数 理 着考处 例528:若序列x(m)=a,(0<a<1,试求序列x(m频谱X(e) 解:考虑到式(5.1.7),即 a"u(n)<> ae 则al(n-1)=a"(n-1)→ce 1-ae J 考虑到式(52.32),则有 ae a"u(-n-1)< de 考虑到x(m)=a=a"l(-n-1)+al(m 则(e) e ae 1-ae coso+a
1 5.2. ( ) , (0 1) ( ) ( ) 5.1.7 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) 1 5.2.32 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 1 n j n j j n n j j n j n n n j j j xn a a xn X e aun ae ae a u n aa u n ae ae au n ae xn a a u n aun ae X e ae ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − = << ←⎯→ − − = − ←⎯→ − − − ←⎯→ − = = −− + = + − 例 8：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到式（ ），即 则 考虑到式（ ），则有 考虑到 则 2 2 1 1 2 cos j a ae a a ω ω − = − − +
数 理 4、时域插值性质 着考处 若x(n)(>X(e 则x(m)(n)∑ X(e/(a-koo (5.2.35) 证明:考虑到式(33.36),即 ()=∑6(n-rN) N 则有 ∑x(n)(n)em=∑x(mn∑eJem n=-00 k=0 in(a-k ∑[∑x(ml ∑X(e()
4、时域插值性质 0 1 ( ) 0 0 1 2 0 1 2 0 () ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) (5.2.35) 3.3.36 1 () ( ) 1 ( ) ( ) ( )[ ] j N j k N k N j nk N N r k N j kn jn N jn N n n k xn X e xn n X e N N n n rN e N xn ne xn e e N ω ω ω π π ω ω π δ ω δ δ δ − − = +∞ − =−∞ = +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ = ←⎯→ ←⎯→ = = −= = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ 若 则 证明：考虑到式（ ），即 则有 0 1 2 ( ) 0 1 ( ) 0 1 [ ( ) ] 1 ( ) N jn k N k n N j k k xne N X e N π ω ω ω − +∞ − − = =−∞ − − = = = ∑ ∑ ∑
数 理 着考处 例529:若序列(m)2=d,(0<1<1,试求序列y(n频谱Y(e) 解:设序列x(n)=a,(0<a<1),考虑到式(5.20),则有 X 1+a-2a cos o 由于序列y(m)=a=x(n)2(n),考虑到式(52.35),则有 )=∑X(e(k) 2 1+a-2a coso 1+af-2acos(o-r) 2 1+a-2acoso 1+a+2acos o (1-a2)(1+a2) 1+a+ 2a-4a coso 1+a4-2a2 cos 20
2 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 0 5.2. ( ) , (0 1) ( ) ( ) ( ) , (0 1) 5.2.20 1 ( ) 1 2 cos 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 5.2.35 2 1 11 1 ( ) ( )= ( 2 2 1 2 cos 1 n j n j n n j j k k xn a a yn Ye xn a a a X e a a yn a xn n a a Ye Xe a a ω ω ω ω π ω δ ω − − = = << = << − = + − + − = = − − = + +− + ∑ 例 9：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：设序列 ，考虑到式（ ），则有 由于序列 ，考虑到式（ ），则有 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22 4 4 2 ) 2 cos( ) 11 1 ( ) 2 1 2 cos 1 2 cos (1 )(1 ) 1 2 4 cos 1 1 2 cos 2 a a a a aa aa a a aaa a a a ω π ω ω ω ω − − − − = + +− ++ − + = ++ − − = + −
数 理 着考处 例5210:若序列x(n)=a"(m),(O<l<1,y(n)=x(,)63(m) 试求序列yn)的频谱Y(e) 解:方法1 因为x(n)=a"(m)=a(3n),(0<a<1) 所以x(n)=x 3(a)ylu(m),(0</23 1) 考虑到式(51.7),则有X(e)
3 1 3 3 1 3 1 1 1 3 5.2. ( ) ( ) , (0 1) ( ) ( ) ( ) 3 () ( ) ( ) ( ) (3 ) , (0 1) ( ) ( ) (3 ) ( ) ( ) , (0 1) 3 3 1 5.1.7 ( ) 1 n j n n n n j j n xn aun a yn x n yn Ye xn aun au n a n n x n x au a un a X e a e ω ω ω δ − = << = = = << = = = << = − 10 1 例 ：若序列 ， ， 试求序列 的频谱 。 解：方法 因为 所以 考虑到式（ ），则有
数 理 着考处 由于y(n)=x(")6(n)=x(n)6、(n,考虑到式(52.35),则有 x1( )=[X1(e)+X1(e3)+X1( 1-j(o3 3 jC 1-a3e1+a3e 2+a3e 1-a3e-1+a3e-/+a3e-12m de
3 13 3 1 2 2 4 ( ) () () 3 3 3 1 1 1 1 0 1 12 14 () () 3 33 33 1 1 3 () ( ) () () () 5.2.35 3 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] 3 3 11 1 1 ( ) 3 11 1 11 1 ( 3 1 1 j k j j j j k j j j j n yn x n x n n Ye X e X e X e X e ae ae ae ae a π π π ω ω ω ω ω π π ω ω ω ω δ δ − − − − = − − − − − − = = = =+ + =+ + −− − = + − + ∑ 由于 ，考虑到式（ ），则有 1 ( ) ( ) 33 33 1 3 1 12 3 33 2 3 1 ) 1 11 2 ( ) 3 1 1 1 1 j j j j jj j e ae a e ae ae ae ae π π ω ω ω ω ωω ω − + − − − − −− − + + + = + − ++ = −