的维纳过程，dz=8√dr,是 持有一个空头头寸需支付的红利为 标准正态分布中的一个随机值. D=H-s.f.dt 若矿产品的期货价格F凡s,x)是矿产品的现 式中，∫为红利率，f=风险调整折现率一期望收 货价格s和执行期限(r=T-)的函数，由Ito定理 人增长率.由于现金流值是收入的函数，应用Ito 得： 定理可将dV扩展为： dr-(8+}8器ona8e av ,1∂2V ds dr (3) dy=oroRd Rdz+2Ri(12) 由(2)式得： 代人方程(11)得证券组合的总收益为： dr-8服w+号+号u8 OF 1 OF 1 0F .(4) dr-H陆-（张eR+28R 20R:R- 构造一个由数量为1的矿产品价值的多头 头寸和数基为需的矿产品期货合约的空头 Hgs)d+(8KR-Hos也(13) 式中的dz项表示与证券收益有关的不确定性， 头寸组成的证券组合.设矿产品的便利收益是 要使该证券组合是无风险的，dz项应为0，即： 现货价格的函数y=s),在包括矿产品的便利 R0R-s=0→H=g.R av ∂Rs (14) 收益时的该证券组合的瞬时收益为： 证券组合的净收益为： 也4eu-68d5=8 ds Ms) 2w723 1∂2F, -6=(分R-8张nar5 a (5) 若y为无风险回报率，则： 由于该证券组合是无风险的，其收益应等 (分eg票-9张t=Xv-的w16 于无风险收益d,y为以连续复利计的无风险收 代人H的值得 益率，则： 2 dso's'OF 10F +80s-4F=0 30R20 (6) OR:H-DROV R-yV=0(17) 1 为一微分方程，其解的一般形式为V=aR,代入 边界条件为Fs,0)=5. 若ys,)=cs,Fs,)=se-由方程(3)和(6)得 7)得：b之号2+吾 期货价格的瞬间变化为： 因此方程(17)的一般解为： V=a R+aR (18)

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 获得最大的收益 ， 因此 ， 该决策需要 比较 个值 期权价值和投资机会价值 如果期权价值大于 投资机会价值 ， 等待是最佳的选择 ， 投资选择权 保持到投资机会价值等于期权价值时才进行投 资决策 执行期权要支付其执行价格 ， 即项 目的投 资 ， 并产生项 目的价值 执行期权获得 的净 值 ， 即投资机会值 ， 是项 目的值减去期权的执行 价格 若收益 很小 ， 期权值将大于执行它 的 净值 ， 因此最佳 的策略是等待 矿产品价格的运行模式 矿产品的价格运行模式通 常用维纳过程来 表示 ‘ ，， 即用标准几何布朗运 动来描述矿产品的 价格变化过 程 设 为矿产 品 的价格 ， 。 为矿 产品 价 格 的瞬时标 准差 浏 为价格 的瞬时期 望 漂移 率 ， 为矿产 品 的价格波动率 ， 矿产 品 的价格运 行遵循 过程 月 什此 式中 ， 是一 个标准 的维纳过程 ， 。而牙 ， 。 是 标准正 态分布中的一个 随机值 若矿产 品的期货价格只 ， 是 矿产品 的现 货价格 和 执行期 限式 的 函数 ， 由 定理 得 ， 。 ， 刁切 ， ，、 二 尸 户 ， 气升十去二笼专扩 兰井 、 以 ’ 一 、飞甲下厄币了 一 少 打毛百毋 由 式得， 己尸 日 节 ， ， 、 ’ 一 嘴补 名 士箭 沛的 冲代介山 构 造一 个 由数量 为 的矿产 品价值 的 多 头 头 寸 和数 量 为 嚼 的矿产 品 期 货 合约 的空 头 头寸组 成 的证券组合 设矿 产 品 的便利收益是 现货价格 的 函数夕 只 ， 在包括矿产 品 的便利 收益 时的该证券组 合 的瞬时收益为 ， 、 一 ， 、 ，， ， 、 学禅笋 一 公 一 ‘ 一 公 一 ’ 长杯 刁节 ， ， 日 ， ， 言沛的 一 盆 由于该证券组合是无风 险的 ， 其收益应等 于 无风 险收益州 ， 为以连续复利计的无风险收 益 率 ， 则 日沪 ， ， ， 、 音气台护‘ 乙 一 瑞念、 ” 一‘ 卜任合 边界条件 为月凡 若 ， ， ， 一 ‘ 由方程 和 得 期货价格 的瞬间变化 为 ， 一 需 。 。 一，，〕嗜 ， 期权定价决策模型 矿产品的价格行 为应遵循 由 式表示 的几 何布朗运 动 ， 因为 矿 山 的收益 为 · · · · 即 式 中 ， 为生 产率 ， 为年工作 日 ， 为矿 石 品位 ， 叮为矿石 回收率 按 。 定理， 、 ， 诀 ， 一 嚣由十彭甜时 由 式和 式得 叔 由此可 知矿 山收益遵循漂移率为 、 标准差 为。 的几何 布朗运 动 假设建立 一个 由价值为 的现金和 单位 的矿 山空 头 头 寸 的证券组合 ， 该证券组 合 的价值 为 砰 一 · 在 时间 内持有该证券组合 的收益为 △附 犷一 月 持有一个空 头头寸需支付的红 利为 二 · · · 式 中 了为红利 率 风 险调 整 折现 率 一 期 望 收 人增长率 由于现金流值是收人 的 函数 ， 应用 定理可将 扩展 为 。唱枷 喘 减妞韶筹 ‘ “ ‘，，， 代人方 程 得证券组 合 的总收益 为 一 枷侣筹 尸 ， 、 ， 」 ， 筋 一 式 中的 项 表示 与证券收益 有 关 的 不 确定性 ， 要 使该证券组 合是无风险的 ， 项 应 为 ， 即 。 ， ， 八 ， ， 翰 『 · 一肠 · ，一 ， 一 翰 · 寸 证券组 合的净收益 为， ， ， 犷 ‘ 二 、 件 一劲归了一 言叔 ，嵌全一翰劝 ‘ 若夕为无风 险 回报率 ， 则 砚、了了、 ‘且‘几 、 ‘ 、口 ， ， 。 ， ， 气下「『 一节万互一 了「歹刃 叭 厂一月 ‘ 、 左、 代人 的值得 枷豁 ，一，器 一 夕 · 一 为一 微分方程 ， 其解的一般形式为 犷 ‘ ， 代人 “ 磷 ‘ 一 告 一 笋沪宁 一 争令 因此方程 的一般解 为 犷 ， ‘ · 求‘

Vol.24 No.1 张能福等：基于期权定价理论的矿业工程投资决策模型 7 若R>C(C为估计年运营成本)，矿山开始生 4结论 产，V的值为现金流的折现值加上矿山风险贴 (1)应用期权定价理论和方法，对矿业投资 水，则： aR(-C(1-e)(19) 项目进行投资评估，充分考虑了价格和成本的 不确定性；而常用的折现现金流法进行矿业投 这里等于无风险回报率减去预期的成本增长 资评估时，认为价格的增长率高于通货的增长， 率k.(r=y一k)T为矿山投资项目的估计寿命. 因而具有正的漂移率，而成本的增长率与通货 当R低于C时，该式的前2项表示无期望收 的增长相同，因而其实值为常量，这样往往低估 益增长和关停灵活性的矿业投资项目在某一贴 了矿业工程投资的价值. 水下的矿业资产的估计值；若R相当大时，则R (2)在传统的矿业投资项月的评价中，认为 在短时期内不可能小于C,则前2项等于0，后2 矿床是均质的，未考虑矿床品位的变化对矿业 项变得非常大，但第1项不是如此，因此a,等于 工程投资项目的影响；应用期权定价理论和方 0,则V变成为： 法建立的期权决策模型，充分考虑了不同品位 /=aR+1-em-1-0 (20) 的矿床对投资决策的影响，因而适用于多矿种 由(18)式和(20)式可得： 矿床的矿山投资项月决策. a-g-e0-1-e1 (3)通过建立包含投资机会价值，矿产品期 f =-640-en-b1-em1 货合约和项目投资成本远期合约组成的证券组 a=6,-b,, 合，得到矿山投资项目衍生证券投资机会价值 矿山净值N同样能通过建立一个由价值N 模型，为投资决策提供了新的思路和方法， 的矿山现值和数量为H的矿山空头头寸合约组 参考文献 成的证券组合获得.按同样的方法可得出在等 1约翰·赫尔著.张陶伟译.期权、期货和衍生证券[M们. 待（投资）时的矿山净值， 北京：华复出版社，1997 N=AR" (21) 北中：4验餐方龙风伯下式求解： 2 Mann David,Gerry Goobie.Option Theory and Strategic Investment Decisions[J].Journal of Canadian Petroleum (b,-b:)a.R(b-IX1-e)R: Technology,1992,31(5):52 f 3 Dixit A K,Pindyck R S.Investment Under Uncertainty[MJ. brC1-e+kM=0. Princeton NJ:Princeton University Press,1994 4 Armstrong M,Galli A.Option Pricing a New Approach to 式中，K为项月估计投资，R为矿山投资项日的 Valuing Mining Projects[J].CIM Bulletin,1997(4):37 满意收益；矿山投资项目的净值可由式(20)得 5 Trigeorgis Lenos.A Real-option Application in Natural- 出，矿山投资项目的期权值由式(21)获得. Resource Investments[J].Advances in Futures and Option Research,1990(4):153 6 Brennan M J,Schwartz E S.Evaluating Natural Resource Investments[J].Journal of Business,1985,58:135 Application of Option Pricing Theory to Decision-making on Mining Projects ZHANG Nengfu"CAl Sijing"LIU Chaoma" I)Huainan Institute of Technology.Anhui232001,China 2)Civil and Environmental Engineering School.UST Beijing,Beijing 100083.China 3)Southern institute of Metallurgy,Ganzhou 341000,China ABSTRACT Investment in mining projects is influenced with many uncertainties such as coast,revenue etc. Traditional mining projects evaluation method,NPV,cannot be involved these uncertainties.Based on Option Pricing Theory(OPT),prices of mining outputs are modeled and incorporated into the analysis.Under consider- ation of uncertainties of mining costs and revenue,an option pricing model,a helpful approach and quantitative tools to the mining project evaluation,is developed. KEY WORDS mining projects;decision-making;option pricing;uncertainty

从〕 张能福等 基于 期权定价理 论的矿业 程投资决策模型 若 为估计年运 营成本 ， 矿 山 开 始生 产 ， 的值 为现金 流 的 折 现 值加 上 矿 山 风 险贴 水 ， 则 犷一 · ， 合 谬 ‘，一乃一 令 ，一 ‘ ， “ ，， 这 里 等于 无 风 险 回报 率 减 去 预 期 的 成 本 增 长 率 尹一 为矿 山投资项 目的估计寿命 当 低于 时 ， 该式 的前 项表示 无期望 收 益增 长 和关停灵 活性 的矿业投资项 目在某一 贴 水下 的矿业 资产 的估计值 若 相 当大时 ， 则 在短 时期内不 可 能小 于 ， 则前 项 等于 ， 后 项 变得非 常大 ， 但第 项 不 是 如此 ， 因此口 等于 ， 则 犷变 成为 一， 办 」 谬 ‘，一勺一 令 ‘一， ，” ， 由 式和 式可得 · 一 拭今 ，一 一 旱 ，一乃“ 一 拭 知 一 一旱 ，一乃〕 · 矿 山 净值 同样能通 过 建立 一 个 由价 值 的矿 现值和 数量 为 的矿 山空 头 头 寸合约 组 成 的证券组 合获得 按 同样 的方 法 可 得 出在等 待 投 资 时 的矿 山 净 值 ， 八· 其 中 ， 鱼丛星里口二旦夕 阮 晋 一 ’ 公 一 ‘ ， ‘ 由下式 求解 ，一 求合坦 巡 。 笋巡万飞幻 一 。 式 中 ， 为项 目估计投 资 ， 。 为矿 山投 资项 目的 满 意收益 矿 山投 资项 目的净值可 由式 得 出 ， 矿 山投资项 目的期 权值 由式 获得 结论 应 用 期权 定 价理论和 方 法 ， 对矿 业投 资 项 目进行投 资评估 ， 充分考虑 了价格 和成本的 不确定 性 而 常用 的折现现金 流 法 进 行矿 业 投 资评估时 ， 认 为价格 的增长 率高于通 货 的增 长 ， 因而具有正 的漂移率 ， 而成本 的增长率与通 货 的增长相同 ， 因而其实值为常量 ， 这样往往低估 了矿业 工 程投资 的价值 在传统 的矿 业投资项 目的评价 中 ， 认 为 矿床是 均质 的 ， 未 考虑 矿 床 品位 的变 化对矿 业 工 程投资项 目的影 响 应用 期权定价理论 和方 法建立 的期权决 策模 型 ， 充分考虑 了不 同品位 的矿床对投资决策的影 响 ， 因 而适 用 于 多矿 种 矿 床的矿 山投资项 目决策 通 过 建立 包 含投 资机会价值 、 矿 产 品 期 货合约和项 目投资成本远 期合约组成的证券组 合 ， 得到矿 山投资项 目衍生 证券投资机会价值 模 型 ， 为投资决策提供 了新 的思 路和 方法 参 考 文 献 约翰 · 赫尔 著 张 陶伟译 期权 、 期货和衍生证券【 北京 华夏出版社 ， ， 叮 【 介 ， ， ， · ， ， ， 罗 一 ， ， ” ， ， 一 侧 亡 爪 ， 匆 宫 产 ，， 邵 ， ， ， ， ， 理卿 ， ， · ， ， ， ， ， ， 一