e2 0(5-a)" 此级数在。k1的区域中一致收敛，因此可逐项积分 2指e 名得e =2a.(e-a)r 高阶导数科希公式 An= 1∮f() n! 16
1616 此级数在 | | 1 的区域中一致收敛，因此可逐项积分 z a a − − ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 n n n n n z a z a a a a + = = − − = = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 n n C n z a f z f d i a + = − = − ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 n n C n f d z a i a + = = − − ( ) 0 n n n a z a = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ! n n n C f f a a d i n a + = = − 高阶导数科希公式
泰勒级数也可称为解析函数f(z)的级数表达式. 且这个展开式在|z-a<R内是唯一的。 证（反证法）设在z-<R内f(z)可展成两个不同的泰勒级数 f(z)=b+b,(z-a）+b2(z-a)2+.+b(z-a)+. fz)=b+b'(z-a)+b'(z-a)2+.+bk(z-0)+. 则 b+b,(z-）+b2(z-a)2+.+b(z-a)+. ≡b+b(z-a)+b2'(z-a)2+.+bk(z-)+. 令a: →b=b; 恒等式两边求导 b+2b(-+.+kh(z-a)-+. ≡b+2b2'(z-a)+.+kb(z-a)-1+. 令F: ◆ b,=b; 17
1717 泰勒级数也可称为解析函数f (z)的级数表达式. 且这个展开式在|z – a|< R内是唯一的。 证（反证法）设在|z–a|<R内f (z)可展成两个不同的泰勒级数 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )k k f z b b z a b z a b z a = + − + − + + − + ' ' ' 2 ' 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )k k f z b b z a b z a b z a = + − + − + + − + 令z=a： 恒等式两边求导 1 1 2 ' ' ' 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) k k k k b b z a kb z a b b z a kb z a − − + − + + − + + − + + − + 令z=a： 2 0 1 2 ' ' ' 2 ' 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k b b z a b z a b z a b b z a b z a b z a + − + − + + − + + − + − + + − + 则 ' 1 1 b b = ; ' 0 0 b b = ;
继续求导，可得b2=b2,b3=b,. 这两个级数的系数全部相等，因此，f(z)展开式唯一. 二、收敛圆函数f(z)的奇点完全决定了泰勒级数的收敛 半径，设b为f(z)的离a点最近的奇点，则一般说来，收敛半 径R=b-a. 如果收敛半径大于到最近孤立奇点的距离，而泰勒级数 在此圆内收敛，但在此圆内又至少有一个奇点，显然矛盾。 可见，收敛半径应该为a点到最近孤立奇点的距离。 例如 1+22 =∑(-)”2，( zk1) n=0 函数的奇点z=±就决定了泰勒级数的收敛半径为R=i=1
1818 二、收敛圆 函数f (z)的奇点完全决定了泰勒级数的收敛 半径，设b为f (z)的离a点最近的奇点，则一般说来，收敛半 径R=|b-a|. 继续求导，可得 ' 2 2 b b = , ' 3 3 b b = , 这两个级数的系数全部相等，因此，f (z)展开式唯一. 函数的奇点z=i就决定了泰勒级数的收敛半径为R=|i|=1. 例如 ( ) ( ) 2 2 0 1 , | | 1 1 n n n z z z = = − + 如果收敛半径大于a到最近孤立奇点的距离，而泰勒级数 在此圆内收敛，但在此圆内又至少有一个奇点，显然矛盾。 可见，收敛半径应该为a点到最近孤立奇点的距离
三、讨论 ① 不论用什么方法，得到的f(☑)在同一个圆内的泰勒展开 是唯一的，因此不一定要用导数. ② 如果在同一点展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比 较系数，同一个函数在不同点展开得到的两个泰勒级数， 即使有公共的收敛区域，也不能直接比较系数. 四、例子 1、把f(z)=z在z=0邻域内展成泰勒级数。 解：f(z)=z(川zK∞)此即为z=0 邻域内的泰勒级数 2、把∫()=z在z=1邻域内展成泰勒级数. 解：f(z)=z-1+1=1+(z-1)(z-1K∞) 19
1919 三、讨论 ② 如果在同一点展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比 较系数，同一个函数在不同点展开得到的两个泰勒级数， 即使有公共的收敛区域，也不能直接比较系数. 四、例子 1、把f (z)=z在z＝0邻域内展成泰勒级数。 解： f z z ( ) = (| | ) z 此即为 z = 0 邻域内的泰勒级数. ① 不论用什么方法，得到的f(z)在同一个圆内的泰勒展开 是唯一的，因此不一定要用导数. 2、把 在 邻域内展成泰勒级数. f z z ( ) = z = 1 解： f z z z ( ) 1 1 1 ( 1) = − + = + − (| 1| ) z −
3、把f()=二在z=1邻域内展成泰勒级数. 11 解：f()=二= 1 n2-W 1+-01-a-0 =2-1)rz-0z-1k) k=0 f(z)= 离展开点=1最近的孤立奇点为z=0,它们 之间的距离为1，故收敛半径R=1. 4、把f2)=在=2邻域内展成泰勒级数。 解：f(z)= 111 2+-221-3 2k-0 20
2020 3、把 在 邻域内展成泰勒级数. 1 f z( ) z = z = 1 解： 0 1 1 1 ( ) [ ( 1)] 1 ( 1) 1 [ ( 1)] k k f z z z z z = = = = = − − + − − − − 0 ( 1) ( 1) k k k z = = − − (| 1| 1) z − 离展开点 最近的孤立奇点为 ，它们 1 f z( ) z = z = 1 z = 0 之间的距离为1，故收敛半径R＝1. 4、把 在 邻域内展成泰勒级数. 1 f z( ) z = z = 2 解： 0 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( 2) 2 2 2 2 1 ( ) 2 k k z f z z z = − = = = − + − − − −