第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 3.性质 若zo为f(z)的可去奇点 台f(z)=∑cn(z-z)”分limf(z)=c n=0 补充定义：f(z)=cf(z)在z解析 若z为f(z)的m(m≥1)级极点 十00 台f)=∑c,z-z(cm≠0，m≥1) n--m 台limf(z)=o台f(z)= (-a)m8(2) 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 7 7 第五章 留数 Residues 3. 性质 ( ) ( ) . 补充定义：f z0 c0 f z 在z0 解 析 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 f z c z z f z c z z n n n 若z0为f (z)的可去奇点 ( ) ( ) ( 0, 1 ) 0 f z c z z c m m n m n n 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 0 0 g z z z f z f z m z z
历些毛子代枝大学 第五章留数 XIDIAN UNIVERSITY Residues 其中：g(z)=C-m+c-m+1(z-z0)+C-m+2(亿-)2+…) g(z)在z-z<6内是解析函数(z)≠0. 例如：f(z)= z2-3z+2 2+1z-0 z=1为f(z)的一个三级极点，z=±为f(z)的一级极点。 若z为f(z)的本性奇点 →f(z)的洛朗级数有无穷多政幂次项 台imf(z)不存在，也不o 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 8 8 第五章 留数 Residues ( ) ( ) 0. : ( ) ( ) ( ) , 0 0 2 1 0 2 0 g z z z g z g z c c z z c z z m m m 在 内是解析函数且 其 中 2 4 2 ( 1)( 1) 3 2 ( ) z z z z 例如： f z z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。 不存在，也不为 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 lim ( ) ( ) f z f z n 若z0为f (z)的本性奇点
第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成 f(z)=(z-z)"p(z) 其中：p(zo)≠0，p(z)在z点解析，m∈N 则称z=z为f(z)的m级零点。 例如：z=0与z=1分别是(z)=z(z-1)3的一级 与三级零点。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 9 9 第五章 留数 Residues 4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m 其中：(z0 ) 0,(z)在z0 点解析,m N 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 与三级零点。 例如： z 0与z 1分别是f (z) z(z 1) 3 的一级
第五章留数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Residues 定理 f(z)=(z-z)"p(z) (p(zo)≠0，p(z)在zn点解析，m∈N) 台f(zo)=0(n=0,1,2,…,m-1)fm(zo）≠0. 事实上，p(z)=∑cn(z-z)”c=p(z)≠0 n=0 ∴f(z)=∑cn(z-z)+m =0 由Taylor级数的系数公式有 f(zo)=0(n=0,1,2,…,m-1), 而f m! 2=c+0 必要性得证！ 充分性略！ 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 10
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10 10 第五章 留数 Residues ( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 0 0 z c z z c z n n n ( ( ) 0, ( ) , ) z0 z 在z0 点解析 m N ( ) 0( 0,1,2, , 1) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 f z n m f z f z z z z n m m 定理 事实上， 必要性得证！ 0 0 ( ) ( ) n n m n f z c z z 0 ! ( ) ( ) 0 ( 0,1,2, , 1), : 0 0 ( ) 0 ( ) c m f z f z n m Taylor m n 而 由 级数的系数公式有 充分性略！
第五章留数 历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 例如 z=0与z=1均为f(z)=z(z-1)3的零点。 又f'(z)=(z-1)3+3z(z-1)2 f"(z)=6(z-1)2+6z(z-1) f"(z)=12(z-1)+6(z-1)+6z .f"(0)=(-1)3≠0 .乙=0为一级零点 .f'(1)=0(1)=0f"(1)=6≠0 ∴.z=1为三级零点 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 1
场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 11 11 第五章 留数 Residues 例如 z 0与z 1均 为f (z) z(z 1) 3 的零点。 f '''(z) 12(z 1) 6(z 1) 6z 3 2 又f '(z) (z 1) 3z(z 1) f '(1) 0 "( ) 6( 1) 6 ( 1) 2 f z z z z 0为一级零点 '(0) ( 1) 0 3 z f z 1为三级零点f ''(1) 0 f '''(1) 6 0