1家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 2.如图，在Rt△ABC中， 4.如图，在△ABC中， ∠B=90°，AB=4,BC> 点O是AC上的一个 AB,点D在BC上，AC为 动点，过点O作直线 M 平行四边形ADCE的对角 MN∥BC,设MN交 D 线，则DE的最小值是4 ∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分 3.已知：如图，在□ABCD 线于点F 中，BA=BD,M,N分别 (1)求证：EO=FO: 是AD和BC的中点.求 (2)当点O运动到何处时，四边形AECF 证：四边形BWDM是矩形 是矩形？ 证明四边形ABCD是平行四边形， (1)证明.：MN∥BC, ∴.AD∥BC,AD=BC,BA=DC ∴.∠OEC=∠BCE. .BA=BD,∴.BA=BD=DC .CE平分∠BCA, M,N分别是AD和BC的中点， .∠OCE=∠BCE, .BMLAD,DM-AD,BN=BC. .∠OEC=∠OCE, ..OE=OC. .DM=BN.又DM∥BN, 同理可得OF=OC. ∴.四边形BNDM是平行四边形 ..EO=FO. .BM⊥AD,∴.∠BMD=90, (2)解当点O运动到AC的中点时，四边形 .四边形BNDM是矩形. AECF是矩形.理由略. 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 基础·自主梳理 1.如图，矩形ABCD的 2.如图，一个平行 对角线AC,BD相交于点O, 四边形的活动框架，对 CE∥BD,DE∥AC.若AC 角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则 4,则四边形OCED的周长为(B). ∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生 A.4 B.8 改变.当∠α是90度时，两条对角线的长度 C.10 D.12 相等， 14
第一章 特殊平行四边形、 核心·重难探究 知识点矩形的性质与判定的综合应用 .AE∥BC,.∠EAD=180°-∠ADC=90. 【例题】如图，在△ABC .CE⊥AE.∴.∠AEC=∠EAD=∠ADC=90, 中，AB=AC,AD是BC边上 ∴.四边形ADCE是矩形，.AD=CE 的中线，AE∥BC,CE⊥AE, 又AB=AC,∴.Rt△ABD≌Rt△CAE 垂足为E (2)解DE∥AB,DE=AB.证明如下： (1)求证：△ABD≌△CAE; ,四边形ADCE是矩形，∴.AE=CD= (2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样 BD,AE∥BD,.∴.四边形ABDE是平行四边形， 的位置关系和数量关系？请证明你的结论 ∴.DE∥AB,DE=AB. 思路点拨(1)△ABD是什么特殊的三 【名师点津】 角形？四边形ADCE是什么特殊的四边形？ 证明两条线段相等，除了运用全等三角 (2)四边形ABDE是什么特殊的四边形？ 形、等腰三角形的知识外，还可运用平行四边 (1)证明，AB=AC,AD是BC边上的中 形的对边相等、对角线互相平分、矩形的对角 线，∴.AD⊥BC,BD=CD,∠ADC=90. 线相等来证明. 新知·训练巩固 1.(2021·贵州织金模拟)如图，点O是菱形 3.如图，四边形ABCD的对角线AC,DB相 ABCD对角线的交点，DE∥AC,CE∥BD, 交于点O,现给出如下三个条件：①AB= 连接OE,设AC=12,BD=16,则OE的长 DC:②AC=DB;③∠OBC=∠OCB.请你 为(C. 再增加一个条件：AD=BC(AO=OC 或BO=OD或∠ABC=90°等，答案不唯 一），使得四边形ABCD为矩形.（不添加其 他字母和辅助线，只填一个即可，不必证明) A.8 B.9 C.10 D.12 2.如图，矩形ABCD的对角 D 线AC和BD相交于点O, 4.已知在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,若 过点O的直线分别交AD B 点P在AD边上，连接BP,PC,△BPC是 和BC于点E,F若AB=2,BC=3,则图中 以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为5 阴影部分的面积为3。 或6 15
儿家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 素能·演练提升 1.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,点E,F分 起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 别是边BC,AD上一点.将矩形ABCD沿EF EFGH.若EH=12cm,EF=16cm,则边 折叠，使点C,D分别落在点C,D处.若CE⊥ AD的长是(C). AD,则EF的长为6√2cm 5.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥ OM并交OM于点B,AE=OB,DE⊥ON 并交ON于点E,AD=AO,DC⊥OM并交 B OM于点C. A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.28 cm 2.在矩形ABCD中，AD=3AB,点G,H分别 在AD,BC上，连接BG,DH,且BG∥DH, B C M 当怨-(C时，四边形BHG为菱形 (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若DE=3,OE=9,求AB,AD的长， (1)证明.ABOM,DE⊥ON ∴.∠ABO=∠DEA=90. A青 在Rt△ABO与Rt△DEA中，AO=AD, OB=AE,.Rt△ABO≌Rt△DEA(HL), c D ∴.∠AOB=∠DAE.∴.AD∥BC. 又AB⊥OM,DC⊥OM,.∴.AB∥DC 3.如图，直角三角形ABC中，AC=2,BC=4, .四边形ABCD是平行四边形 P为斜边AB上一动点，PE⊥BC,PF⊥ .∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是 CA,则线段EF长的最小值为(C). 矩形. A.√5 B.2 C4⑤ 0. 3 (2)解由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA, 5 .AB=DE=3,设AD=X,则OA=X, AE=OE-OA=9-x. 在Rt△DEA中，由AEP+DE=AD,得 (9-x)2+32=x,解得X=5. ∴.AD=5.即AB,AD的长分别为3 和5. (第3题图) (第4题图) 16
第一章 特殊平行四边形、 3」 正方形的性质与判定 第1课时」 正方形的性质 基础·自主梳理 1.正方形的定义 等的性质，而菱形和正方形还具有四条边相 有一组邻边相等，并且有一个角是直 等的性质； 角的平行四边形叫做正方形 (2)从角来看，它们都具有对角相等且邻 2.正方形的性质定理 角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个 (1)正方形的四个角都是直角，四条边 角都是直角的性质； 相等 (3)从对角线来看，它们都具有对角线互 (2)正方形的对角线相等且互相垂直 相平分的性质，而矩形与正方形的对角线还 平分· 具有相等的性质，菱形与正方形的对角线还 3.区分平行四边形、矩形、菱形、正方形 具有互相垂直的性质。 的性质 (1)从边来看，它们都具有对边平行且相 核心·重难探究 知识点正方形的性质 △AGH有何特，点？BH,HG与BG有何数量 【例题】如图，在正方形 D 关系？ G ABCD中，点G在对角线 解(1)AG=G2+GP BD上（不与点B,D重合）， D GE⊥DC于点E,GF⊥BC 于点F,连接AG (1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数 量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF 理由如下：连接GC,由正方形的性质知 105°，求线段BG的长 AD=CD,∠ADG=∠CDG: 思路点拨(1)连接GC,△ADG与 在△ADG和△CDG中，，AD=CD, △CDG全等吗？由此可得线段AG与CG具 ∠ADG=∠CDG,GD=GD,∴.△ADG≌ 有什么数量关系？在Rt△GEC中，线段CG, △CDG,.AG=CG. GE,EC有什么数量关系？ 由題意知∠GEC=∠GFC=∠DCB=90, (2)作AH⊥BD于点H,则△ABH与 ∴.四边形GFCE是矩形，∴.GF=EC 17
儿家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC= 【方法归纳】 GE2+EC2,..AG2=GE2+GP2 (2)作AH⊥BD于点 A 1.正方形是轴对称图形，它有4条对称 H,由题意知∠AGB=60°， 轴，它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性 ∠ABG=45, 质，它们的关系如图所示。 ∴.△ABH为等腰直角 平行四边形 三角形，△AGH为含30°角 的直角三角形， 矩形 菱形 形 :AB=1,AHBH号HG= 6 c号 2.正方形常与直角三角形、等腰三角形 61 与全等三角形等知识相联系，综合应用它们 解决问题. 新知·训练巩固 1.正方形、菱形、矩形都具有的性质是(C). 3.如图，在正方形ABCD A.对角线相等 中，E,F分别为AD,CD B.对角线互相垂直 边上的点，BE,AF交于 C.对角线互相平分 点O,且AE=DF.求证： B D.对角线平分一组对角 2.如图，在菱形ABCD △ABE≌△DAF. 中，∠B=60°，AB=4, 证明：四边形ABCD是正方形， 60°yB 则以AC为边长的正 ∴.AB=AD,∠BAE=∠D=90. 方形ACEF的周长 又AE=DF,.·.△ABE≌△DAF」 为(C). A.14 B.15 C.16 D.17 素能·演练提升 1.如图，把正方形纸片ABCD A 2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC 沿对边中点所在的直线对 上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+ 折后展开，折痕为MN,再 MN的最小值为(B). 过点B折叠纸片，使点AD 落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM的长为(B. A.2 B.5 C.√2 D.1 B A.8 B.10 C.217D.82 18