第一章 特殊平行四边形、 3.如图，已知四边形ABCD是正方形，E是5.如图，在等边△ABC中， AB延长线上一点，且BE=BD,则∠BDE AB=2,AH⊥BC并交 的度数是(A). BC于点H,点E是AH 上一点，延长AH至点 F,使FH=EH. (1)求证：四边形EBFC是菱形： (2)若四边形EBFC是正方形，求CE的长. A.22.5 B.30° (1)证明在等边△ABC中，AH⊥BC, C.45 D.67.5° .BH=CH,又EH=FH,.四边形 EBFC是平行四边形. 4.（2021·贵州铜仁中 .E在AH上，AH⊥BC,BH=CH, 考)如图，将边长为1C ..BE=CE, 的正方形ABCD绕点 ∴.四边形EBFC是菱形. A顺时针旋转30°到 (2)解若四边形EBF℃是正方形，则∠BEC= ABC1D1的位置，则阴 90.又BE=CE,.△BEC为等腰直角三角 影部分的面积是2-23 形.在等边△ABC中，AB=2,.BC=2,BH= 3 HC=1,.EH=1,.CE的长为√2 第2课时 正方形的判定 基础·自主梳理 1.正方形的判定定理 矩形各边的中点为顶点组成的四边形是菱 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 形；以菱形各边的中点为顶点组成的四边形 (2)对角线互相垂直的矩形是正方形 是矩形；以正方形各边的中点为顶点组成的 (3)有一个角是直角的菱形是正方形. 四边形是正方形 (4)对角线相等的菱形是正方形 3.四个角相等，四条边也相等的四边形 2.依次连接任意一个四边形各边的中 一定是(A). 点所得的四边形是平行四边形.利用三角形 A.正方形 的中位线定理，不难得到如下结论：以对角线 B.菱形 相等的四边形的各边中点为顶点组成的四边 C.矩形 形是菱形；以对角线垂直的四边形的各边中 D.平行四边形 点为顶点组成的四边形是矩形.据此可知，以 19
家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 核心·重难探究 知识点正方形的判定 .AD∥BC,.∠ADE=∠CBD, 【例题】如图，已知在四边形ABCD中， ∴.∠CDE=∠CBD,.BC=CD AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点， 又AD=CD,.BC=AD 且EA=EC. 又AD∥BC.四边形ABCD为平行四边形. .AD=CD,.□ABCD是菱形 (2)BE=BC,∴.∠BCE=∠BEC .∠CBE:∠BCE=2:3, 2 ∠CBE=180×2+3+345, (1)求证：四边形ABCD是菱形： .四边形ABCD是菱形，.∠ABE= (2)如果BE=BC,且∠CBE:∠BCE ∠CBE=45, 2：3,求证：四边形ABCD是正方形 .∠ABC=90,.菱形ABCD是正方形. 思路点拨(1)由条件可证△ADE≌ △CDE,则有∠ADE=∠CDE,再结合条件 【方法归纳】 AD∥BC可证BC=CD,进而得AD=BC,则 1.判定正方形的一般思路： 四边形ABCD为平行四边形，又AD=CD, 一个角 一组邻 故☐ABCD是菱形； 是直角 边相等 (2)易知△BEC为等腰三角形，利用三角 (判定定理) 矩形 形的内角和定理可求∠CBE=45°，由菱形性 四边形 平行四 正方形 边形 一组邻 个角 质可得∠ABC=90°，故菱形ABCD是正 边相等 菱形是直角 方形. 2.正方形的判定方法可用一句话概括： 证明（1)在△ADE与△CDE中， 既是菱形又是矩形的四边形即为正方形 AD=CD,DE=DE,EA=EC, .·△ADE≌△CDE,.∠ADE=∠CDE. 新知·训练巩固 1.如图，在□ABCD C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形 中，BD⊥AD,AB= D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形 10,AD=6,O为 2.小明在学习了正方形 BD的中点，E为 之后，给同桌小文出 边AB上一点，直线EO交CD于点F,连 了道题.从下列四个 A 接DE,BF.下列结论不成立的是(D). 条件①AB=BC:②∠ABC=90°；③AC= A.四边形DEBF为平行四边形 BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件， B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形 使□ABCD成为正方形，如图.现有下列四 20
第一章特殊平行四边形\ 种选法，你认为错误的是(B). ∴.AO=CO A.①②B.②③C.①③ D.②④ ,△ACE是等边三角形，.EO⊥AC, 3.如图，已知在□ABCD 即DB⊥AC.∴.平行四边形ABCD是菱形. 中，对角线AC,BD交于 （2).△ACE是等边三角形， 点O,E是BD延长线上 ∴.∠AEC=60. 的点，且△ACE是等边 三角形. E0 AC.AEC02∠AEC-30. (1)求证：四边形ABCD .∠AED=2∠EAD,.∠EAD=15. 是菱形； ·.∠ADO=∠EAD+∠AED=45. (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形 四边形ABCD是菱形，∴.∠ADC= ABCD是正方形 2∠ADO=90.∴.菱形ABCD是正方形. 证明(1)：四边形ABCD是平行四边形， 素能·演练提升 1.已知四边形ABCD是平行四边形，AC,BD (BE=DF, 相交于点O,则下列结论错误的是(B). 在△BCE和△DCF中，∠B=∠D A.OA=OC,OB-OD BC=DC, B.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形 .·△BCE≌△DCF. C.当∠ABC=90时，四边形ABCD是矩形 (2)解当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形. D.当AC=BD且AC⊥BD时，四边形 理由略. ABCD是正方形 5.如图，在平行四边形 ABCD中，O是CD的 2.如果一个四边形的对角线互相垂直且相 中点，连接AO并延长， 等，那么依次连接它的各边中点得到的四 交BC的延长线于 边形是正方形· 点E. 3.如图，在△ABC中， (1)求证：△AOD≌ ∠ACB=90°，BC的垂 △EOC; 直平分线EF交BC于 (2)连接AC,DE,当∠B等于∠AEB并为 点D,交AB于点E,且 多少度时，四边形ACED是正方形？ BE=BF,请你添加一 请说明理由. 个条件EF=BC(答案 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AD∥BC.∴.∠ADO=∠OCE,∠DAO= 不唯一），使四边形 ∠CEO. BECF是正方形. 又O是CD的中点，.OC=OD, 4.如图，在菱形ABCD ..△AOD≌△EOC. 中，点E,O,F分别 (2)解当∠B=∠AEB=45°时，四边形 为AB,AC,AD的 ACED是正方形.理由如下： 中点，连接CE, B △AOD≌△EOC,∴.OA=OE CF,OE,OF. ·.:OC=OD,∴.四边形ACED是平行 (1)求证：△BCE≌△DCF; 四边形. (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形 ,∠B=∠AEB=45°，∴，AB=AE, ∠BAE=90. AEOF是正方形？请说明理由 四边形ABCD是平行四边形， (1)证明：·四边形ABCD是菱形， ∴.AB∥CD,AB=CD.∴.∠COE= ∴.∠B=∠D,AB=BC=DC=AD: ∠BAE=90. :点E,F分别为AB,AD的中点， ∴.平行四边形ACED是菱形. ∴.AE=BE=DF=AF. .AB-AE,AB-CD,..AE=CD .菱形ACED是正方形. 21
第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 基础·自主梳理 1.只含有一个未知数x的整式方 数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其 程，并且都可以化成a.x2十bx+c=0(a,b,c为 中ax,bx,c分别称为二次项、一次项 常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二 和常数项，a,b分别称为二次项系数和 次方程 一次项系数 2.已知关于x的方程(a+1)x2一ax十 4.把一元二次方程一2x2十x十8=1化为 2=0是一元二次方程，则(D). 二次项系数为正数的一般形式时，它的常数 A.a≠1 B.a>-1 项是(B). C.a≠0 D.a≠-1 A.7 B.-7C.-8D.-9 3.我们把aX+bx+c=0(a,b,c为常 核心·重难探究 知识点一一元二次方程的概念 方程；选项B,二次项系数a没有规定不为0， 【例1】下列方程是关于x的一元二次方 显然也不一定是关于X的一元二次方程；选 程的是(C). 项C,方程是关于X的一元二次方程；选项D, Ar+2-0 方程中含有两个未知数，不是关于X的一元二 次方程，故应选C. B.ax2+bx+c=0 【方法归纳】 C.(x-1)(x+2)=1 D.3.x2-2xy-5y2=0 一元二次方程的识别 思路点拨判断的关键是紧扣一元二次 判断一个方程是否为一元二次方程，步 方程的形式a.x2十bx十c=0(a,b,c为常数， 骤如下：(1)判断是否为整式方程；(2)将方程 a≠0) 化简；(3)只含一个未知数；(4)未知数的最高 解析选项A,方程左边代数式中的分母 次数为2；(5)二次项系数不等于0. 含有未知数，不是整式，所以它不是一元二次 22
第二章一元二次方程\ 知识点二一元二次方程的一般形式 中二次项系数是6，一次项系数是-15，常数项 【例2】将方程3.x(2x-5)-10=1化为 是-11，其和为6-15-11=-20. 一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和 【名师点津】 常数项的和是多少 在一元二次方程的一般形式a.x2十bx十 思路点拨先利用去括号、移项、合并同 c=0(a,b,c为常数，a≠0)中，若b≠0，c≠0， 类项等知识将方程化为一般形式，再分别找 则等号左边是一个关于未知数x的二次三项 出它的二次项系数、一次项系数和常数项.注 式，等号右边是定值0.应特别注意二次项系 意不要弄错符号 数a≠0这个限制条件. 解原方程可化简为6x-15x-11=0.其 新知·训练巩固 1.下列是一元二次方程的是(C). 3.在规划设计某小区时，准备在两幢楼房之 A.-5.x+2=1 B.2.x2-y+1=0 间设置一块面积为900m的矩形绿地，并 C.x2+2x=0 nr-=0 且长比宽多10m.设绿地的宽为xm,根据 题意，可列方程为(B 2.一元二次方程2y一7=3y的二次项系数、 A.x(x-10)=900 一次项系数、常数项分别是(A). B.x(x+10)=900 A.2,-3,-7 C.10(x+10)=900 B.-2,-3,-7 D.2[x+(x+10)]=900 C.2,-7,3 4.若方程(m2一9)x2十8=mx是关于x的一元 D.-2,-3,7 二次方程，则m的取值范围是m≠±3. 素能·演练提升 1.关于x的方程(a-3).x2-7-3.x-2=0是 2.已知方程(m一1)x2十√mx=1是关于x的 一元二次方程，则(C). 一元二次方程，则m的取值范围是(C). A.a≠士3 B.a=3 A.m≠1 B.m≥0 C.a=-3 D.a=土3 C.m0,且m≠1 D.m为任意实数 23