第一章特殊平行四边形、 5.如图，AM∥BN,CM ∠BCO,AO=CO,∠AOD=∠COB, 是BN上一点，BD .△ADO≌△CBO(ASA). 平分∠ABN且过 (2)证明由(1)得△ADO≌△CBO, AC的中点O,交 ∴.AD=CB AM于点D,DE⊥BD,交BN于点E. 又AM∥BN,.∴.四边形ABCD是平行 (1)求证：△ADO≌△CBO: 四边形， (2)求证：四边形ABCD是菱形； 'AM∥BN,∴.∠ADB=∠CBD, (3)若DE=AB=2,求菱形ABCD的面积 .:BD平分∠ABN,..∠ABD=∠CBD (1)证明，点O是AC的中点，∴，AO= ∴.∠ABD=∠ADB,.∴AD=AB, C0, .平行四边形ABCD是菱形. .AM∥BN,.∠DAC=∠ACB. (3)解S发形8cD=2V5. 在△AOD和△COB中，∠DAO= 2矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 基础·自生梳理 1.矩形的定义 解析∠OBA,∠ODC,∠OCD均与 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ∠OAB相等，故选C 2.矩形的性质定理 4.直角三角形的性质定理 (1)矩形的四个角都是直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (2)矩形的对角线相等· 一半 3.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD 5.已知在△ABC中，AB=5cm,BC= 相交于点O,则与∠OAB相等的角有（不包括 12cm,AC=13cm,则AC边上的中线BD的 ∠OAB)(C). cm. A.1个 B.2个 长为号 C.3个 D.4个 核心·重难探究 知识点一矩形的对角线相等 ABCD的面积. 【例1】如图，矩形 思路点拨(1)要证AE=CF,可以证明 ABCD的对角线AC,BD 这两边所在的两个三角形全等，即可证明 相交于点O,点E,F在 △ABE≌△CDF,或者证明△AOE≌△COF; BD上，BE=DF. 也可以连接CE,AF,证明四边形AECF是平 (1)求证：AE=CF; 行四边形. (2)若AB=6,∠COD=60°，求矩形 (2)由条件易知△OCD为等边三角形，故 9
儿家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 ∠ACD=60°，再求AD的长，即可计算矩形 求证：EF⊥BD, ABCD的面积. 思路点拨(1)结合已知条件与结论，EF (1)证明.·四边形ABCD为矩形， 与BD有何关系？ .AB=CD,AB∥CD,.∠ABE=∠CDF (2)Rt△ACD与Rt△ACB有何特征？ 又BE=DF,.△ABE≌△CDF.AE=CF (3)联想线段垂直平分线或等腰三角形 (2)解在短形ABCD中，OC=2AC, 的特征，连接DE,BE,它们相等吗？为什么？ 证明连接DE,BE,图略. OD-BD.AC-BD..OC-OD. .∠ABC=∠ADC=90°，且E是AC的 ∠COD=60,.△COD为等边三角形， 中点， ∴.∠ACD=60,∴.∠CAD=30 .DE=BE.又DF-BF,.EF⊥BD. 在Rt△ACD中，CD=AB=6,.∴AC=12. 【方法归纳】 由勾股定理，得AD=6√5. 1.若两直角三角形的斜边相等，则它们 .矩形ABCD的面积为AB·AD=6x 斜边上的中线也相等.利用等腰三角形“三线 63=36√3. 合一”的性质，是证明两线段垂直的重要方 【方法归纳】 式.注意直角三角形与等腰三角形知识的综 合应用. 在解决矩形的问题时，要充分考虑它的 2.把该性质对应的图形作为一个“基本 性质，应用其性质把矩形问题转化为等腰三 图形”，易于沟通解证思路.其蕴含的主要结 角形或直角三角形的问题来解决. 论如下： 知识点二直角三角形斜边上的中线的 (1)BD=AD=CD;(2)∠1=∠B,∠2= 性质 ∠A;(3)∠ADC=2∠1=2∠B,∠BDC= 【例2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC 2∠2=2∠A. ∠ADC=90°，E,F分别是AC,BD的中点， 新知·训练巩固 1.如图，A,B,C分别表示三个村 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中 庄，AB=1000m,BC=600m, 心的距离相等，则活动中心P的位置应 AC=800m,在新农村建设中， 在(A). 为了丰富群众生活，拟建一个 A.AB的中点处 10
第一章特殊平行四边形、 B.BC的中点处 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 C.AC的中点处 交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点， D.∠C的平分线与AB的交点处 连接EF,若AB=6cm,BC=8cm,则EF 2.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(2,3)， 的长是(D). 则CE的长是(A). 4 A.2.2 cm B.2.3 cm A./13 B.2√2 C.4 D.√10 C.2.4 cm D.2.5 cm 素能·演练提升 1.如图，矩形ABCD中， AD=4,对角线AC与 BD交于点O,OE⊥AC B (1)求证：△ABN≌△MAD: 交BC于点E,CE=3,则矩形ABCD的面 (2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的 积为(B). 面积. A.4√2 B.8√2 (1)证明在矩形ABCD中，∠D=90,DC∥AB C.12 D.32 .∠BAN=∠AMD. .BN⊥AM,.∠BNA=90 2.如图，延长矩形 f∠BAN=∠AMD, ABCD的边BC至 在△ABN和△AD中，∠BNA=∠D=90, 点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB= AB=AM 30°，则∠E的度数是15 ∴.△ABN≌△MAD(AAS). 3.如图，矩形ABCD被两 (2)解△ABN≌△MAD,∴.BN=AD. 条对角线分成四个小 .AD=2,.BN=2, 三角形.如果四个小三 又AN=4,在Rt△ABN中，AB= 角形的周长的和是86cm,对角线长是 √ANP+BNP=4+22=2√5， 13cm,那么矩形的周长是34cm. ∴.S形A8CD=2×2V5=4V5,SAABN= 4.(2021·贵州贵阳中考)如图，在矩形ABCD 中，点M在DC上，AM=AB,且BN⊥ Somo24=4. AM,垂足为N. ∴.Sg边E形CN=SE形AECD-SAAEN-S△MAD= 4√5-8. 11
1家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 5.如图，在矩形ABCD中， D 对角线AC,BD相交于点 BD.AC-BD.AO-BO. O,M是边AB上任意一 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC= 点，ME⊥AC于点E, √/4+3=5. MF⊥BD于点F.AB=4,BC=3,求ME+ SCMSCM=SC=SC MF的大小. 解如图，连接OM,过点B D 脚2OA·ME+2OB·MF=3× 作BN⊥AC于点N. 2AC.BN...ME+MF-BN-ABBC- AC ·四边形ABCD是 矩形， 43号 .∠ABC=90°，AO= 2AC,BO- 第2课时 矩形的判定 基础·自主梳理 1.矩形的判定定理 种是从“四边形”的基础上进行判别的.明 (1)对角线相等的平行四边形是矩形 确了这些细节，便于我们对矩形判定定理 (2)有三个角是直角的四边形是矩形. 的理解、记忆与应用， 温馨提示 2.下面检查一个四边形门框是否为矩形 与菱形类似，矩形的两个判定定理与 的方法中正确的是(D). 它的两个性质定理分别是互逆定理.注意 A.用卷尺测量对角线是否互相平分 这两种判定方法的起点不同，即一种是基 B.用卷尺测量对角线是否相等 于“平行四边形”的起，点而开始判别的，一 C.用曲尺测量对角线是否互相垂直 D.用曲尺测量门框的三个角是否为直角 核心·重难探究 知识点矩形的判定 思路点拨(1)四边形ABEC是什么特 【例题】如图，将 殊的四边形？ □ABCD的边DC延长到 (2)FB=FA吗？为什么？由此可用什 B 点E,使CE=DC,连接 么方法判定四边形ABEC是矩形？ AE,交BC于点F.若 (3)AE=AD吗？为什么？由此可用什 ∠AFC=2∠D,连接AC,BE,求证：四边形 么方法判定四边形ABEC是矩形？ ABEC是矩形. 证明（方法1)在□ABCD中，AB=CD, 12
第一章特殊平行四边形、 AB∥CD.,∵CE=DC,∴.AB=CE,AB∥CE ∴.∠AFC=2∠BCE=∠BCE+∠AED, ∴.四边形ABEC是平行四边形 .∴.∠BCE=∠AED,∴.∠D=∠AED, ∴.AF=EF,BF=CF ∴.AE=AD 在□ABCD中，∠D=∠ABC.又∠AFC= .CE=DC,∴.AC⊥DE,∠ACE=90, 2∠D, .□ABEC是矩形： ∴.∠AFC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE, 【方法归纳】 ∴.∠ABC=∠BAE,∴.AF=BF,∴.AE= BC. 1.判定一个四边形是矩形，可先判定它 故☐ABEC是矩形 是平行四边形，再证明有一个角是直角或对 (方法2)同方法1，可证四边形ABEC是 角线相等，也可直接证明有三个角是直角. 平行四边形 2.从四边形到平行四边形需添加两个独立 在□ABCD中，AD∥BC,.∴∠D=∠BCE 条件，从平行四边形到矩形需添加一个条件. .∠AFC=2∠D, ☑新知·饥练巩固 1.已知平行四边形ABCD中，下列条件： 4.如图，已知BA=AE=DC, ①AB=BC;②AC=BD:③AC⊥BD: AD=EC,CEL AE,垂足 ④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边 为E 形ABCD是矩形的是(B). (1)求证：△DCA≌△EAC; A.① B.② C.③ D.④ (2)只需添加一个条件，即 2.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 ,可使四边形ABCD为矩 于点O,再添加下列条件中的(A),仍不 形.请加以证明， 能判定四边形ABCD是矩形. (1)证明在△DCA和△EAC中，·DC= A.AB=AD B.OA=OB EA,AD=CE,AC=CA,∴.△DCA≌△EAC. C.AC=BD D.DC⊥BC (2)解诱加AD=BC,可使四边形ABCD为 3.已知1∥l2,l与11，l2分 矩形证明如下： 别交于A,B两点，过A, AB=DC,AD=BC,.四边形ABCD B分别作两组内错角的平 是平行四边形.CE⊥AE,∴.∠E=90 分线交于C,D,如图所 由(1)得，△DCA≌△EAC, 示，则四边形ACBD的形 ∴.∠D=∠E=90°，∴.四边形ABCD 状是矩形 为矩形： 素能·演练提升 1.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两 A.∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DAC 条对角线，则下列条件中，能使这个平行四 C.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB 边形为矩形的是(C). 13