第二十一章一元二次方程 的方程为x(30+2x)×2十25x×2 坛，要使花坛四周的宽度一样，则这个 ×30×25: 宽度为(5-3)m. 7.将一块长比宽多3cm的长方形铁皮四角 5.下面是一个长方形鸡 各剪去一个边长为4cm的小正方形，做 场平面示意图，一边 成一个无盖的盒子，已知盒子的体积为 靠墙，另外三边用竹 280cm3,求原铁皮的长和宽. 篱笆围成，若竹篱笆总长为35m,所围 解：设原铁皮的宽为xcm,则长为 鸡场的面积为150m,则此长方形鸡场 (x+3)cm. 的长、宽分别为20m和7.5m或15m 由题意，得4(.x-8)(x十3-8)=280. 和10m. 解得x1=一2（不合题意，舍去）， 。能力提升 x2=15. 6.在一块长为12m,宽为8m的长方形平 所以原铁皮的长为18cm,宽为15cm. 地中央，砌一个面积为8m的长方形花 19
家庭作业·数学·九年级·上册·配人教版 章末小结 主干知识脉络 概念 元二次方程 一般形式为a.x2+bx+c=0(a≠0，a,b,是常数) 配方法 一元二次方程的解法公式法 元 因式分解法 方 0 元二次方程根与系数的关系 x1·x2= 列一元二次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答 探索与创新 解决实际问题（传播问题、平均变化率问题、图形问题） 专题能力突破 专题●一元二次方程的解法 公式法： 一元二次方程的解法是本章的重点，也是 由方程可得a=1,b=-2,c=0, 解答其他问题的基础.常用的解法有：直接开 则△=4一0=4， 平方法、配方法、公式法和因式分解法 因此x=一b土V6-4ac_2±4 不论选择哪种解法，目的只有一个，即 2a 2 将二次方程降次.在没有指定解题方法时， 即x1=0,x2=2. 尽可能选择简便的方法求解， 0变式练习 【例1】分别用因式分解法、配方法和公 1.解方程：x2-8x十12=0.（至少用两种 式法求解x2-2x=0. 方法) 解：因式分解法： 答案：x1=6,x2=2（方法略) 因式分解，得x(x一2)=0， 专题●一元二次方程的根与系数的 则x=0或x-2=0, 关系 解得x1=0,x2=2. 1.使用一元二次方程根的判别式的前 配方法： 提是一元二次方程必须化为一般形式，否则 配方，得x2-2x十1=1， 就不能使用根的判别式△=b2一4ac判断方 即(x-1)2=1,得x-1=士1， 程根的情况 解得x1=0,x2=2. 2.当利用一元二次方程的根与系数的 20
第二十一章一元二次方程 关系公式求解问题时，要注意对求出的值进 数的关系，得1十x2= k+2 行检验，此时经常会用到根的判别式， x1x2=4 【例2】已知关于x的方程kx2+(k十2)· 由题意知上+1=0， x+0有两个不等的实数根。 所以 4(k+2)=0, (1)求k的取值范围. 所以k=一2. (2)是否存在实数k,使方程的两个实 由(1)知，当k=一2时，△<0，原 数根的倒数和等于0？若存在，求出k的 方程无实数根。 值；若不存在，请说明理由. 所以不存在符合条件的实数k. 期：①)因为4=(+2y-4k·会> 0变式练习 0,所以k>一1.因为k≠0，所以k的取值 2.已知a,3是关于x的一元二次方程x2十 范围是k>一1，且k≠0. (2m十3)x十m2=0的两个不等的实数根， (2)不存在符合条件的实数k.理由如下： 且满足上+1 =-1,则m的值是(A). 假设存在这样的k,设方程kx2十(k十 A.3 B.-1 2)x+ 4=0的两个根为x1,x2,由根与系 C.3或-1 D.-3或1 中考真题精练 1.(2019·贵州铜仁)一元二次方程4x2一 A.10 B.9C.8 D.7 2x-1=0的根的情况为(B). 4.(2020·贵州黔东南)已知关于x的一元 A.有两个相等的实数根 二次方程x2+5x一m=0的一个根是2， B.有两个不相等的实数根 则另一个根是(A). C.只有一个实数根 A.-7B.7C.3 D.-3 D.没有实数根 5.(2020·贵州黔西南)已知关于x的一元 2.(2021·贵州遵义)在解一元二次方程 二次方程(m一1)x2+2.x十1=0有实数根， x2十px十q=0时，小红看错了常数项 则m的取值范围是(D). q,得到方程的两个根是一3,1.小明看 A.m<2 B.ms2 错了一次项系数p,得到方程的两个根是 C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠1 5,-4.则原来的方程是(B). 6.(2021·贵州黔西南)三角形两边的长分 A.x2+2x-3=0B.x2+2x-20=0 别为2和5，第三边的长是方程x2一8x十 C.x2-2x-20=0D.x2-2.x-3=0 15=0的根，则该三角形的周长为12 3.(2019·贵州遵义)一元二次方程x2一 7.(2020·贵州毕节)关于x的一元二次方 3x+1=0的两个根为x1,x2,则x1十 程(k十2)x2+6x十k2十k一2=0有一个根 3.x2十x1x2-2的值是(D). 是0，则k的值是1· 21
家庭作业·数学·九年级·上册·配人教版 第二十一章检测 一、选择题（每小题3分，共30分） B.(x-2)2=1 1.一元二次方程3.x2-x=2的二次项系数、 C.(x+2)2=9 一次项系数和常数项分别是(A). D.(x-2)2=9 A.3,-1,-2 6.若一个等腰三角形的底边长是6，腰长是 B.3,-1,2 一元二次方程x2-7x十12=0的一个根， C.-3,1,-2 则此三角形的周长是(C). D.-3,-1,2 A.12 B.13 2一元二次方程4红2一2x十日=0的根的情 C.14 D.12或14 况是(B) 7.设x1,x2是方程x2十5x-3=0的两个 A.有两个不相等的实数根 根，则x十x的值是(C). B.有两个相等的实数根 A.19 B.25 C.没有实数根 C.31 D.30 D.无法判断 8.若关于x的方程x2+2x一3=0与 3.某文具店2月销售签字笔40支，3月、4 2。=1有一个解相同，则a的值 x+3 x-a 月销售量连续增长，4月销售量为90支 求月平均增长率.设月平均增长率为x, 为(C). 则由已知条件列出的方程是(C). A.1 B.1或-3 A.40(1+x2)=90 C.-1 D.-1或3 B.40(1+2.x)=90 9.若(x十y)(1-x-y)+6=0,则x十y C.40(1+x)2=90 的值是(C). D.90(1-x)2=40 A.2 B.3 4.已知关于x的一元二次方程x2十ax十b= C.-2或3 D.2或-3 0有一个非零实数根为一b,则a一b的值 10.如图，某小区有一块长为18m,宽为 为(A). 6m的矩形空地，计划在其中修建两块 A.1 B.-1 相同的矩形绿地（图中阴影部分），它 C.0 D.-2 们的面积之和为60m2,两块绿地之间 5.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时， 及周边留有宽度相等的人行通道.若设 此方程可变形为(D). 人行通道的宽度为xm,则下列所列方 A.(x+2)2=1 程正确的是（D). 22
第二十一章一元二次方程 △=(-1)2-4×4×4=-63<0. 6 m 方程没有实数根 18m A.(18-2x)(6-2.x)=60 (3)4=1,b=-5,c=-1. B.(18-3x)(6-x)=60 △=(-5)2-4×1×(-1)=29>0. C.(18-2x)(6-x)=60 方程有两个不相等的实数根。 D.(18-3.x)(6-2x)=60 5+√29 5-√/29 X- 2 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.方程x(x-2)=x的根是x1=0, (4)整理，得(x-3)2-2(x-3)=0. 分解因式，得(x-3)(x一3-2)=0. x2=3 12.某商品原价为200元，连续两次降价 解得x1=3,x2=5。 a%后售价为148元，根据题意，可列 18.(8分)解方程：(x+1)(x-1)+ 方程200(1-4%)2=148 2(x+3)=8. 13.设m,n是一元二次方程x2十3.x-7=0 解：原方程可化为x2十2.x一3=0 的两个根，则m2十4m十n=4 即(.x+3)(x-1)=0, 14.若关于x的方程a.x2+2(a+2)x+a= 解得x1=1,x2=一3. 0有实数根，则实数a的取值范围是 19.(10分)已知一元二次方程x2十p.x十 a≥-1 q=0（p2一4q≥0)的两个根为x1, 15.若方程x2一x=0的两个根为x1,x2 x2,求证：x1十x2=一p,x1·x2=q. (x1<x2),则x2一x1=1 证明：a=1,b=p,c=q, 16.若关于x的方程x2+(a一1)x+a2=0 .△=p2-4q 的两个根互为倒数，则a=一1 x=p土D-4阳 三、解答题（共96分，写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 即.x,=二p+VD4g 2 17.(8分)解下列方程. (1)x2+2x-2=0: x2=-p-Vp2-49 2 (2)4x2-x+4=0; (3)x2-5x-1=0; x+x= -P+VD2-4q 2 (4)(x-3)2=2(x-3). -p-√p2-4q 解：(1)移项，得x2+2x=2. 2 =-p,x1·x 配方，得(x十1)2=3. 由此可得x十1=士√3， -p+p=49,一=D49=g 2 2 x1=-1+√3，x2=-1-√3 20.(10分)已知关于x的方程x2十2x一 (2)a=4,b=-1,c=4. m=0. 23