1家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 互相垂直的平行四边形是菱形)两方面进 这个条件是(D) 行.又因为菱形的边的特殊性，所以在四 边形的基础上添加“四条边都相等”这一 条件，也可以得到菱形 2.如图，AC是平行四边形ABCD的对 A.①或② B.②或③ 角线，当平行四边形ABCD满足：①∠1= C.③或④ D.①或④ ∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3 中的某一条件时，平行四边形ABCD是菱形， 核心·重难探究 知识点一 对角线互相垂直的平行四边 【方法归纳】 形是菱形 在进行菱形的判定与识别时，要注意它 【例1】如图，在Rt△ABC 是四边形还是平行四边形，并根据条件选择 中，∠B=90°，点E是AC的中 合适的判定方法.若是平行四边形，则再需要 点，AC=2AB,∠BAC的平分线 下面任一条件，即可判定该平行四边形为菱 AD交BC于点D,作AF∥BC, 形：(1)邻边相等；(2)对角线互相垂直；(3)每 连接DE并延长交AF于点F, 条对角线平分一组对角. 连接FC 求证：四边形ADCF是菱形 知识点二四条边相等的四边形是菱形 思路点拨(1)△AEF与△CED全等 【例2】在△ABC中， 吗？线段AF与CD是否相等？ M是AC边上的一点，连 (2)四边形ADCF是平行四边形吗？为 接BM.将△ABC沿AC 什么？ 翻折，使点B落在点D (3)△AED与△ABD全等吗？∠AED 处，当DM∥AB时，求 等于多少度？ 证：四边形ABMD是 证明.AF∥CD, 菱形. ∴.∠EAF=∠ECD,∠EFA=∠EDC 思路点拨(1)由翻折可得四边形ABMD 又点E是AC的中点，∴.AE=CE 的哪些边相等？ ∴.△AEF≌△CED,∴.AF=CD. (2)∠BAM,∠DAM与∠AMD有何数 又AF∥CD,∴.四边形ADCF是平行四 量关系？AD与DM相等吗？ 边形 证明.AB∥DM,.∠BAM=∠AMD 在△AED和△ABD中，由题意，知AE= .△ADC是由△ABC翻折得到的， AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,.△AED≌ ∴.∠CAB=∠CAD,AB=AD,BM=DM, △ABD ∴.∠DAM=∠AMD,.∴.AD=DM, .∠AED=∠B=90,即DF⊥AC ∴.DA=DM=AB=BM,.四边t形ABMD .四边形ADCF是菱形. 是菱形
第一章特殊平行四边形\ 【方法归纳】 则需四条边相等，或对角线互相垂直平分，或 对角线互相平分且每条对角线平分一组对角. 在进行菱形的判定时，若是一般四边形， 新知·训练巩固 1.如图，下列四个条件中，能判定平行四边形 3.如图，在四边形ABCD中， ABCD为菱形的是(D). AB∥CD,点E,F在对角 线AC上，且∠ABF= ∠CDE,AE=CF (1)求证：△ABF≌△CDE: A.∠ADB=90 B.OA=OB (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边 C.OA=OC D.AB=BC 形BFDE是菱形？为什么？ 2.如图，在△ABC中， (1)证明AB∥CD,∠BAC=∠DCA. D是BC的中点，点 .AE=CF,..AE+EF=CF+EF,p E,F分别在线段 AF=CE. AD及其延长线上， 在△ABF和△CDE中，.∠BAC= 且DE=DF,给出下列条件：①BE⊥EC; ∠DCA,∠ABF=∠CDE,AF=CE, ②BF∥EC;③AB=AC.从中选择一个条 .△ABF≌△CDE. 件使四边形BECF是菱形，你认为这个条 (2)解当四边形ABCD满足AB=AD时， 件是③.（只填写序号） 四边形BEDF是羞形.理由略. 素能·演练提升 1.（2021·贵州汇川模 2.如图，将等边三角形 拟)如图，在□ABCD ABC绕点C顺时针旋 中，对角线AC与BD B4 转120°得到△EDC, B 交于点O,若增加一个条件，使口ABCD 连接AD,BD.则下列结论：①AC=AD: 成为菱形，下列给出的条件不正确的 ②BD⊥AC:③四边形ACED是菱形，其中 是(C). 正确的个数是(D). A.AB=AD B.AC⊥BD A.0 B.1 C.AC=BD C.2 D.3 D.∠BAC=∠DAC 5
1家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 3.如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点 4.如图，在△ABC中， E作两条互相垂直的直线，分别交边AB, ∠ACB=90°，点D,E BC,CD,DA于点P,M,Q,N. 分别是边BC,AB的 中点，连接DE并延长 至点F,使EF=2DE, 连接CE,AF. (1)求证：AF=CE; (1)求证：△PBE2△QDE; (2)当∠B=30°时，试判断四边形ACEF (2)顺次连接点P,M,Q,N,求证：四边形 的形状，并说明理由. PMQN是菱形. (1)证明点D,E分别是边BC,AB的中点， (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.EB=ED,AB∥CD,.∠EBP= DE∥AC,DE=2AC,EF∥AC ∠EDQ .EF=2DE,.∴.EF=AC, I∠EBP=∠EDQ, ∴.四边形ACEF是平行四边形， 在△PBE和△QDE中，EB=ED, ..AF=CE. ∠BEP=∠DEQ (2)解四边形ACEF是菱形.理由如下： .△PBE≌△QDE(ASA). ∠B=30,∠ACB=90, (2)证明顺次连接P,M,Q,N(图略). ∴.∠BAC=60 .·△PBE≌△QDE,.∴EP=EQ. 又E是AB的中点， 同理：△BME≌△DNE(ASA), .AC-AE-2AB, .EM=EN,.四边形PMQN是平行 ∴.△ACE是正三角形，.AC=CE 四边形. 又四边形ACEF是平行四边形， PQ⊥MN,∴.四边形PMQN是菱形. .四边形ACEF是菱形. 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 基础·自主梳理 1.菱形的面积=底×高=对角线乘积的 AC=24cm,则四边形ABCD的周长为 半.进而可以推广得到如下结论：对角线互 (A). 相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 A.52 cm B.40 cm 一半. C.39 cm D.26 cm 2.如图，四边形ABCD的四条 3.已知一个菱形的边长为2，较长的对角 边相等，且面积为120cm,对角线 线长为2√3，则这个菱形的面积是23. 6
第一章 特殊平行四边形 核心·重难探究 知识点菱形的判定与性质的综合应用 在△AOD和△COB中，.：∠AOD= 【例题】如图，在四边形ABCD中，AB ∠COB,OB=OD,∠ADB=∠CBD: AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为O. ∴.△AOD≌△COB ∴.AO=C0,.∴四边形ABCD是平行四边形， 又AC⊥BD,.□ABCD是菱形. (2)解四边形ABCD是菱形，∴.OD= 230=5. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若CD=3,BD=2√5，求四边形ABCD 在Rt△CDO中，OC=√CD-OD= 的面积 √3-(5)2=2 思路点拨(1)∠ABD,∠CBD及∠ADB ∴.AC=4. 相等吗？△AOD与△COB是否全等？BC与 Sm=24C-B0-x42545 AD有何关系？四边形ABCD是平行四边形 吗？其四条边是否相等？你有哪些方法证明 【方法归纳】 四边形ABCD是菱形？ 1.菱形的判定与性质是解与角、线段相 由已知条件易证△AOD≌△COB,进而 关问题的重要依据与途径. 可通过对角线互相平分且垂直证得结论； 2.由于菱形的四条边相等，两条对角线 (2)如何求AC的长？菱形的面积与其对 互相垂直平分，故菱形的问题常与直角三角 角线乘积的一半有何数量关系？ 形或等腰三角形联系在一起，这样有关菱形 (1)证明，AB=AD,.∠ADB=∠ABD. 的证明与计算常转化到等腰三角形或直角三 .BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD, 角形中去解决.注意体会证明过程中所运用 ∴.∠ADB=∠CBD. 的数学思想方法。 AC⊥BD,AB=AD,∴.BO=DO. 新知·训练巩固 1.如图，在平面直角坐标系中， ①AC⊥BD:②AD∥BC;③四边形ABCD 四边形OABC是菱形，点C 是菱形；④△ABD≌△CDB,其中正确的是 的坐标为(1,2)，则菱形o ①②③④.（只填序号） OABC的面积是(B). A.√5 B.2√5 C.23 D.25-1 2.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线 AC是对称轴，AB∥CD,则下列结论： 7
儿家庭作业·数学·九年级·上册·配北师大版 3.如图，CD与BE互相垂直且平分，AD⊥DB, 平分线，∴.∠BAD=∠DAC ∠BDE=70°，则∠CAD=70 又AC∥DE,.∠ADE=∠DAC. ∴.∠ADE=∠BAD,.EA=ED. .四边形AEDF是菱形. (2)解连接EF交AD 于点O. 四边形AEDF是 菱形，.EF2FO. 4.如图，AD是△ABC的 角平分线，过点D分别 A0-3AD-12 作AC,AB的平行线， :AD⊥EF,在Rt△AOF中，由勾股定 交AB于点E,交AC于 点F 理得OF√JAP-AO=√132-122=5， (1)求证：四边形AEDF ∴.OE=OF5. 是菱形； 四边形AEDF的面积=2ADX (2)若AF=13,AD=24,求四边形AEDF 的面积. 0F+2ADx0E=2×24x5+2×24× (1)证明.AB∥DF,AC∥DE,∴.四边形 5=120. AEDF是平行四边形..：AD是△ABC的角 素能·演练提升 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC,BD相 交于点O,∠DAC= 30°，BD=8,则下列结 B 论：①∠DAB=60°： (1)求证：四边形AFCE是菱形； ②OD=4:③AD=8:④OC=4V3;⑤S形Awn= (2)若∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2,求 32√5.其中正确的有(D). DE的长 A.2个B.3个C.4个 D.5个 (1)证明四边形ABCD为平行四边形， 2.如图，在Rt△ABC ∴.AD∥BC,.∴.∠EAO=∠FCO.·EF垂直 中，∠C=90°，AC= 平分AC,∴.OA=OC. BC=6cm,点P从 I∠EAO-∠FCO, 点A出发，沿AB方 在△AOE和△COF中，OA作OC, I∠AOE∠COF 向以每秒√2cm的 .△AOE≌△COF(ASA), 速度向终点B运 .∴.OE=OF,.四边形AFCE为平行四 动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以 边形. 每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC 又EF垂直平分AC,.平行四边形AFCE 沿BC翻折，点P的对应点为P'.设点Q 是菱形 运动的时间为t秒.若四边形QPCP'为菱 (2)解∠BAC=90,∠B=60,AB=2, 形，则t的值为(B ∴.∠ACB=90°-∠B=30°，.BC= A.√2B.2 C.2√2 D.4 2AB=4.边形ABCD是平行四边形， 3.如图，将两条宽度均为 ∴.AD=BC=4. 2的纸条相交成30°角 D 由(1）可知，四边形AFCE是菱形， 叠放，则重合部分构成 309 ∴.AE=AF=CF,.∠FAC=∠ACB=30°， 的四边形ABCD的面 ∴.∠BAF∠BAC-∠FAC=90°-30°= 积为8. 60,∴.∠B=∠BAF=60,∴.△ABF是等边 4.(2021·贵州六盘水模拟)如图，在□ABCD 三角形，.AF=AB=2,∴.AE=AF=2, 中，对角线AC的垂直平分线分别与AD, ∴.DE=AD-AE=4-2=2. AC,BC相交于点E,O,F. 8