(D)a1,a2,…a,线性无关则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无 关,可见(D)也成立 综上所述,应选(B) 【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如,原命题:若存在一组不全为零的数 k1,k2,…,k,使得ka1+k2a2+…+k,a,=0成立,则a1a2,…a,线性相关其逆否 命题为:若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…k,,都有ka1+k2a2+…+k,a,≠0, 则α1,a2,…α,线性无关在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等 价性 与本题完全类似例题见《数学复习指南》P313【例34】 (6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次 出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件 (A)A1,A2,A43相互独立 (B)A2,43,A4相互独立 (C)A1,A2,A3两两独立 (D)A2A3,A4两两独立 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成 再检验是否相互独立 【详解】因为 P(A)2,P4)F(A)2’P4小s 且P(A142)=元,P(A1A3) P(A2A,) P(A2A4)=P(41A2A3)=0 4 可见有 P(4A2)=P(A1)P(A2),P(A143)=P(4)P(A3),P(A243)=P(A2)P(A) P(41A42A4)≠P(A1)P(A2)P(A43),P(A2A4)≠P(A2)P(A4) 故A1,A2,A3两两独立但不相互独立;A2,A3,A4不两两独立更不相互独立,应选(C) 【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立 本题考查两两独立与相互独立的差异,其要点可参见《数学复习指南》P 三、(本题满分8分) f(x)= D SIn A T(1-)”121)
6 (D) s , , , 1 2 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无 关，可见(D)也成立. 综上所述，应选(B). 【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使得 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 成立，则 s , , , 1 2 线性相关. 其逆否 命题为：若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 k11 + k2 2 ++ ks s 0， 则 s , , , 1 2 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等 价性. 与本题完全类似例题见《数学复习指南》P.313【例 3.4】. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次 出现正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件 (A) 1 2 3 A , A , A 相互独立. (B) 2 3 4 A , A , A 相互独立. (C) 1 2 3 A , A , A 两两独立. (D) 2 3 4 A , A , A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成 立，再检验是否相互独立. 【详解】 因为 2 1 ( ) P A1 = ， 2 1 ( ) P A2 = ， 2 1 ( ) P A3 = ， 4 1 ( ) P A4 = ， 且 4 1 ( ) P A1A2 = ， 4 1 ( ) P A1A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A4 = P(A1A2A3 ) = 0 ， 可见有 ( ) ( ) ( ) P A1A2 = P A1 P A2 ， ( ) ( ) ( ) P A1A3 = P A1 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2A3 = P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2A3 P A1 P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2A4 P A2 P A4 . 故 1 2 3 A , A , A 两两独立但不相互独立； 2 3 4 A , A , A 不两两独立更不相互独立，应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见《数学复习指南》P.401 . 三 、（本题满分 8 分） 设 ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x
试补充定义1)使得fx)在[1]上连续 【分析】只需求出极限mf(x),然后定义f(1)为此极限值即可 【详解】因为 f(r)=lim[+ x+" sin T(1-x) 1 1 (1 x)sn +-lim ZT -Z COS TA I T II-T cOS A-T coS Dx-(1-x)T sn A 由于f(x)在[1)上连续,因此定义 f(1) 使f(x)在[上连续 【评注】本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念 在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x,转化为求y→0的极限,可以适当简化 完全类似例题在一般教科书上都可找到,或参见《文登数学全真模拟试卷》P数学三P24 三题 四、(本题满分8分) 设山具有三阶连续偏导数,且满足。+5=1,又g(xy)=nx31(x2-y g g 【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题:g=f(,v),u=xy,v=(x2-y2), 直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用2/=8 Quay ovau 7
7 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 【分析】 只需求出极限 lim ( ) 1 f x x→ − ，然后定义 f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为 lim ( ) 1 f x x→ − = ] (1 ) 1 sin 1 1 lim [ x 1 x x − x + − → − = x x x x x (1 )sin (1 ) sin lim 1 1 1 − − − + → − = x x x x x sin (1 ) cos cos lim 1 1 1 − + − − − + → − = x x x x x x cos cos (1 ) sin sin lim 1 1 2 2 1 − − − − + → − = . 1 由于 f(x)在 ,1) 2 1 [ 上连续，因此定义 1 f (1) = ， 使 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念. 在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x，转化为求 → + y 0 的极限，可以适当简化. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三 P.24 第三题. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = + v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y , 求 . 2 2 2 2 y g x g + 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： g = f (u,v) ， ( ) 2 1 , 2 2 u = xy v = x − y ， 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 . 2 2 v u f u v f =