证： 因为∑c,(2-a在zo收敛，故一定满足必要条件 limc((zo-a)”=0. 有界 因此存在正数q使得cn(。-a”kq.所以 k.(He.6 h z-a 因为12k1即-a水K-a时，三a 收敛，故 n=0 Zo a cn(之-a)P在圆z-a<o一a内绝对收敛. 11
1111 证： 因为 在z ( ) 0收敛，故一定满足必要条件 0 n n n c z a = − lim 0. ( 0 ) n n n c z a → − = 因此存在正数q使得 | | ( 0 ) . 所以 n n c z a q − 因为 即 时， 收敛，故 0 | | 1 z a z a − − 0 | | | | z a z a − − 0 0 | | n z a z a = − − 有界 ( ) ( 0 ) 0 0 | | | | n n n n n n z a z a c z a c z a q z a z a − − − = − − −
推论：若级数∑cn（2-a)”在某点z发 n=0 Z2 散，则在圆|z-a曰1-a外处处发散， 证（反证法)若级数∑cn(z-a)”在 n=0 圆|z-a曰31-a外某一点z2收敛.则 级数必在圆|z-aHz2-az2-az,-aD 内收敛，与原设矛盾得证 收敛圆与收敛半径对于幂级数的收敛区域一定是一个圆 域，称为收敛圆，该圆的半径称为收敛半径 收敛半径可以是0，收敛圆退化为一个点除z=a外，幂级数 在全平面处处发散收敛半径可以是无穷大，这时收敛圆为 全平面，幂级数在全平面上收敛，但在无穷大是奇点， 收敛半径有以下两种判别法： R= 比值判别法
1212 散，则在圆 外处处发散. 推论：若级数 ( ) 在某点z1发 0 n n n c z a = − 1 | | | | z a z a − = − a 1 z 2 z 圆 外某一点z2收敛. 则 证 （反证法). 若级数 ( ) 在 0 n n n c z a = − 级数必在圆 内收敛，与原设矛盾. 得证 2 2 1 | | | | (| | | |) z a z a z a z a − = − − − 1 | | | | z a z a − = − 收敛圆与收敛半径 对于幂级数的收敛区域一定是一个圆 域，称为收敛圆，该圆的半径称为收敛半径. 收敛半径可以是0，收敛圆退化为一个点. 除z = a外，幂级数 在全平面处处发散. 收敛半径可以是无穷大，这时收敛圆为 全平面，幂级数在全平面上收敛，但在无穷大是奇点. 收敛半径有以下两种判别法： 1 lim | | k k k c R → c + = 比值判别法
R=lim k→0{ cxl 根值判别法 幂级数的解析性： 若幂级数在z-b<R内一致收敛于f(a),即： f(a)->e.(z-a) (z-aR) k=0 证明略 则：1、f(a)在zdKR内解析； 2、可逐项积分，逐项微分，且不改变其收敛半径。 例1、求∑2=1+z+z2+.+z+.,并指出收敛域 解：S=1+z+z2+.+z”=0,1-g+_1-21 1-q1-z 当☑<1时，lim S=lim 1-z+11 1->00 n01-z1-z 13
1313 1 lim | | k k k R c → = 幂级数的解析性： 若幂级数在|z- b|<R内一致收敛于f(z)，即： 0 ( ) ( )k k k f z c z a = = − (| | ) z a R − 则：1、 f (z)在|z- a|<R内解析； 2、可逐项积分，逐项微分，且不改变其收敛半径。 证明略 例1、求 2 0 1 k k k z z z z = = + + + + + ，并指出收敛域. 解： 1 1 2 (1 ) 1 1 1 1 n n n o n a q z S z z z q z + + − − = + + + + = = − − 当|z| < 1时， 1 1 1 lim lim 1 1 n n n n z S z z + → → − = = − − 根值判别法
1-z 0z长1) 例2、求 21+品+2+ k: z+. 并指出收敛域， 解：根据初等函数的定义： e=1+ z+. 1!2:1 k (zK) 14
1414 0 1 1 k k z z = = − (| | 1) z 例2、求 2 0 1 1 1 1 1 ! 1! 2! ! k k k z z z z k k = = + + + + + 并指出收敛域. 解：根据初等函数的定义： 1 1 1 2 1 1! 2! ! z k e z z z k = + + + + + 0 1 ! k z k z e k = = (| | ) z
§3.4泰勒展开 一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数.如何将一个 解析函数表示成幂级数？ 一、泰勒展开 若f(z)在|z-a<R内解析，则可展成以为a 中心的幂级数，C为区域圆的边界 阳-2e-《-5G围g= n! C为逆时针.若无特别说明积分方向均为逆时针 证 根据科希积分公式，对于圆C内任意一点z,有 f()= 1 f(d 2πi5-z 根据 (0zk1) 1 5-z(5-a)-(z-a）5-a1- z-a -a 15 4D
1515 §3.4 泰勒展开 一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数. 如何将一个 解析函数表示成幂级数？ 一、泰勒展开 若f (z)在|z –a|< R内解析,则可展成以为a 中心的幂级数，C为区域圆的边界. ( ) 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 ! ( ) n n n n n C n f f a f z a z a a d i n a + = = − = = − C为逆时针. 若无特别说明积分方向均为逆时针 证 根据科希积分公式，对于圆C内任意一点z，有 ( ) 1 ( ) 2 C f f z d i z = − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 z a z a a z a a = = − − − − − − − − 0 1 (| | 1) 1 k k z z z = = − 根据