第五章留数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Residues 定理：若z是f(z)的m级极点台z是 1 的m级零点 () 证明“→”若zo为f(z)的m级极点 =(a-2)西82)(g()在解析，且g(2,)≠0) 台f(z)= I=(-3o)"1 ·f(z) =(z-z)"h(z)(z≠z0) g(a) (h(z)在z解析，且(zo)≠0) =◆则是 1 .lim- ”→0f(z) 的m级零点 f(k) 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 12
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 12 12 第五章 留数 Residues 定理: 若z 0 是f (z)的m级极点 . ( ) 1 0是 的m级零点 f z z 证明 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m “” 若z0为f (z)的m 级极点 ( ) , ( ) 0 g z 在z0 解析 且g z0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 0 0 z z h z z z g z z z f z m m ( ) , ( ) 0 . h z 在z0 解析 且 h z0 令 0， ( ) 1 0, ( ) 1 lim 0 0 zz f z f z . ( ) 1 则 0 是 的m级零点 f z z
第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues “=”若z是 1 的n级零点则 f(a) a=e-zru8(pa在解折且p)0 当z≠z时，f(z)= (w(z)在解析，且w(z)≠0)】 .z是f(z)的m级极点. 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 13
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 13 13 第五章 留数 Residues “ ” 若 是 的 级零点,则 ( ) 1 0 m f z z ( ) ( ) ( ) 1 0 z z z f z m ( ) , ( ) 0 . z 在z0 解析 且 z0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 z z z z z z z z f z m m 当 时 ， ( ) , ( ) 0 . z 在 z0 解析 且 z0 ( ) . z 0 是f z 的m级极点
第五章留数 历安毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 例求f(z)= 的奇点， (1+z2)1+e 如果是极点指出它的级 解 显然，z=±i是(1+z2)的一级零点 .'em+1=0,即em=-1 ∴.=Ln(-1)=i(π+2kπ)=(2k+1) 故奇点为：乙k=(2k+1)ik=0,士1，士2，… 1+e月2达=min =[cosπ(2k+1)+isinπ(2k+1)]=-π≠0 ∴.zk=(2k+1)(k=0,土1，±2，是1+e的一级零点 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 14
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 14 14 第五章 留数 Residues 如果是极点指出它的级。 求 的奇点， (1 )(1 ) ( ) 2 z z e z f z 例 解 显然，z=i 是(1+z 2 )的一级零点 (2 1) 0, 1, 2, ( 1) ( 2 ) (2 1) 1 0, 1 z k i k z Ln i k k i e e k z z 故奇点为： 即 [cos (2 1) sin (2 1)] 0 (1 )' (2 1) (2 1) k i k e e z i k z z i k z zk i(2k 1) (k 0,1,2, )是1 e z 的一级零点
第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 综合z=±为f(z)的二级极点 zk=(2k+1)(k=1,±2，)为f(z)的 一级极点 练习：考察下列函数的孤立奇点，孤立奇点类型， 如果是极点，指出它的级数 (0fz)=z2(e-1) In(1+ (2)f(z)= 3)f2)=e+ sinz (4)f(z)= z3 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 15
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 15 15 第五章 留数 Residues . (2 1) ( 1, 2, ) ( ) ( ) ; 一级极点 为 的 为 的二级极点 z i k k f z z i f z k 综合 ( 1) 1 (1) ( ) 2 z z e f z z z f z ln(1 ) (2) ( ) 2 2 1 1 (3) ( ) z z f z 3 sin (4) ( ) z z f z 练习：考察下列函数的孤立奇点，孤立奇点类型， 如果是极点，指出它的级数
第五章留数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Residues 5.2 留数(Res idue)) 1. 留数的定义 2.留数定理 3.留数的计算规则 16 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 16
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 16 16 第五章 留数 Residues 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 5.2 留数(Residue)