第二十一章一元二次方程N 核心·思维激活 激活公式法 个相等的实数根；当b2一4ac<0时，方程 1.求根公式.已知关于x的方程ax2+ 无实数根。 bx+c=0(a≠0)，且b2一4ac≥0，则该方程 【例】用公式法解方程： 的两个根分别为x1= -b+√b2-4ac 4x2+4x+10=1-8x. 2a 解：原方程整理，得4x2+12x十9=0. -b-√b2-4ac 则a=4,b=12,c=9. x2= 2a △=b2-4ac=122-4×4×9=0, 2.用公式法解一元二次方程的一般 所以原方程有两个相等的实数根： 步骤. -b±Vb2-4acb3 (1)把一元二次方程化为一般形式，确 x1=x2= 2a 2a2 定a,b,c的值. 0变式练习 (2)计算b2-4ac的值. 用公式法解方程：2x2+7x=4. (3)当b2一4ac>0时，方程有两个不 1 等的实数根；当b一4ac=0时，方程有两 答案：x1=一4，x2=2 素能·达标训练 。基础巩固 A.x=-3±6 1.用公式法解方程(x十1)(x-2)=1,则 (A). B.x=3±6 2 A.x=1±13 2 C.x=-3±23 2 Bx=-1±I3 2 D.x=3±23 2 C.x=-1±m 3.关于x的方程mx2一4x十1=0的解为 2 (D). D.x=1±1 2 2.用公式法解方程4x2-12x=3,得到 (D). B. 2士√4-m 9
家庭作业·数学·九年级·上册·配人教版 C. 2+√/4-m n2=0. m 解：把原方程左边展开，整理得： D.以上答案都不对 x2-3m.x十(2m2-mn-n2)=0. 4.用公式法解下列方程： :a=1,b=-3m,c=2m2-mn-n2, (1)x2+4x-1=0. ∴.b2-4ac=(-3m)2-4×1×(2m2 (2)x2-6x-2=0. mn-n2)=m2十4mn十4n2=(m十 答案：(1)x1=-2-W5,x2=-2十√5 2)2≥0. (2)x1=3+√/11，x2=3-√/11 3m土√(m+2)23n±(n+21) . 。能力提升 2 2 5.解关于x的方程x2一m(3.x-2m十n) .x1=2m十1，xg=n一n. 第5课时 因式分解法 【学习目标】 1.掌握因式分解法解一元二次方程的步骤.（重点） 2.会熟练地运用因式分解法解一元二次方程.（难点） 基础.学透思 解一元二次方程时，不是用开平方降 分别等于0，从而实现降次.这种解一元二 次，而是先因式分解，使方程化为两个一次 次方程的方法叫做因式分解法. 式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式 核心·思维激活 激潘利用因式分解法解一元二次方程 (1)移项，将所有的项移到方程的左 先将一元二次方程等号的一边化为0， 边，右边化为0. 另一边化为两个一次因式的乘积的形式，再 (2)把方程的左边分解成两个一次因式 使两个一次因式分别等于0，从而转化为求 的乘积的形式，可用的方法有提公因式、利 两个一元一次方程的解，这种解方程的方法 用平方差公式和完全平方公式等. 叫因式分解法. (3)令两个一次因式分别等于0，得到 因式分解法解一元二次方程的一般 两个一元一次方程， 步骤： (4)解这两个一元一次方程即可得到原 方程的解. 10
第二十一章一元二次方程 【例】用因式分解法解下列方程： (2)将方程化为一般形式，得x2一x (1)3x(x-1)=1-x 6=0, (2)(x+1)(x-2)=4. 因式分解，得(x一3)(x+2)=0, 解：（1)移项，得3.x(x一1)+（x 所以x一3=0或x十2=0， 1)=0, 故x1=3,x2=一2. 提公因式，得(x-1)(3.x+1)=0, 0变式练习 所以x-1=0或3x+1=0, 用因式分解法解方程：2(x一3)=3.x(x一3). 故x1=1,x2=一3 2 答案：x1=3,x2= 3 心素能·达标0练」 0基础巩固 5.方程2x(x-3)=0的解是x1=0, 1.已知多项式x2-m.x十n因式分解的结果 x2=3 是(x+1)(x-4),则关于x的方程x2一 6.用因式分解法解下列方程： m.x十n=0的解是(B). (1)(x-1)(x-2)=0. A.x1=-1,x2=-4 (2)x2-5.x+4=0. B.x1=-1,x2=4 答案：(1)x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=4 (2)x1=4,x2=1 D.x1=1,x2=-4 O能力提升 2.方程3x(x+1)=3x十3的解为(D). 7.已知三角形的每条边的长都是方程x2一 A.x=1 6x十8=0的根，求三角形的周长. B.x=-1 解：解方程，得x=2或x=4,又三角形 C.x1=0,x2=-1 的三边长都是方程的根，所以可能出现 D.x1=1,x2=-1 以下情况： 3.方程(x-5)(.x一6)=x-5的解是(D). (1)三边都是2，则周长是6. A.x=5 (2)三边都是4，则周长是12. B.x=5或x=6 (3)两边是4，第三边是2，则周长是10 C.x=7 (4)两边是2，第三边是4，由于不能构 D.x=5或x=7 成三角形，所以周长不可求，舍去 4.方程x(x-1)=0的解是x1=0: 综上所述，三角形的周长可能是6或10 x=1 或12. 11
家庭作业·数学·九年级·上册·配人教版 第6课时一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.（重点） 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题.（难点） 基础·导学透思」 如果关于x的方程a.x2十bx十c=0(a≠ x1·x2= O)的两个实数根是x1,x2,那么x1十x2= 核心·思维激活 激活利用根与系数的关系解决问题 1=0的两个实数根，所以x1十x2=一3， 利用根与系数的关系可以解决的主要问 x+3.x1+1=0.则x7=-3x1-1,x3 题有： -3x7-x1,x+8.x2十20=-3.x1-x1+ (1)已知一根，求另一根和字母系数 8.x2+20=-3(-3.x1-1)-x1+8.x2+20= 的值 8.x1+3+8x2+20=8(x1+x2)+23=-1. (2)求含根的式子的值. 答案：-1 (3)已知两根，求一元二次方程字母系 0变式练习 数的值. 如果关于x的一元二次方程x2十4.x十a=0 【例】已知x1,x2是方程x2+3.x+1=0 的两个不等实数根x1,x2满足x1x2 的两个实数根，则x+8.x2十20= 2.x1-2x2-5=0,那么a的值为(B). 解析：因为x1,x2是方程x2十3x十 A.3B.-3C.13D.-13 素能·达标川线 0基础巩固 2.已知m,n是关于x的一元二次方程 1.已知方程x2一5x+2=0的两个根分别 x2-3x+a=0的两个根，若(m-1)· 为x1,x2,则x1十x2一x1·x2的值为 (n一1)=-6，则a的值为(C). (D). A.-10 B.4 A.-7B.-3C.7D.3 C.-4 D.10 12
第二十一章一元二次方程 3.设a,b是方程x2十x一2018=0的两个 实数根，则a2十2a十b的值为(C). A.2015 B.2016 (2)由x号-x2=0, C.2017 D.2018 得(x1十x2)(x1-x2)=0. 4.已知关于x的一元二次方程x2一x-3=0 若x1十x2=0,即-(2m一1)=0， 的两个实数根分别为a,B,则（α十3）· 1 解得m=2 (3+3)=9· 。能力提升 因为分故m= 不合题意，舍去 5.已知关于x的一元二次方程x2十(2m一 若x1一x2=0,即x1=x2 1)x十m2=0有两个实数根x1和x2. (1)求实数m的取值范围. 则△=0.由D知m= (2)当x一x=0时，求m的值. 放当-=0时，m= 解：(1)由题意有△=(2n一1)2一4m≥0， 解得m<子，即实数m的取值范围是 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题 【学习目标】 1.会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解.（重点） 2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 3.掌握列方程解决实际问题的步骤.（难点） 基础·导学透思」 在疾病的传播问题中，有1个人染上疾 有a个人被传染.可列方程为1十x十x· 病并开始传染他人，第一轮传染了x个人， (1+x)=4. 第二轮以同样的速度传染，两轮传染过后共 13