目录 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数…1 第1课时正切 第2课时正弦和余弦…4 230°，45°，60°角的三角函数值…7 3三角函数的计算… 10 4解直角三角形… 13 5三角函数的应用 16 第1课时方向角… 16 第2课时仰角、俯角… 19 第3课时坡度、坡角… 23 6利用三角函数测高 26 微专题一利用锐角三角函数解决实际问题…。 29 第二章二次函数 1二次函数 30 2二次函数的图象与性质 33 第1课时二次函数y=a.x2的图象与性质… 33 第2课时二次函数y=a.x2十k的图象与性质 36 第3课时二次函数y=a(.x一h)2的图象与性质 39 第4课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质…42 第5课时二次函数y=a.x2十bx十c的图象与性质 45 3确定二次函数的表达式… 48 第1课时已知两点确定二次函数表达式（一般式，顶，点式）…48 第2课时已知三，点确定二次函数表达式（一般式，交点式）… 51 4二次函数的应用… 时 第1课时利用二次函数求最大面积问题… 54 第2课时利用二次函数解决抛物线型问题…… 以 第3课时利用二次函数求最大利润问题… 60 5二次函数与一元二次方程… 63 第1课时二次函数与一元二次方程的关系… 63 第2课时利用二次函数的图象估计一元二次方程的根… 66 微专题二二次函数中的动点问题和存在性问题…69 1
目录 第三章圆 1圆… 70 2圆的对称性 73 ·3垂径定理 76 4圆周角和圆心角的关系 … 79 第1课时圆周角和圆心角的关系…79 第2课时圆内接四边形…82 5确定圆的条件 85 6直线和圆的位置关系… 88 第1课时直线和圆的位置关系、切线的性质… 第2课时切线的判定、三角形的内切圆… 2 7切线长定理… 94 8圆内接正多边形 97 9弧长及扇形的面积… 100 第1课时孤长… 100 第2课时扇形面积 … 103 微专题三圆中常见的辅助线的作法 106 检 测 第一章检测 …107 第三章检测 …125 第二章检测 112 期末检测 ……131 期中检测 118 2
第一章 直角三角形的边角关系 锐角三角函数 第1课时 正切 基础·自主梳理 1.如图，在Rt△ABC 3.tan A.tan A=(tan A)2,(tan A)2 ∠A的对边 中，如果锐角A确定，那 A∠ 常写成tanA,而不能写成tanA 么∠A的对边与邮边 ∠A的邻边 2.如图，在Rt△ABC中， 的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记 ∠C=90°，BC=4,AC=2,则 作tanA,即tanA= ∠A的对边 ∠A的邮边 tanA等于(B). 温馨提示 A号 B.2 C 5 D.√5 1.tanA是一个完整的符号，它表示 3.如图，P(12,a)在反比例 ∠A的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”.tanA不能写成tan·A,也不能理解 函数)y-的图象上，PHL 成tan与∠A的乘积. 轴于点H,则tan∠POH的值 2.对三个大写字母表示成的角（如 ∠ABC),其正切应写成tan∠ABC,不能 为最 4.坡面的铅直高度与水平宽度的比称 写成tan ABC.同样地，tan∠1也不能写 为坡度（或坡比）， 成tanl. 核心·重难探究 知识点一：正切 【例1】如图，在4×4的正方形方格中， △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小 正方形顶点上，则tan∠ACB的值为多少？ 1
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 思路点拨(1)图中的∠ACB与∠EFD 知识点二：坡度 相等吗？ 【例2】如图，河坝横断 、B (2)图中的△ABC与△DEF相似吗？ 面迎水坡AB的坡度是1： 解由匀股定理，得BC=2√2，AC=2√5， √3（坡度是坡面的铅直高度 DF=10,DE=√2， BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3m,求 B馬 坡面AB的长度. AC-AB-BC 2 思路点拨(1)在Rt△ABC中，已知坡面 .△FDE∽△CAB AB的坡度、铅直高度BC的值，可以求出 ∴.∠DFE=∠ACB. 的值； ∴tan ZACB=tan/DFE=I (2)利用 定理可以求出坡面 AB的长. 【方法归纳】 解在Rt△ABC中， 求一个锐角正切值的方法： .BC=3 m,tan A= BC 1 (1)若已知两直角边，则直接根据锐角的 C-3' 正切的定义求出正切值， ..AC= BC tan A=3/3 m. (2)若已知斜边和一条直角边，则先利用 勾股定理求出另一条直角边，再根据锐角的 .AB=√AC+BC=6m. 正切的定义求出正切值， 【方法归纳】 (3)若直接求锐角的正切值有困难，则可 已知坡度、铅直高度（或水平宽度），利用 利用“相等的角的正切值相等”转化为求另一 个直角三角形的锐角的正切值. “坡度= 铅直高度”可求水平宽度（或铅直高 水平宽度 度)，再利用勾股定理可求出坡面的长度. 新知·训练巩固 1.(2022·天津中考)tan45的值等于(B). BA A.2 B.1 2.1) c号 n号 (第2题图) (第3题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC= 3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点 2BC,则tanA的值是(A). B(2,1),则tana的值是(A). A司 B.2 n号 A.司 B.2 n 2
第一章直角三角形的边角关系\ 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5, 则tanA的值为多少？ AC=3,则tanB的值为(D). 解在△ABC中， .BC=5,AC= 12,AB=13, B ∴.BC2+AC2=5+122=132=AB A c D .△ABC是直角三角形，∠C=90. 5.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13, .'.tan A= BC 5 AC=12 素能·演练提升 1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3 AD的中点，若EF=2, 倍，则锐角A的正切值(B). BC=5,CD=3,求tanC A缩小为原来的号 B.不变 的值 解如图所示，连接BD, C.扩大为原来的3倍D.扩大为原来的6倍 ·E,F分别是AB 2.如图，有一斜坡AB,坡 B AD的中点， 顶B离地面的高度BC ∴.BD=2EF4. 为30m,斜坡的倾斜角 A .BC=5,CD=3,..BC2=BD2+CD2 是∠BAC,若an∠BAC=号，则此斜坡的 .△BCD是直角三角形. 水平宽度AC为(A). ianc- CD-3 A.75mB.50mC.30m D.12m 7.如图，为了测量山坡护坡石坝 3.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点 BC的坡度（坡面的铅直高度 上，则tanA的值为(A). 与水平宽度的比称为坡度)， A B② 把一根长5m的竹竿AC斜靠 C.2 D.2√2 在石坝旁，量出竿长1m处的点D离地面 的高度DE=0.6m,又量得竿底与坝脚的 距离AB=3m,求石坝的坡度， 解如图，过点C作CF⊥AB 于点F,则DE∥CF, AD (第3题图) (第4题图) AC= 4.如图，修建抽水站时，沿着坡度=1：√的斜 8=g-82 坡铺设水管.若测得水管A处的铅垂高度为 8m,则所铺设水管AC的长度为(D). 解得CF=3m. A.8 m B.12 m C.14 m D.16 m 在Rt△ACF中，AF=√JAC2-CF2= 5.某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他 √52-32=4m. 所在的位置比原来的位置升高了40米. 又AB=3m,∴.BF=43=1(m). 6.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, 万提的技度器早3 3