1.3不同数制间的转换5 1.3不同数制间的转换 一、二-十转换 将二进制数转换为等值的十进制数称为二-十转换。转换时只要将二进制 数按式(1.2.3)展开，然后将所有各项的数值按十进制数相加，就可以得到等值 的十进制数了。例如 (1011.01)2=1×23+0×22+1×2+1×2°+0×2-1+1×2- =(11.25)0 二、十一二转换 所谓十一二转换，就是将十进制数转换为等值的二进制数。 首先讨论整数的转换。 假定十进制整数为(S)o,等值的二进制数为(kk。1.k。)2,则依式 (1.2.3)可知 (S)0=k2”+k.2-1+.+k,2+k29 =2(k2+k。-22+.+k)+0 (1.3.1) 上式表明，若将(S)0除以2，则得到的商为k,2+k22+.+k,而余 数即k。 同理，可将式(1.3.1)除以2得到的商写成 k2+k。-2-2+.+k,=2(k2-2+k-28-3+.+k2）+k (1.3.2) 由式(1.3.2)不难看出，若将(S)除以2所得的商再次除以2，则所得余数即k,。 依此类推，反复将每次得到的商再除以2，就可求得二进制数的每一位了。 例如，将(173)。化为二进制数可如下进行 2173 余数=1=k 286 余数=0=k 2|43 余数=1=k2 221 余数=1=k 210 余数=0=k 215 余数=1=k 22 余数=0=k6 21 余数=1=k, 故(173)。=(10101101)20
6第一章数制和码制 其次讨论小数的转换。 若(S)是一个十进制的小数，对应的二进制小数为(0.k,k2.k。)2,则 据式(1.2.3)可知 (S)0=k-2-+k-222+.+k.2m 将上式两边同乘以2得到 2(S)。=k1+(k_22+k_2-2+.+k-2m+1)(1.3.3) 式(1.3.3)说明，将小数(S)o乘以2所得乘积的整数部分即k1。 同理，将乘积的小数部分再乘以2又可得到 2(k.221+k.22+.+k2m1)=k2+(k-32-小+.+k2m2)(1.3.4) 亦即乘积的整数部分就是k2。 依此类推，将每次乘2后所得乘积的小数部分再乘以2，便可求出二进制小 数的每一位了。 例如，将(0.8125)。化为二进制小数时可如下进行 0.8125 2 1.6250 整数部分=1=k1 0.6250 2 1.2500 整数部分=1=k.2 0.2500 + 2 0.5000 整数部分=0=k3 0.5000 + 2 1.0000整数部分=1=k. 故(0.8125)o=(0.1101)20 三、二-十六转换 将二进制数转换为等值的十六进制数称为二~十六转换。 由于4位二进制数恰好有16个状态，而把这4位二进制数看作一个整体 时，它的进位输出又正好是逢十六进一，所以只要从低位到高位将整数部分每4 位二进制数分为一组并代之以等值的十六进制数，同时从高位到低位将小数部
1.3不同数制间的转换7 分的每4位数分为一组并代之以等值的十六进制数，即可得到对应的十六进 制数。 例如，将(01011110.10110010)2化为十六进制数时可得 (01011110.10110010)2 ↓↓↓ =(5 E.B 2)16 四、十六一二转换 十六一二转换是指将十六进制数转换为等值的二进制数。转换时只需将十 六进制数的每一位用等值的4位二进制数代替就行了。 例如，将(8FA.C6)6化为二进制数时得到 (8 A C6)6 =(100011111010.11000110)2 五、八进制数与二进制数的转换 将二进制数转换为八进制数的二~八转换和将八进制数转换为二进制数的 八-二转换，在方法上与二一十六转换和十六-二转换的方法基本相同。 在将二进制数转换为八进制数时，只要将二进制数的整数部分从低位到高 位每3位分为一组并代之以等值的八进制数，同时将小数部分从高位到低位每 3位分为一组并代之以等值的八进制数就可以了。 例如，若将(011110.010111)2化为八进制数，则得到 (011110.010111)2 ↓↓↓ (36.27). 反之，若将八进制数转换为二进制数，则只要将八进制数的每一位代之以等 值的二进制数即可。例如，将(52.43)。转换为二进制数时，得到 (52.43)。 ↓↓↓↓ (101010.100011)2 六、十六进制数与十进制数的转换 在将十六进制数转换为十进制数时，可根据式(1.2.5)将各位按权展开后 相加求得。在将十进制数转换为十六进制数时，可以先转换为二进制数，然后再 将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。这两种转换方法上面已经讲 过了
8第一章数制和码制 分分 ∽∽A∽今∽∽ 复习思考题 1.3.1在十-二转换中，整数部分的转换方法和小数部分的转换方法有何不同？ R1.3.2怎样将八进制数转换为十六进制数和将十六进制数转换为八进制数？ R1.3.3怎样才能将十进制数转换为八进制数？ 分sA今分n∽今今∽心A心A今心心M心h,·,·d 1.4二进制算数运算 1.4.1二进制算数运算的特点 当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种 运算称为算术运算。二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯 的区别在于二进制数是“逢二进一”而不是十进制数的“逢十进一”。 例如，两个二进制数1001和0101的算术运算有 加法运算 减法运算 1001 1001 +0101 -0101 1110 0100 乘法运算 除法运算 1001 1.11. ×0101 0101)10-01 1001 0101 0000 1000 1001 0101 0000 0110 0101101 0101 0010 从上面的例子中可以看到二进制算数运算的两个特点，即二进制数的乘法 运算可以通过若干次的“被乘数（或零）左移1位”和“被乘数（或零）与部分积 相加”这两种操作完成；而二进制数的除法运算能通过若干次的“除数右移】 位”和“从被除数或余数中诚去除数”这两种操作完成
1.4二进制算数运算9 如果我们再能设法将减法操作转化为某种形式的加法操作，那么加、减、乘 除运算就全部可以用“移位”和“相加”两种操作实现了。利用上述特点能使运 算电路的结构大为简化。这也是数字电路中普遍采用二进制算数运簿的重要原 因之一。 1.4.2反码、补码和补码运算 我们已经知道，在数字电路中是用逻辑电路输出的高、低电平表示二进制数 的1和0的。那么数的正、负又如何表示呢？通常采用的方法是在二进制数的 前面增加一位符号位。符号位为0表示这个数是正数，符号位为1表示这个数 是负数。这种形式的数称为原码。 在做减法运算时，如果两个数是用原码表示的，则首先需要比较两数绝对值 的大小，然后以绝对值大的一个作为被减数、绝对值小的一个作为减数，求出差 值，并以绝对值大的一个数的符号作为差值的符号。不难看出，这个操作过程比 较麻烦，而且需要使用数值比较电路和减法运算电路。如果能用两数的补码相 加代替上述的减法运算，那么计算过程中就无需使用数值比较电路和减法运算 电路了，从而使运算器的电路结构大为简化。 为了说明补码运算的原理，我们先来讨论一个生活中常见的事例。例如，你 在5点钟的时候发现自己的手表停在10点上了，因而必须把表针拨回到5点。 由图1.4.1可以看出，这时有两种拨法：第一种拨法是往回拨5格，10-5=5，拨 回到了5点；另一种拨法是往前拨7格，10+7=17。由于表盘的最大数只有12， 超过12以后的“进位”将自动消失，于是就只剩下减去12以后的余数了，即 17-12=5,也将表针拨回到了5点。这个例子说明，10-5的减法运算可以用 10+7的加法运算代替。因为5和7相加正好等于产生进位的模数12，所以我 们称7为-5对模12的补数，也称为补码(Complement)。 11 10-5=5 10+7-125 舍弃进 7 6 图1.4.1说明补码运算原理的例子