基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型

D0I:10.13374/1.issm100103.2008.05.020 第30卷第5期 北京科技大学学报 Vol.30 No.5 2008年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing My2008 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 王利)高 谦) 1)河南理工大学土木工程学院，焦作4540002)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要根据单轴受力特性曲线唯象地考察岩石材料损伤演化，定义弹性应变表示的一维损伤变量及其本构模型，利用双剪 强度理论将其推广至三维模型。塑性是潜在破坏面的摩擦滑移，在传统塑性理论的框架中，建立了基于摩尔一库仑强度理论与 潜在滑移面摩擦软硬化特性的各向异性损伤弹塑性本构关系。结果表明，计算的损伤演化与CT观测结果符合很好，用本文 的弹塑性模型反映损伤材料的力学特性是可行的. 关键词岩石；损伤模型；双剪理论：摩擦塑性 分类号TD853.36+4:0346.5 Elastoplastic model of damaged rock based on the strength theory WANG Li,GAO Qian2) 1)School of Civil Engineering.Henan Polytechnic University.Jiaozuo54000.China 2)Department of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI The one-dimensional damage variable was defined based on the elasto-brittle behavior of rock under uniaxial loading. To define the damage and its evolution in three-dimensional loading,the twin"shear theory was introduced to generalize the one-di- mensional damage model into the three-dimensional model.The elastic behavior of the damaged material under loading can be ex- pressed by reducing the elastic module,and the plastic flow can be represented by the slide on the plane between the two parts of the fractured rock.To establish the elastoplastic model of the damaged material.the concept of effective stress was used to contain the ef- fects of damage in the yielding equation as well as in the function of plastic potential.The model was established in the frame of the classical plasticity theory in which the Mohr-Coulomb criterion was employed as the yielding criterion,and the friction law on the pre- sliding plane was taken as the hardening"softening rule to describe the change of the yielding surface with the progressive yielding. The comparison of the calculated results with tested results by a CT machine shows that the damage model presented in the paper can accurately describe the damage evolution of rock in Nangiao Sandstone,and that the damage-elasto plastic model is indeed feasible in describing the mechanical properties of the damaged material. KEY WORDS rock:damage model:twin-shear theory:friction plasticity 岩石中存在着大量的随机分布的微裂纹，大量 岩石损伤的丰富信息，所以，建立在材料基本力学 细观实验观察表明)，岩石屈服破坏是一个微裂 特性基础上的唯象方法仍然是研究材料损伤及其演 纹萌生、扩展、贯通以及宏观裂隙面滑移的过程、在 化的重要方法，建立了很多损伤模型，如Loland、 连续介质力学中，用损伤和塑性来描述材料力学性 Marzars模型6]、周维垣的弹脆性损伤模型]、 质的这种不可逆变化， Lematre[s,Brook、高路彬等人的模型).唯象方法 对于损伤的描述，从材料的细观损伤机理出发， 的关键是如何实现从一维模型向三维模型的推广， 反映材料内部微裂纹、微孔洞等损伤基元演化行为 各模型基于损伤由拉应变产生、压应变不产生损伤 的模型已经有很多到，但是，最新揭示的损伤机 的细观机理，研究材料单元的单侧受力特性，在模型 理]表明，现有的细观损伤模型并不能够完全反映 中使用一个Heaviside算子来屏蔽压应变对损伤的 贡献，并以此建立三维各向异性损伤本构模型，研 收稿日期：2007-03-07修回日期：2007-10-22 究发现，上述模型适应能力差，某些情况下不能反映 作者简介：王利(1969一)，男，副教授，博士， 三轴应力下岩石损伤，本文提出了基于双剪强度理 E-mail:wlcjwh@163.com 论的三维各向同性损伤模型，计算结果与CT观测

基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 王 利1） 高 谦2） 1） 河南理工大学土木工程学院‚焦作454000 2） 北京科技大学土木与环境工程学院‚北京100083 摘 要 根据单轴受力特性曲线唯象地考察岩石材料损伤演化‚定义弹性应变表示的一维损伤变量及其本构模型‚利用双剪 强度理论将其推广至三维模型．塑性是潜在破坏面的摩擦滑移‚在传统塑性理论的框架中‚建立了基于摩尔－库仑强度理论与 潜在滑移面摩擦软－硬化特性的各向异性损伤弹塑性本构关系．结果表明‚计算的损伤演化与 CT 观测结果符合很好‚用本文 的弹塑性模型反映损伤材料的力学特性是可行的． 关键词 岩石；损伤模型；双剪理论；摩擦塑性 分类号 TD853∙36＋4；O346∙5 Elastoplastic model of damaged rock based on the strength theory W A NG Li 1）‚GA O Qian 2） 1） School of Civil Engineering‚Henan Polytechnic University‚Jiaozuo454000‚China 2） Department of Civil and Environmental Engineering‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China ABSTRACT T he one-dimensional damage variable was defined based on the elasto-brittle behavior of rock under uniaxial loading． To define the damage and its evolution in three-dimensional loading‚the twin-shear theory was introduced to generalize the one-di￾mensional damage model into the three-dimensional model．T he elastic behavior of the damaged material under loading can be ex￾pressed by reducing the elastic module‚and the plastic flow can be represented by the slide on the plane between the two parts of the fractured rock．To establish the elastoplastic model of the damaged material‚the concept of effective stress was used to contain the ef￾fects of damage in the yielding equation as well as in the function of plastic potential．T he model was established in the frame of the classical plasticity theory in which the Mohr-Coulomb criterion was employed as the yielding criterion‚and the friction law on the pre￾sliding plane was taken as the hardening-softening rule to describe the change of the yielding surface with the progressive yielding． T he comparison of the calculated results with tested results by a CT machine shows that the damage model presented in the paper can accurately describe the damage evolution of rock in Nanqiao Sandstone‚and that the damage-elasto-plastic model is indeed feasible in describing the mechanical properties of the damaged material． KEY WORDS rock；damage model；twin-shear theory；friction plasticity 收稿日期：2007-03-07 修回日期：2007-10-22 作者简介：王 利（1969－）‚男‚副教授‚博士‚ E-mail：wlcjwh＠163．com 岩石中存在着大量的随机分布的微裂纹．大量 细观实验观察表明［1－3］‚岩石屈服破坏是一个微裂 纹萌生、扩展、贯通以及宏观裂隙面滑移的过程．在 连续介质力学中‚用损伤和塑性来描述材料力学性 质的这种不可逆变化． 对于损伤的描述‚从材料的细观损伤机理出发‚ 反映材料内部微裂纹、微孔洞等损伤基元演化行为 的模型已经有很多［4］．但是‚最新揭示的损伤机 理［5］表明‚现有的细观损伤模型并不能够完全反映 岩石损伤的丰富信息．所以‚建立在材料基本力学 特性基础上的唯象方法仍然是研究材料损伤及其演 化的重要方法‚建立了很多损伤模型‚如 Loland、 Marzars 模 型［6］、周 维 垣 的 弹 脆 性 损 伤 模 型［7］、 Lematre ［8］、Brook、高路彬等人的模型［9］．唯象方法 的关键是如何实现从一维模型向三维模型的推广‚ 各模型基于损伤由拉应变产生、压应变不产生损伤 的细观机理‚研究材料单元的单侧受力特性‚在模型 中使用一个 Heaviside 算子来屏蔽压应变对损伤的 贡献‚并以此建立三维各向异性损伤本构模型．研 究发现‚上述模型适应能力差‚某些情况下不能反映 三轴应力下岩石损伤．本文提出了基于双剪强度理 论的三维各向同性损伤模型‚计算结果与 CT 观测 第30卷 第5期 2008年 5月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．5 May2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．05．020

462 北京科技大学学报 第30卷 结果一致 合曲线O一A一B一C一M曲线，得到脆性指数n 岩石材料塑性流动的细观机理可用裂隙面的摩 擦加以解释1o.Dragon等2]研究了裂纹摩擦引 =1e (2) 起的塑性与损伤的耦合问题，但模型较复杂，本文 式中，E为无损材料的弹性模量，与此相似，根据岩 在传统塑性力学的框架内建立基于莫尔一库仑强度 石在单轴拉伸作用下的应力应变曲线可以写出拉伸 理论的弹塑性损伤模型，利用潜在滑移面上的摩擦 条件下的损伤演化公式， 特性如内聚力和摩擦因数为滑移面塑性位移的函 1.2基于双剪理论的三维损伤本构模型 数，较为简单地反映了岩石损伤影响的软一硬化 对于岩石材料而言，初始屈服标志损伤开始演 特性 化，因此用强度理论研究损伤问题是一个很好的途 径，双剪强度理论综合考虑了岩石损伤特征和静应 1损伤本构模型 力效应、正应力效应、中间主应力效应等，比其他岩 岩石单轴应力一应变曲线是岩石弹塑性损伤的 石强度理论，如莫尔一库仑理论等更能体现岩石的 全部信息的综合反应，本文假定损伤和塑性流动是 强度特征，因此在物理、材料科学、地球科学和工程 在不同的准则下发展的，因此如何从全应力一应变 中获得成功应用3].它通过一个应力状态参数，将 曲线分离纯粹的损伤演变信息是模型的关键. 应力空间划分为等效拉剪和等效压剪状态，用统一 1.1一维损伤本构关系 的材料参数判定屈服状态，很容易实现从一维损伤 材料损伤表现为力学特性上变形刚度的降低， 模型向三维损伤模型的过渡，此前，李庆斌]曾用 用唯象方法反映损伤及其演变，损伤为弹性应变的 双剪理论研究了混凝土的动、静态损伤问题，但结果 函数，文献[7]基于岩石材料的细观开裂机理给出 尚需充分验证 的弹脆性材料的单轴压缩情形下的损伤演化规律， 1.2.1双剪应变初始损伤面 形式简单，符合实际，具有很强的适应性，本文认为 根据文献[14]所述，主应变空间的双剪损伤面 弹脆性损伤模型即为岩石的纯粹损伤模型17]，据此 为：当，<二)ta时广义拉伸)， 定义一维脆性材料损伤变量为： (1-)(1+a) (++8 1 Q=(e/E)" (1) 其中飞，表示2=1时，即材料完全损伤时的应变 =21+y4 (3) 量，对应于图1的D点；e表示材料的弹性应变，n 1+ 为材料脆性指数，对于弹塑性耦合损伤，可以利用 当g>)ta时广义压缩， 图1所示曲线将损伤演变路径分离出来，通过量取 (1-)(1+a) 变形破坏后试件的塑性变形可得到塑性应变ξ。·一 F-{2a+)+8号 般情况下，损伤总是不彻底，即损伤终点对应的弹性 [2(+)+ 2(1+)品 应变为·从试件总应变e中减去塑性应变，便 1+a (4) 可得到损伤终点的总的弹性应变·利用式(2)拟 式中，、2、3表示主应变；a=品；品、h是材 50 料在单轴压缩和拉伸屈服时的临界应变，即损伤门 槛值，以绝对值表示；是材料泊松比；屈服面公式 右侧部分可用一个材料参数C表示.当应力状态 30 位于该面内，即当|F<|c或|F'I<|Cl时，岩石 无损伤演化：否则其内部有损伤演化，注意，公式中 的应变全部为弹性应变，随着材料的渐进损伤，损 10 伤面也会随着损伤硬化和软化而扩大或收缩，因此 材料参数C也随之增大或变小.但是，利用F或F H 0.10.2030.4D0.50.6P0.7 表示的三维应变强度跟踪材料单轴条件下的损伤演 e/% 变特性，就可以构造三维损伤模型 图1金川橄榄岩单轴压缩应力应变曲线 1.2.2双剪损伤本构模型 Fig.1 Stress"strain curve of Jinchuan olivenite under uniaxial com- 由式(1)、（③）两式构造广义拉伸条件下的损伤 pression 变量为：

结果一致． 岩石材料塑性流动的细观机理可用裂隙面的摩 擦加以解释［10］．Dragon 等［11－12］研究了裂纹摩擦引 起的塑性与损伤的耦合问题‚但模型较复杂．本文 在传统塑性力学的框架内建立基于莫尔－库仑强度 理论的弹塑性损伤模型‚利用潜在滑移面上的摩擦 特性如内聚力和摩擦因数为滑移面塑性位移的函 数‚较为简单地反映了岩石损伤影响的软－硬化 特性． 1 损伤本构模型 岩石单轴应力－应变曲线是岩石弹塑性损伤的 全部信息的综合反应．本文假定损伤和塑性流动是 在不同的准则下发展的‚因此如何从全应力－应变 曲线分离纯粹的损伤演变信息是模型的关键． 1∙1 一维损伤本构关系 材料损伤表现为力学特性上变形刚度的降低． 用唯象方法反映损伤及其演变‚损伤为弹性应变的 函数．文献［7］基于岩石材料的细观开裂机理给出 的弹脆性材料的单轴压缩情形下的损伤演化规律‚ 形式简单‚符合实际‚具有很强的适应性．本文认为 弹脆性损伤模型即为岩石的纯粹损伤模型［17］‚据此 定义一维脆性材料损伤变量为： Ω＝（εe／εs） n （1） 图1 金川橄榄岩单轴压缩应力应变曲线 Fig．1 Stress-strain curve of Jinchuan olivenite under uniaxial com￾pression 其中 εs 表示 Ω＝1时‚即材料完全损伤时的应变 量‚对应于图1的 D 点；εe 表示材料的弹性应变‚n 为材料脆性指数．对于弹塑性耦合损伤‚可以利用 图1所示曲线将损伤演变路径分离出来．通过量取 变形破坏后试件的塑性变形可得到塑性应变εp．一 般情况下‚损伤总是不彻底‚即损伤终点对应的弹性 应变为ε e H．从试件总应变 ε中减去塑性应变εp‚便 可得到损伤终点的总的弹性应变 ε e H．利用式（2）拟 合曲线 O－A－B－C－M 曲线‚得到脆性指数 n． σ＝ E 1－ εe εs n εe （2） 式中‚E 为无损材料的弹性模量．与此相似‚根据岩 石在单轴拉伸作用下的应力应变曲线可以写出拉伸 条件下的损伤演化公式． 1∙2 基于双剪理论的三维损伤本构模型 对于岩石材料而言‚初始屈服标志损伤开始演 化‚因此用强度理论研究损伤问题是一个很好的途 径．双剪强度理论综合考虑了岩石损伤特征和静应 力效应、正应力效应、中间主应力效应等‚比其他岩 石强度理论‚如莫尔－库仑理论等更能体现岩石的 强度特征‚因此在物理、材料科学、地球科学和工程 中获得成功应用［13］．它通过一个应力状态参数‚将 应力空间划分为等效拉剪和等效压剪状态‚用统一 的材料参数判定屈服状态‚很容易实现从一维损伤 模型向三维损伤模型的过渡．此前‚李庆斌［9］曾用 双剪理论研究了混凝土的动、静态损伤问题‚但结果 尚需充分验证． 1∙2∙1 双剪应变初始损伤面 根据文献［14］所述‚主应变空间的双剪损伤面 为：当ε2≤ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 时（广义拉伸）‚ F＝ ε1－ 1 2 （ε2＋ε3） ＋ （1－α）（1＋ν） （1＋α）（1－ν） · ε1＋ 1 2 （ε2＋ε3） ＝ 2（1＋ν）εt th 1＋α （3） 当ε2＞ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 时（广义压缩）‚ F′＝ 1 2 （ε1＋ε2）－ε3 ＋ （1－α）（1＋ν） （1＋α）（1－ν） · 1 2 （ε1＋ε2）＋ε3 ＝ 2（1＋ν）εt th 1＋α （4） 式中‚ε1、ε2、ε3 表示主应变；α＝εt th／εc th；εc th、εt th是材 料在单轴压缩和拉伸屈服时的临界应变‚即损伤门 槛值‚以绝对值表示；ν是材料泊松比；屈服面公式 右侧部分可用一个材料参数 C 表示．当应力状态 位于该面内‚即当｜F｜＜｜C｜或｜F′｜＜｜C｜时‚岩石 无损伤演化；否则其内部有损伤演化．注意‚公式中 的应变全部为弹性应变．随着材料的渐进损伤‚损 伤面也会随着损伤硬化和软化而扩大或收缩‚因此 材料参数 C 也随之增大或变小．但是‚利用 F 或 F′ 表示的三维应变强度跟踪材料单轴条件下的损伤演 变特性‚就可以构造三维损伤模型． 1∙2∙2 双剪损伤本构模型 由式（1）、（3）两式构造广义拉伸条件下的损伤 变量为： ·462· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷

第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463 (5) g(o,up)=01-03 N (11) 这里，主应力符号压为负，且o<2<3,c是内聚 式中，表示Ω=1时，即材料拉伸完全损伤时的应 力，为塑性内变量，表示潜在破坏面上的塑性滑 变量，由式(1)、(4)两式构造广义压缩条件下的损 移.N是内摩擦角中的函数： 伤变量为： _1十sinΦ N一1一sin中 (12) n=He (6) 在考虑强化一软化特性时，上述材料参数是塑 这里H=2件8.H-2a件 性内变量，的函数c(p)、N(p),其意义如图2 各向同性的损伤本构关系表述为： 所示 =Edg-gou5y (1-0)1 (7) 1.2.3应用举例 为了验证模型的正确性，给出单轴拉伸和压缩 两种情形的应用 (1)单轴拉伸情形 2三3=一UE1 代入式（③），在a、v的合理取值范围，不难验证2≤ 二)ta-y,且F=2t四e1,代入式 (1-)(1+a) 1+a 图2剪切滑动应变 ().得n Fig-2 Displacement on the sliding plane ,由此推得损伤本构方程为： o1=Ee1(1-2) up=E1/cos0 (13) (8) 塑性应变增量由塑性位势理论给出： (2)单轴压缩情形. E1=2=一v3 d=di ∂o (14) 代入式(4)，在&、v的合理取值范围，不难验证2> d入根据一致性条件df=0确定，得： =)ty,且r=二2小g,代入 (1-)(1+a) 1+a 8o+号影u,-0 df-ac (15) 式(6)，得Ω= ”,由此推得损伤本构方程为： 由式(13)和(14)，可得： 3=E3(1-2) (9) 若d+影以=0 df=a。 (16) 这与文献[7]的结果完全一致， 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂，可参 (17) 见文献[14]类似的验证.三轴情形一直没有得到验 do=D:(de-de)=:ds-da2g 证，本文将给出其CT实验观测的对比验证结果， 代入式(16)，得： 2基于摩擦的塑性本构模型 af:p:de ∂ dλ= (18) 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移. :w%-B a0 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 代入式(17)，得增量形式的应力应变关系： 料屈服过程复杂的力学特性，本文基于莫尔一库仑 do=DPds (19) 理论，在传统塑性理论的框架内，推导出各向异性弹 D°为无损材料的弹性刚度，DP为无损材料的弹塑 塑性损伤本构关系， 性切向弹性刚度，其矩阵表示： 2.1弹塑性损伤本构模型 a013o D 取塑性屈服函数为摩尔库仑准则： DP=D- (20) f=f(o,p)=o1-3N+2cNN(10) ao D八a可 -3 其塑性势函数为可： B表示塑性硬化部分：

Ω＝ ｜F｜ Hε′s n′ （5） 式中‚ε′s 表示 Ω＝1时‚即材料拉伸完全损伤时的应 变量．由式（1）、（4）两式构造广义压缩条件下的损 伤变量为： Ω＝ ｜F′｜ H′εs n （6） 这里‚H＝ 2（1＋v ） 1＋α ‚H′＝ 2α（1＋v ） 1＋α ． 各向同性的损伤本构关系表述为： εij＝ 1＋v E σij－ v E σkkδij （1－Ω） －1 （7） 1∙2∙3 应用举例 为了验证模型的正确性‚给出单轴拉伸和压缩 两种情形的应用． （1） 单轴拉伸情形． ε2＝ε3＝－vε1 代入式（3）‚在 α、v 的合理取值范围‚不难验证ε2≤ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） ‚且 F＝ 2（1＋v ） 1＋α ε1‚代入式 （5）‚得 Ω＝ ε1 ε′s n′ ‚由此推得损伤本构方程为： σ1＝ Eε1（1－Ω） （8） （2） 单轴压缩情形． ε1＝ε2＝－vε3 代入式（4）‚在 α、v 的合理取值范围‚不难验证ε2＞ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） ‚且 F＝ －2α（1＋v ） 1＋α ε3‚代入 式（6）‚得 Ω＝ ε3 εs n ．由此推得损伤本构方程为： σ3＝ Eε3（1－Ω） （9） 这与文献［7］的结果完全一致． 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂‚可参 见文献［14］类似的验证．三轴情形一直没有得到验 证‚本文将给出其 CT 实验观测的对比验证结果． 2 基于摩擦的塑性本构模型 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移． 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 料屈服过程复杂的力学特性．本文基于莫尔－库仑 理论‚在传统塑性理论的框架内‚推导出各向异性弹 塑性损伤本构关系． 2∙1 弹塑性损伤本构模型 取塑性屈服函数为摩尔－库仑准则： f＝ f （σ‚up）＝σ1－σ3N●＋2c N● （10） 其塑性势函数为［15］： g（σ‚up）＝σ1－σ3N● （11） 这里‚主应力符号压为负‚且 σ1＜σ2＜σ3．c 是内聚 力‚up 为塑性内变量‚表示潜在破坏面上的塑性滑 移．N●是内摩擦角●的函数： N●＝ 1＋sin● 1－sin● （12） 在考虑强化－软化特性时‚上述材料参数是塑 性内变量 up 的函数 c（ up）、N●（ up）‚其意义如图2 所示． 图2 剪切滑动应变 Fig．2 Displacement on the sliding plane up＝ε1／cosθ （13） 塑性应变增量由塑性位势理论给出： dεp＝dλ ∂g ∂σ （14） dλ根据一致性条件 d f＝0确定‚得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up d up＝0 （15） 由式（13）和（14）‚可得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up 1 cosθ ∂g ∂σ1 dλ＝0 （16） 又 dσ＝ D e∶（dε－ dεp ）＝ D e∶ dε－dλ ∂g ∂σ （17） 代入式（16）‚得： dλ＝ ∂f ∂σ ∶D e∶dε ∂f ∂σ ∶D e∶ ∂g ∂σ －β （18） 代入式（17）‚得增量形式的应力应变关系： dσ＝ D ep dε （19） D e 为无损材料的弹性刚度‚D ep为无损材料的弹塑 性切向弹性刚度‚其矩阵表示： D ep＝ D e－ D e ∂g ∂σ ∂f ∂σ T D e ∂f ∂σ T D e ∂g ∂σ －β （20） β表示塑性硬化部分： 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463·

.464 北京科技大学学报 第30卷 =影a器-iw)2c(o)+ co(1-up/uo),4p≤u0 (31) 0 upug (4】品0 (21) b4puR,4p≤uR (32) 0, 损伤对材料弹塑性的影响体现在对弹性刚度的 up-uR 损伤和对加载函数、塑性势函数及软一硬化参数的 这里，表示剪切面上的塑性滑移.由于材料强度 影响，因此，有： 完全丧失，产生宏观滑动时，内摩擦因数一定增加到 D=M(O)D M(O) (22) 极限值H,因此总有“≤Q:这样，可知滑移面上 摩擦特性变化可分为三个位移区间，即[0，)、 了=f(g)1n1nN+2m 01 [uRuo)和[uo,o),如图3所示.c(p)和(p) (23) 的导数为： c'=co/ug:=o/ug (33) (11 01 (24) W4= 1+2+ (34) 11 N1+2-μ N- 2μ' 2 (35) (25) 1+2- 这里，0=牙+，其含义见图2.M(D)为损伤弹性 这里，μ=tan中. 影响矩阵，对于各向异性损伤，21、n2、g是与主应 力同轴的损伤主分量，在主应力坐标系下，有： E D=(1+u)(1-2) 1一 S (26) 「1-21 图3滑移面的变形屈服过程 M(2)= 1-22 (27) Fig.3 Deformation and yielding of the sliding plane of rock 1-03 3验证与讨论 =[M(D)] (28) N 对于岩石而言，损伤是材料破坏的诱发点，它导 将以上诸式代入式(20)，得到损伤弹塑性矩阵： 致材料滑移面上粘聚力降低以及摩擦因数增大，基 于此观点，对于岩石材料的弹塑性损伤分析，按照以 D中=D 838D 下路线进行，令？为单元完全破坏的损伤值： an ag (29) -3 (1)计算单元的损伤状态.如果0<2<2，继 续判断单元滑移面上的应力状态，如果滑移面上作 增量形式的损伤弹塑性应力应变关系为： 用压应力，采用弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 do-DdPd (30) 应变，其软，硬化特性视滑移面正应力而定：如果滑 2.2软化与硬化特性 移面上为拉应力，用损伤弹性模型，计算单元应变， 材料的抗剪切强度由内聚力和潜在滑移面上的 (2)计算单元损伤状态.如果n=,继续判 摩擦力构成、但是，由于二者不能同时达到最大，导 断单元滑移面上的应力状态，如果滑移面上作用压 致复杂的软硬化特性，根据文献[16]，材料的摩擦 应力，采用理想弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 特性有两个主要变形临界值、“0·材料粘聚强度 应变；如果滑移面上为拉应力，则单元完全破坏 c在塑性变形0~o范围内线性降低：而内摩擦因 分析实例：文献[4]曾对陕西蒲白矿物局南桥煤 数在塑性变形0一范围内增加，最大值为“，其 矿西一大巷（巷道埋深340m)的砂岩（平均容重 变化表示为： 2500kgm3,弹性模量E=57.4894MPa,泊松比

β＝ ∂f ∂up 1 cosθ ∂g ∂σ1 ＝ －σ3N′●（ up）＋2c′（ up） N●＋ c N● N′●（ up） 1 cosθ （21） 损伤对材料弹塑性的影响体现在对弹性刚度的 损伤和对加载函数、塑性势函数及软－硬化参数的 影响‚因此‚有： D ～ e＝ M（Ω） D e M（Ω） （22） f ～＝ f （σ ～ ‚q）＝ σ1 1－Ω1 － σ3 1－Ω3 N●＋2c N● （23） g ～＝g（σ ～ ‚q）＝ σ1 1－Ω1 － σ3 1－Ω3 N● （24） β ～＝ － σ3 1－Ω3 N′●＋2c′ N●＋ c N● N′● 1 1－Ω1 1 cosθ （25） 这里‚θ＝ π 4 ＋ ● 2 ‚其含义见图2．M（Ω）为损伤弹性 影响矩阵‚对于各向异性损伤‚Ω1、Ω2、Ω3 是与主应 力同轴的损伤主分量‚在主应力坐标系下‚有： D e＝ E （1＋v ）（1－2v ） 1－v v v 1－v v S 1－v （26） M（Ω）＝ 1－Ω1 1－Ω2 1－Ω3 （27） ∂f ～ ∂σ ＝ ∂g ～ ∂σ ＝［ M（Ω）］ －1 1 0 － N● （28） 将以上诸式代入式（20）‚得到损伤－弹塑性矩阵： D edp＝ D ～ e－ D ～ e ∂g ～ ∂σ ∂f ～ ∂σ T D ～ e ∂f ～ ∂σ T D ～ e ∂g ～ ∂σ －β ～ （29） 增量形式的损伤－弹塑性应力－应变关系为： dσ＝ D edp dε （30） 2∙2 软化与硬化特性 材料的抗剪切强度由内聚力和潜在滑移面上的 摩擦力构成．但是‚由于二者不能同时达到最大‚导 致复杂的软硬化特性．根据文献［16］‚材料的摩擦 特性有两个主要变形临界值 uR、uQ．材料粘聚强度 c 在塑性变形0～ uQ 范围内线性降低；而内摩擦因 数在塑性变形0～ uR 范围内增加‚最大值为 μ．其 变化表示为： c＝ c0（1－ up／uQ）‚ up≤ uQ 0‚ up＞ uQ （31） μ＝ μ0up／uR‚ up≤ uR μ0‚ up＞ uR （32） 这里‚up 表示剪切面上的塑性滑移．由于材料强度 完全丧失‚产生宏观滑动时‚内摩擦因数一定增加到 极限值 μ‚因此总有 uR≤ uQ．这样‚可知滑移面上 摩擦特性变化可分为三个位移区间‚即 ［0‚uR）、 ［ uR‚uQ）和［ uQ‚∞）‚如图3所示．c（ up）和 μ（ up） 的导数为： c′＝c0／uQ‚μ′＝μ0／uR （33） N●＝ 1＋μ2＋μ 1＋μ2－μ （34） N′●＝ 2μ′ 1＋μ2－μ 2 （35） 这里‚μ＝tan●． 图3 滑移面的变形屈服过程 Fig．3 Deformation and yielding of the sliding plane of rock 3 验证与讨论 对于岩石而言‚损伤是材料破坏的诱发点‚它导 致材料滑移面上粘聚力降低以及摩擦因数增大．基 于此观点‚对于岩石材料的弹塑性损伤分析‚按照以 下路线进行‚令 ΩF 为单元完全破坏的损伤值： （1） 计算单元的损伤状态．如果0＜Ω＜ΩF‚继 续判断单元滑移面上的应力状态‚如果滑移面上作 用压应力‚采用弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 应变‚其软‚硬化特性视滑移面正应力而定；如果滑 移面上为拉应力‚用损伤弹性模型‚计算单元应变． （2） 计算单元损伤状态．如果 Ω＝ΩF‚继续判 断单元滑移面上的应力状态‚如果滑移面上作用压 应力‚采用理想弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 应变；如果滑移面上为拉应力‚则单元完全破坏． 分析实例：文献［4］曾对陕西蒲白矿物局南桥煤 矿西一大巷（巷道埋深340m）的砂岩（平均容重 2500kg·m －3‚弹性模量 E＝57∙4894MPa‚泊松比 ·464· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷

第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 .465. =0.2),进行CT实时损伤观测，结果见表1和 1.0 2 表2. 0.8 表1南桥砂岩6°试件单轴压缩实验结果 Table 1 Test results of Nanqiao Sandstone under uniaxial compression 90.6 扫描次序 6/MPa e1/% CT数 0 0 1641.93 一计算值 0.2 +CT观测值 12.99 0.189 1645.28 9 25.37 0.440 1645.00 0.5 1.0 1.5 2.02.53.0 36.57 0.692 1623.38 e/% 39.56 0.755 1606.00 图4南桥砂岩单轴压缩损伤演化曲线 2.99 1.069 1499.40 Fig.4 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under unixaxi- 7 1.32 2.579 1362.03 al compression 表2南桥砂岩5*试件三轴压缩试验实验结果(=o=10MPa) 0.08 Table 2 Test results of Nangiao Sandstone under triaxial compression 0.07 2/ 扫描 1/ (1-2)/ 0.06 e1/% CT数 次序 MPa MPa 90.05 0.04 一计算值 1 11.88 1.88 0.06 1607.6 +CT观测值 2 22.63 12.63 0.25 1610.5 0.02 3 35.92 25.92 0.50 1612.1 0.01 45.66 35.66 0.69 1612.1 02 0.40.60.81.01.21.4 48.85 38.85 0.76 1611.2 e/% 6 49.47 39.47 0.79 1607.5 51.71 41.71 0.85 1603.5 图5南桥砂岩三轴压缩损伤演化曲线 Fig.5 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under triaxial 8 40.79 30.79 1.16 1589.1 compression 根据损伤演化CT数变化，定义损伤变量为： 45 D=8 1000+Hm 1-1000+&.Hmg (36) 30 式中，m0=0.35为CT机空间分辨率，&、&。分别为 一计算值 +CT观测值 初始损伤影响因子和闭合影响系数.Hmo、Hm分 别为试件初始和任一应力状态的CT数， 15 实验过程的CT数变化表中给出，c=1.05, &.=1645.28/1641.93=1.002.本文利用相同数 。 0.51.01.52.02.53.0 据，损伤模型计算参数a=0.65,c,=0.85,n=8,计 E,/% 算相同荷载下的损伤值，两种方法计算的损伤值对 比见图4和图5所示.曲线1为弹性应变表示的损 图6南桥砂岩单轴压缩应力应变曲线 伤演化，它对应于由弹性应变引起的纯粹损伤的情 Fig.6 Stress"strain curve of Nangiao Sandstone under uniaxial com pression 形，实际上，材料在损伤到某一极限值后，总伴有塑 性位移发生，这样实际观测到的损伤演变路径为曲 有岩石都出现应力跌落，其幅度视岩石强弱和围压 线2，但材料仍为弹性损伤律 大小而定，大量岩石实验已经反映了这样的事实 从图6和图7看出，塑性位移均开始出现于靠 岩石内宏观裂纹出现为塑性摩擦提供了条件，这可 近峰值后的某个位移点上，这是由于在峰值强度前， 以理解为，在峰值后区，由于损伤影响使材料刚度降 岩石内微裂隙损伤没有贯通为宏观大裂纹，当外加 低，结构柔性增加，微裂隙以及已经贯通的宏观裂隙 荷载达到峰值强度时，宏观大裂纹出现，此时几乎所 之间产生相对滑动.这种相对滑动对应于断裂力学

ν＝0∙2）‚进行 CT 实时损伤观测‚结果见表1和 表2． 表1 南桥砂岩6＃试件单轴压缩实验结果 Table1 Test results of Nanqiao Sandstone under uniaxial compression 扫描次序 σ1／MPa ε1／％ CT 数 1 0 0 1641∙93 2 12∙99 0∙189 1645∙28 3 25∙37 0∙440 1645∙00 4 36∙57 0∙692 1623∙38 5 39∙56 0∙755 1606∙00 6 2∙99 1∙069 1499∙40 7 1∙32 2∙579 1362∙03 表2 南桥砂岩5＃试件三轴压缩试验实验结果（σ2＝σ3＝10MPa） Table2 Test results of Nanqiao Sandstone under triaxial compression 扫描 次序 σ1／ MPa （σ1－σ2）／ MPa ε1／％ CT 数 1 11∙88 1∙88 0∙06 1607∙6 2 22∙63 12∙63 0∙25 1610∙5 3 35∙92 25∙92 0∙50 1612∙1 4 45∙66 35∙66 0∙69 1612∙1 5 48∙85 38∙85 0∙76 1611∙2 6 49∙47 39∙47 0∙79 1607∙5 7 51∙71 41∙71 0∙85 1603∙5 8 40∙79 30∙79 1∙16 1589∙1 根据损伤演化 CT 数变化‚定义损伤变量为［4］： D＝ αe m 2 0 1－ 1000＋ Hrm 1000＋αc Hrm0 （36） 式中‚m0＝0∙35为 CT 机空间分辨率‚αe、αc 分别为 初始损伤影响因子和闭合影响系数．Hrm0、Hrm 分 别为试件初始和任一应力状态的 CT 数． 实验过程的 CT 数变化表中给出‚αe＝1∙05‚ αc＝1645∙28／1641∙93＝1∙002．本文利用相同数 据‚损伤模型计算参数 α＝0∙65‚εs＝0∙85‚n＝8‚计 算相同荷载下的损伤值‚两种方法计算的损伤值对 比见图4和图5所示．曲线1为弹性应变表示的损 伤演化‚它对应于由弹性应变引起的纯粹损伤的情 形．实际上‚材料在损伤到某一极限值后‚总伴有塑 性位移发生‚这样实际观测到的损伤演变路径为曲 线2‚但材料仍为弹性损伤律． 从图6和图7看出‚塑性位移均开始出现于靠 近峰值后的某个位移点上‚这是由于在峰值强度前‚ 岩石内微裂隙损伤没有贯通为宏观大裂纹．当外加 荷载达到峰值强度时‚宏观大裂纹出现‚此时几乎所 图4 南桥砂岩单轴压缩损伤演化曲线 Fig．4 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under unixaxi￾al compression 图5 南桥砂岩三轴压缩损伤演化曲线 Fig．5 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under triaxial compression 图6 南桥砂岩单轴压缩应力－应变曲线 Fig．6 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstone under uniaxial com￾pression 有岩石都出现应力跌落‚其幅度视岩石强弱和围压 大小而定．大量岩石实验已经反映了这样的事实． 岩石内宏观裂纹出现为塑性摩擦提供了条件．这可 以理解为‚在峰值后区‚由于损伤影响使材料刚度降 低‚结构柔性增加‚微裂隙以及已经贯通的宏观裂隙 之间产生相对滑动．这种相对滑动对应于断裂力学 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·465·