北京大学：《电磁学》课程教学资源（习题讲义）讨论课题解一

第一章讨论课 一.基本题 1.一无限长带电线,电荷线密度为, 将它弯成如图所示,求p点场强。 分析整体无对称性,但可以 B 分成三部分考虑1.A∞2.AB3.B∝ dE dE dE=1 Adr dE, i=dE sin i Smear x-+ 4丌0 dE,j= dE cos团 cos 4TeR E E=,(i+j) B ER 4丌ER 思考:此题可延伸,类似的问题有那些?举例! P

1 第一章 讨论课 一．基本题 1．一无限长带电线，电荷线密度为  ， 将它弯成如图所示，求 p 点场强。 分析整体无对称性，但可以 分成三部分考虑 1．A——∞ 2. AB 3.B——∞ dE j dE j dE i dE i r r dx dE y x           cos sin ˆ 4 1 2 0 = = = 2 2 2 2 cos sin , x y y x y x + = + =   0 ( ) 4 ( ) 4 0 0 + =        ⎯→ − ⎯→ − i j R B j i R A           ( ) 4 4 2 0 0 i j R E R En    = ⎯→ = +       思考：此题可延伸，类似的问题有那些？举例！

进一步可以证明 半无限长带电线在P点的场强等于1/4圆弧在此点产生的场 dE↑ 换元:n=tane,x=Ranb,ax=Rsec2=R de R R R cos 0r= cose dEs- dr iR cOS de 2d0 R 圆弧上d在P点场强 4 2.一半径为R,电荷体密度为p的 均匀带电球体内部挖一个球形空k 腔,半径为R,它的中心0与0距 离为a,设R<a, 求0、0、PM各点的场强 分析:总体不对称,局部对称,可以用挖补法,即 2

2 进一步可以证明 半无限长带电线在 P 点的场强等于 1/4 圆弧在此点产生的场 换元：       d R x R dx R d R x 2 2 cos = tan , = tan , = sec =   cos cos , R r r R = = 4 1 4 cos 4 cos 4 0 2 2 0 2 2 0 = = = ⎯→ R d R d R r dx dE              圆弧上 dl 在 P 点场强 2．一半径为 R，电荷体密度为  e 的 均匀带电球体内部挖一个球形空 腔，半径为 R’，它的中心 O’与 O 距 离为 a ,设 R’<a, 求 O、O’ 、P、M 各点的场强 分析：总体不对称，局部对称，可以用挖补法，即 +

3.一张面积很大的塑料平面薄膜,经摩擦方式均匀带 有面电荷q,一块带电量为Q的导体平板,与薄膜平 行放置,设板和膜相距为d,面积均为S,且d远远小 于膜板线度,忽略边缘效应,求 1)导体板两个表面的自由电荷面密度4与OB; 2)导体板与塑料膜之间的电势差△U Q 解: 1)导体板上电荷满足关系 (o +ORS=o, (1) 因为导体上任意一点P处,场强 0 Ep=0=。M25 28 C→o,-OB=0cS (2) 解(1)(2)得 0+g 2-9 2S 2S 2)板与膜之间场强 E'= q 2S △U=E'd=

3 3. 一张面积很大的塑料平面薄膜，经摩擦方式均匀带 有面电荷 q，一块带电量为 Q 的导体平板，与薄膜平 行放置，设板和膜相距为 d，面积均为 S，且 d 远远小 于膜板线度，忽略边缘效应，求: 1)导体板两个表面的自由电荷面密度  A 与  B ； 2)导体板与塑料膜之间的电势差 U . 解： 1） 导体板上电荷满足关系 ( )S Q,  A + B = （1） 因为 导体上任意一点 P 处，场强 S q E A B C A B C P = = − −  − = =       2 0 2 0 2 0 0 （2） 解（1）（2）得 S Q q S Q q A B 2 , 2 − = +  =  2）板与膜之间场强 S Q q E A B C 2 1 2 2 2 ' 0 0 0 0 − = + − =        ， d S Q q U E d 0 2 '  −  = =

4.导体表面上某处电荷面密度为a时,求该处导体单位面积 所受的力 种观点:因为导体表面处场强 ,所以O所在处单位面积受力为 F=△GFG△S n 方对否?有问题吗? 答:有问题: E=n是导体表面的场强,是所有带电体在表面上的场强 也包含了自身上的电荷。而说到该处单位面积受力是指这块 面元受除本身以外其他电荷对 它的作用力。 E(P)=E(P)+E其他(P) + 28 Eo 而△S受外场的作用力 E其(P 80 所以所在处单位面积受力为 F △S GE其他2E0 注意到“平方效应”,表面面元受 力总是指向外法线方向一一扩张 导体球 力,不论电荷密度σ>0,or,<0 扩张力对金属材料本身稳固性是个考验

4 4．导体表面上某处电荷面密度为  时，求该处导体单位面积 所受的力 一种观点：因为导体表面处场强 E n   0   = ，所以  所在处单位面积受力为 n S F qE    0 2    =  = n S F f    0 2   =  = 对否？有问题吗？ 答：有问题： E n   0   = 是导体表面的场强，是所有带电体在表面上的场强， 也包含了自身上的电荷。而说到该处单位面积受力是指这块 面元受除本身以外其他电荷对 它的作用力。 n n n E P E S P E P       2 0 2 0 0 ( ) ( ) ( )       ＝ ＋ ＝ =  + 其他 而 S 受外场的作用力 E P n   2 0 ( )   其他 ＝ 所以  所在处单位面积受力为 E n S F f     0 2 2  = =  = 其他 注意到“平方效应”，表面面元受 力总是指向外法线方向——扩张 力，不论电荷密度   0,or,  0 扩张力对金属材料本身稳固性是个考验

5.如图电四极子,r>l 证明:它在P点产生的电势为 极轴 3gl sin 0 cos 0 (r>>1) 4Ter 讨论:求电势可以利用电偶极子的结果再叠加。 1)电偶极子在P点的电势为: 1 P.r glos 0 (r>> 4丌0 4丌Er 电四极子可以看成相互反平行的电偶极子,叠加 P(r e 1与P相距 r=r+=cos 0 q 极轴 2与P相距=F-cos0 因为r<<l,所以"1≈O2 lcos gl cos 0 Up=U+U24m万45 U71+U,≈ gl cos0 4丌E r+-cos e cos e

5 5．如图电四极子， r  l 证明：它在 P 点产生的电势为 ( ) 4 3 sin cos 3 0 2 r l r ql U = −      讨论：求电势可以利用电偶极子的结果再叠加。 1）电偶极子在 P 点的电势为： ( ) 4 cos 4 1 2 0 3 0 r l r ql r P r U =   =        电四极子可以看成相互反平行的电偶极子，叠加 1 与 P 相距 cos 2 1 l r = r + 2 与 P 相距 cos 2 2 l r = r − 因为 r  l ，所以 1 2 ' ' 2 0 2 2 2 0 1 1 1 2 4 cos 4 cos r ql r ql UP U U       = + = − ) 1 1 ( 4 cos 2 2 2 0 1 1 2 r r ql UP =U +U  −    2 2 2 1 1 1 r r −                   − −       +  2 2 cos 2 1 cos 2 1   l r l r