§82数量积向量积 两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积
§8.2 数量积 向量积 *三、向量的混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
两向量的数量积 引例设—物体在常力F作用下,沿与力夹角为6 的直线移动,位移为s,则力F所做的功为 W=FS 6=F. S cos(,,S) 1.定义对向量a,b,称 a|·|bcos(ab记作a.b M 为d与b的数量积(点积 注意到 Prj:a=ld|cos(a,b) W=F·.s 则有a.b=|a||bcos(a,b)=b|Prjd=|li|Prib 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 对向量 称 记作 数量积 (点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 W F s = M2 a b 为a与b的 s Prjb a W F s = | | | |cos = | | | |cos( , ) F s F s | | | |cos( , ) a b a b a b, , 注意到 则有 a b = | | Prjb = b a | | Prj a | | | |cos( , ) a b a b = a b
2.性质 a·a=a d·b=a|·|bcos(a,b 2)a·b=0 由定义即知 3.运算律 (1)交换律db=b·d (2)结合律(2,为实数) (2a)b=a(b)=A(a·b) (d)(b)=2(a:(b)=4(ab) (3)分配律(d+b)·d=l·d+b·c 证(d+b)c=|l|Pri(a+b)=|l|(Prid+Prib),故之 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2. 性质 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) = ( a ( b)) = (a b) (3) 分配律 证 | | Prj ( ) c ( ) a b c + = + c a b | | ( Prj Prj ) c c = + c a b ,故之 ( ) a b c + = + a c b c 3. 运算律 (1) a a = (2) a b = 0 由定义即知 a b a b a b = | | | |cos( , )
例1证明三角形余弦定理 a+6 2-2ab( 6 证如图设 b cB=a. ca=b. Ab=c a-b B c=(a-b)(a-b)=a.a+bb-2a.b b 6 cos 0 a=a,b=b,c=c a+b--2abcos e 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） A B C a b c 例1 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c
4.数量积的坐标表示 设d=a1+a1yj+a2k,b=b1+b,j+bk,则 b=(ar+avj+a k).(bx i+b, j+b2 k) j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0 a·b=axbx+a,b+a2b2 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时由于ab=a‖ b cos e,得9 b a、b.+a、b+ab cos 0 b a2+a2+a2、b4+b2+b 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） 4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 ax + ay + az 2 2 2 bx + by + bz 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z (a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i j = j k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得