收敛充分性定理(二、1) 定理.设函数φ(x)在区间a,bl上满足条件 (1)对任意x∈[a,b,都有a≤q(x)≤b (2)存在常数0<L<1,使得对一切x∈[a,b],都有 g(x)≤L 则方程x=q(x)在[a,b内有唯一的根x,且对任何 初值x∈[a,b]迭代序列 xn+1=q0(xn)(n=0,1,…) 均收敛于x,并有 <
收敛充分性定理(二、1) ' * 1 * * . ( ) [ , ] 1 [ , ] ( ) ; (2) 0 1, [ , ], ( ) ( ) [ , ] , [ , ], ( ) ( 0,1, ) x n n x a b x a b a x b L x a b x L x x a b x a b x x n x + = = = − 0 定理 设函数 在区间 上满足条件 （ ）对任意 ，都有 存在常数 使得对一切 都有 则方程 在 内有唯一的根 且对任何 初值x 迭代序列 均收敛于 ，并有 1 0 1 n n L x x x L − −
收敛充分性定理(二、2) 证:设x,y为a,b上任意两点,由微分中 值定理,在x,y之间至少存在一点ξ,使得 q(x)-q(y)=q()(x-y) →|(x)-9(y)|={(5)(x-y) g()(x-y)≤Lkx-y 即p(x)满足上一定理的条件(2),故结论成
收敛充分性定理(二、2) ' ' ' , [ , ] , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y a b x y x y x y x y x y x y L x y x − = − − = − = − − 证：设 为 上任意两点，由微分中 值定理，在 之间至少存在一点 ，使得 即 满足上一定理的条件（ ），故结论成 立
误差估计式2-x-表明,常数越小, 简单迭代法收敛越快。因而构造迭代函数(x)原则 是使p(x)在有根区间nb上有尽可能小的上界。 对任意正整数p有 n+p n+p n+p n+p-2 Xn+i-X ≤(L+L+…+1)xm-xl1-rxn 令p→,得 1-L In+x 可通过检查|xn1-x来判断迭代过程应否终止
* 1 0 ' x 1 ( ) ( ) [ , ] n n L x x x L L x x a b − − − 误差估计式 表明，常数 越小， 简单迭代法收敛越快。因而构造迭代函数 的原则 是使 在有根区间 上有尽可能小的上界。 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , * 1 n p n n p n p n p n p n n p p n n n n n n n n n p L p L x x x x x x x x L L x x x x x x x x x x + + + − + − + − + − − + + + + − − + − + + − + + + − − − → − − − − 对任意正整数 有 ） 令 得 可通过检查 来判断迭代过程应否终止。 （