目 录 第一章张量分析………………… 聊·D非@自命自争 5L.1张量…… s1联络与协变微分 11 513曲率张量……14 §14标架……………………………20 515外微分运算 51.6算子δ与△……………………………35 §17局部映照∴…43 算二章四维空间 521四维空间的曲率张量…48 522U(1)规范场;磁单极;电磁辐射条件……52 523O(4)规范场;同步对称解;类粒子解…60 524旋量;SL(2,C)规范场………………6 52.5 Yang-Mills场……… →*80 第三章旗量分析 §3.1常用张量的旋量形式…486 53.2wey旋量的分类………9 533wey!张量的分类……………107 s3.4weyl旋量的特征双向量和主方向…………119 535能量、动量、张量的分类……“…122 第四章N-P方程 §4.1拟正交标架……………………………145 512 Einstein方程的旋量形式……………………152
543 Goldberg-Sachs定理…………………49 544平面波前引力波(PP波)…… 165 第五章微分流形 55.1微分流形与微分映照 175 §5.2 Stokes定理…………………………………………184 55.3 Frobenius定理 I91 554Sard定理…………………………………206 55.5 Whitney定理 …214 556横截( lty)定理………………………223 算六章黎曼几何 §61切丛与线性联络…………… 229 562平行移动;测地线…………………………234 563黎曼流形………………… …240 564相对曲率量; Gauss-Codazzi方程…………243 565黎曼联络………………………………252 56.6完备的黎曼流形 259 s6,7等度变换……………………………264 第七章洲地线的指数和比较定理 574测地线的变分…………………………………270 572 Jacobi场;测地线的共轭点……………………274 573Gaus引理的推广………………………280 574测地线的指数式… 285 575 Morse-Schonberg比较定理………………………294 576 Rauch比较定理……………………………………301 s 7.7 Hadamard 定理 305
第一章张量分析 §1.1张量 令Rm代表所有m个实数x=(x…,x)组成的空 间,x也称为Rm的点.x(j=1,2,…,m)称为x点的坐 标。在R的任两点x与y之间可以引进一度量 」x-y」={(x2-y)2+ )2},(111) 称为欧氏度量.于是可由此定义Rm的一拓扑 设V是R″中的开集,映照f:V→把V映人R"的 子集的,设x∈V映为x∈爷,表示为 于是x的坐标x与x的坐标x(a=1,…n之间有一函 数关系 x°=(x)=f(x2 f(x)称为映照函数。如果所有的f∈C(T)(C(V)表示在v 中,有r次连续偏微分的函数集合),则f称为r次可微分映 照.今后如非有特别说明,为方便起见,我们说可微分函数是 指可无穷次微分函数,而微分映照则是指无穷次可微分映照 目前暂考虑也是Rm的开集微分映照f:V→P是 一一对应的,且映照函数 (112) 的函数方阵
arI ar1 6 (11.3) ar orm 是非异的情形。此时,变换(1.1.2)称为局部坐标变换或简称 坐标变换 令K代表实数城或复数域,GL(N,K)表示矩阵元素属 于K的NXN非异方阵所成的群.由于GL(N2K)是欧氏 空间KN的开集,其么元素即单位方阵I,必有KM中的邻 域仍然包含于GL(N,K) 设G是GL(NK的子群,它满足下述条件 ()存在GL(Nk)单位方阵I的邻城慼。,使得 G∩的元素与R的原点的邻域W={a=(1,…,d) ∈R]]al<ε,a=1,……,r}的点一一地对应,并且如 A∈Gn,=(4B)sa,Bs则 是σ的实解析函数,其函数矩阵之秩为r。为简便起见,我 们记A()=(A().此外假定A(0)=J (i)存在实解析函数φ(σ,)=(φ(,x)……,ψ(,x)) 在Gar)∈W。×W。(0<Et≤6)定义的乘法函数,使 得ψr)∈W且 A(σ)()=A(中(x 这时G称为r维矩阵李群 若B∈G,但B0k令 B0={B∈G|B=B04,A∈}, 则当B∈B0那。时,能写为 b=lnA():a∈w
这证明G中的任一元素可用a∈W的参数来表示 设G是r维N×N矩阵李群,又设任一坐标变换( 1.2)对应于f卩→俨有一陕照qpv:V→G使得当x qp(x)∈B。因而可写qy(x)=BA()时,参数是x 的可微分函数.此外,如有f:→是另一坐标变换,则有 甲(x)=q(xqp(x), (114) 其中φv是相应于坐标变换ff:V→萨的映照qy:v G,而(1.1.4)右边的乘法表示矩阵乘法。这些qp(x)称为 联接方阵 在V的x点的一G型张量,即在x点有一组数(x) (a=1,…,N),使得对任一坐标变换(L.12)对应于的x 点有一组数(G),适合 ()∑[qp(x)]距 (115) 其中[甲p(x)]是联接方阵甲(x)的矩阵元素 如果每一点x∈V,都有一G型向量5(x)是x∈V的 连续函数,且联接矩阵也是连续的,即矩阵的元紊是x∈V 的连续函数,则ξ(x)称为在V中的G型向量场.通常假定联 接矩阵是可微分的。如5(x)是在v可微分的,则称为V中 的可微分的G型向量场 显然,所有在x点的G型向量成实数域或复数域下的N 雄线性空间,用T来表示。T的对偶空间用7表示,众 所周知,任一【∈存在一组数(x),使得对任一E∈r 其分量为§“(x)时有 t(5)=2t2(x)5 其中(x)称为的分量显然,经过局部坐标变换(1.1.2)