mgh-pumghctge= mu/(2) U+u (2)-(1)得:h =12.76 通过以上讨论应该注意两点 (1)功和能的概念不能混淆动能是物体运动状态的单值函数是反映质点运动状态 的物理量即是一个状态量而功是与质点受力并经历位移这个过程相联系的"过程"意 味着"状态的变化",所以功不是描述状态的物理量,而是过程的函数即为过程量我们可 以说处于一定运动状态的质点有多少动能,但说质点有多少功就毫无意义,这是功和能 的根本区别动能定理建立了功这个过程量与动能这个状态量之间的关系,说明了做功 是动能发生变化的手段而动能的改变又是对功的度量 (2)质点的动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的所以也只能适用于惯性系中 2.质点组的动能定理 下面我们把由若干质点组成的质点组作为研究对象讨论内、外力对质点组作功与 质点组动能变化之间的关系 设质点组由n个质量分别为m,m2,…,mn,的质点组成其中每个质点在内、外力 作用的过程中都满足动能定理对第i个质点应用动能定理有 mU)-m110=A=A内+A外 对质点组中的所有质点都写出类似的表达式求和得 ∑m A 2 Ek-Ek0=A内+A外 (2.10)式表明:质点组的动能的增量等于所有内力作功和所有外力作功的代数和这称 做质点组动能定理 值得注意的是,由于作用力和反作用力总是大小相 F2 等、方向相反故质点组内力的矢量和为零,但作用力 的功与反作用力的功却不一定等值反号所以对质点 组来说内力作功的代数和不一定为零如对两个质点 (如图2.6)而言内力的总元功为 图26两球内力 d42=12+f12C2=12(2-)=f2C21 其中f12是质点1对质点2的作用力,2是质点2对质点1的相对位移上式表明,对
6 (2) 2 1 2 mgh − mghctg = mf 12 76m 4 2 1 2 2 0 ( ) ( ) = . + − = g h 得： f 通过以上讨论,应该注意两点: (1)功和能的概念不能混淆,动能是物体运动状态的单值函数,是反映质点运动状态 的物理量,即是一个状态量.而功是与质点受力并经历位移这个过程相联系的."过程"意 味着"状态的变化",所以功不是描述状态的物理量,而是过程的函数,即为过程量.我们可 以说处于一定运动状态的质点有多少动能,但说质点有多少功就毫无意义,这是功和能 的根本区别.动能定理建立了功这个过程量与动能这个状态量之间的关系,说明了做功 是动能发生变化的手段,而动能的改变又是对功的度量. (2)质点的动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的,所以也只能适用于惯性系中. 2. 质点组的动能定理 下面我们把由若干质点组成的质点组作为研究对象,讨论内、外力对质点组作功与 质点组动能变化之间的关系. 设质点组由 n 个质量分别为 m m mn , , , 1 2 , 的质点组成.其中每个质点在内、外力 作用的过程中都满足动能定理.对第 i 个质点应用动能定理有 mii − mii = Ai = Ai内 + Ai外 2 0 2 2 1 2 1 对质点组中的所有质点都写出类似的表达式,求和得 = = = = − = + n i i n i i n i i i n i mi i m A A 1 1 1 2 0 1 2 2 1 2 1 内 外 即 Ek − Ek 0 = A内 + A外 (2.10) (2.10)式表明:质点组的动能的增量,等于所有内力作功和所有外力作功的代数和,这称 做质点组动能定理. 值得注意的是,由于作用力和反作用力总是大小相 等、方向相反,故质点组内力的矢量和为零,但作用力 的功与反作用力的功却不一定等值反号,所以对质点 组来说,内力作功的代数和不一定为零.如对两个质点 (如图 2.6)而言,内力的总元功为 21 1 12 2 dA f dr f dr 内 = + 12 2 1 12 21 f dr dr f dr = ( − ) = 其中 12 f 是质点 1 对质点 2 的作用力, 12 dr 是质点 2 对质点 1 的相对位移.上式表明,一对
内力的元功和等于一质点对另一质点作用力与另一质点对施力质点相对位移的点积 因此只要二质点相对位移不等于零,也不与相互作用力垂直内力功就不等于零;一对 内力的功与参考系的选取无关一质点组所有内力的总功也与参考系的选取无关,只取 决于内力和相对位移 三、保守力势能 保守力 重力的功质量为m的某质点在重力 作用下沿任意一条曲线自A点移动至B点 如图27所示为计算重力mg对质点所作的 功,建立平面直角坐标系,则AB两点的坐标 y+中 分别为y小y2,重力的表达式为 y B mg= 图27重力作功 而位移元的表达式为d=dxi+d+dk 根据功的定义式从A点到B点的过程中重力所的功为 A=「Fd=「-mgh=mg(y4-y2) (2.1) 如果质点不是沿ACB路径从A点到B点而是沿其它任意路径由A点到达B点,则可 以证明重力作功仍为(2.11)式由此可见,重力作功具有一个重要特点重力对质点所作 的功由质点相对于地面的始末位置决定,而与所通过的具体的路径无关 弹性力的功放在光滑水平面上的 弹簧一端固定另一端系一质量为m的 质点将弹簧拉长后释放使质点在弹性力 的作用下在平衡位置附近振动如图28 a 所示设弹簧的倔强系数为k取平衡位置 为坐标原点建立ox坐标系,当物体处于 位置D时即弹簧伸长(或压缩)了一断距 离x根据胡克定律可得弹性力为 图28弹性力作功 F=-kxi 物体在D点附近移动无限小位移dxi时,弹性力所作的元功d4=-kxdx,于是物体由A 点移动到B点的过程中弹性力所作的总功为
7 内力的元功和等于一质点对另一质点作用力与另一质点对施力质点相对位移的点积. 因此,只要二质点相对位移不等于零,也不与相互作用力垂直,内力功就不等于零;一对 内力的功与参考系的选取无关.一质点组所有内力的总功也与参考系的选取无关,只取 决于内力和相对位移. 三、保守力 势能 1. 保守力 重力的功 质量为 m 的某质点在重力 作用下沿任意一条曲线自 A 点移动至 B 点, 如图 2.7 所示.为计算重力 mg 对质点所作的 功,建立平面直角坐标系,则 AB 两点的坐标 分别为 A B y 、y ,重力的表达式为 mg mgj = − 而位移元的表达式为 dr dxi dyj dzk = + + 根据功的定义式,从 A 点到 B 点的过程中重力所的功为 ( ) A B y y A F dr mgdy mg y y B A = = − = − B A (2.11) 如果质点不是沿 ACB 路径从 A 点到 B 点,而是沿其它任意路径由 A 点到达 B 点,则可 以证明重力作功仍为(2.11)式.由此可见,重力作功具有一个重要特点:重力对质点所作 的功由质点相对于地面的始末位置决定,而与所通过的具体的路径无关. 弹性力的功 放在光滑水平面上的 弹簧一端固定,另一端系一质量为 m 的 质点,将弹簧拉长后释放使质点在弹性力 的作用下在平衡位置附近振动,如图 2.8 所示.设弹簧的倔强系数为 k,取平衡位置 为坐标原点,建立 ox 坐标系,当物体处于 位置 D 时,即弹簧伸长(或压缩)了一断距 离 x,根据胡克定律可得弹性力为 F kxi = − 物体在Ｄ点附近移动无限小位移 dxi 时,弹性力所作的元功 dA = −kxdx,于是物体由Ａ 点移动到Ｂ点的过程中,弹性力所作的总功为
A=|F·dF kxdr=-kx4--kxB (2.12) 如果质点先由A点到B点再由B点到C点最后由C点再返回到B点在整个过程 中弹性力的功由三部分组成即 A=A+42+4=(32)+(kx2-k)+Gkx2-kx)=kx2-kx 由以上计算可知质点经A、B、C点再回到B点后弹性力所作的功与质点直接由 A点到B点过程弹性力作的功完全相同由此可见弹性力做功也具有同样的特点只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关 万有引力的功设质量为m的质点处于质量为M的静止质点的引力场中,并从a 点沿任一曲线路径移至b点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关 上述结果可归纳如下: 重力的功:A=mg(y4-yB) 弹簧的弹性力是功:A=kx2-kx2 万有引力的功:A=-GMm(、1 保守力与非保守力综合以上几种力的作功都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关把具有这种性质的力称 为保守力 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动,所做的总功显然为 ∮Fd=0 上式即为保守力的判别条件与此相对应把作功不仅与始末位置有关而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力如摩擦力等 2.势能 势能由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数把这个函数定义为势能而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定势能的增量等于保守力作功的负值,用E和 Ep分别表示质点在始、末位置的势能,用A表示保守力由初始位置到末位置作的功 则有
8 2 2 B A 2 1 2 1 A B x x A F dr kxdx k x k x B A = = − = − (2.12) 如果质点先由Ａ点到Ｂ点,再由Ｂ点到Ｃ点,最后由Ｃ点再返回到Ｂ点,在整个过程 中弹性力的功由三部分组成,即 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B B C C B A B A = A + A + A = ( k x − k x ) + ( k x − k x ) + ( k x − k x ) = k x − k x 由以上计算可知,质点经Ａ、Ｂ、Ｃ点再回到Ｂ点后弹性力所作的功与质点直接由 Ａ点到Ｂ点过程弹性力作的功完全相同.由此可见,弹性力做功也具有同样的特点:只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关. 万有引力的功 设质量为 m 的质点处于质量为 M 的静止质点的引力场中,并从 a 点沿任一曲线路径移至 b 点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点 m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关. 上述结果可归纳如下： = − − = − = − ( ) ( ) a b A B A B r r A GMm A k x k x A mg y y 1 1 2 1 2 1 2 2 万有引力的功： 弹簧的弹性力是功： 重力的功： (2.13) 保守力与非保守力 综合以上几种力的作功,都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关.把具有这种性质的力称 为保守力. 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动, 所做的总功显然为 = 0 F dl 上式即为保守力的判别条件.与此相对应,把作功不仅与始末位置有关,而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力.如摩擦力等. 2. 势能 势能 由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数,把这个函数定义为势能,而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定:势能的增量等于保守力作功的负值,用 EP0 和 EP 分别表示质点在始、末位置的势能,用 A保 表示保守力由初始位置到末位置作的功, 则有
E-E (2.14) 0保守力做正功,势能减少 由上式可见410保守力做负功,势能增加 将(2.13)代入(2.14)式得重力势能弹性势能,万有引力势能改变量的一般式分别为: Ep(A)-EP(B)=mgyA-mgvB Ep(x)-Ep(xB)=kx4--kxB (216) Mn Ep(x)-Ep(x6)=(-G—)-( 说明:由上述可知势能是与质点间相互作用的保守力相联系的,因此势能属于以 保守力相互作用的质点组成的质点系统(对于单个质点来说可以具有动能却不能具有 势能)例如重力势能属于以重力相互作用的地球以及质点m所组成的系统共有弹性 势能属于以弹性力相互作用的弹簧以及所连质点组成的系统共有;引力势能属于以万 有引力相互作用的质点系统共有也就是说用来决定势能大小的质点位置(xy,z),实际 上应是质点系统内质点间的相对位置即质点系的势能是质点相对位置的函数 四、功能原理机械能守恒定律 前面分别讨论了有关动能和势能的概念及其变化规律质点系的动能和势能之和 称为质点系的机械能显然机械能的变化规律应与外力和内力的功有关而体现这一规 律的是功能原理和机械能守恒定律 1系统的功能原理 设一质点系统其状态由组成它的各质点的速度和质点间的相对位置确定当系统 由一个状态过渡到另一状态时,作用于系统的力将要作功质点系动能定理可表示为 Ek-Ek0=A=A+A外=A外+A保内+A非保内 保守力的功等于势能增量的负值即 A保k=-(Ep-Ep0) 将此式代入前式移项后变为 A外+A非保内=E-E60+(EP-EP0) (Ek+ Ep)-(Eko+EPo)=E-Eo (2.18) 式中E、E0分别表示质点系在始、末位置的机械能 (218)式表明:外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量.这一结论称为 系统的功能原理它反映了力学系统在机械运动中的功能关系
9 EP − EP0 = −A保 (2.14) 由上式可见, 保守力做负功，势能增加 保守力做正功，势能减少 保 0 0 A 将 (2.13)代入(2.14)式得重力势能,弹性势能,万有引力势能改变量的一般式分别为: P A P B mgyA mgyB E (y ) − E (y ) = − (2.15) 2 2 2 1 2 1 P A P B A B E (x ) − E (x ) = k x − k x (2.16) ( ) ( ) ( ) ( ) a b P a P b r Mm G r Mm E x − E x = −G − − (2.17) 说明：由上述可知,势能是与质点间相互作用的保守力相联系的,因此势能属于以 保守力相互作用的质点组成的质点系统.(对于单个质点来说,可以具有动能却不能具有 势能).例如:重力势能属于以重力相互作用的地球以及质点 m 所组成的系统共有;弹性 势能属于以弹性力相互作用的弹簧以及所连质点组成的系统共有;引力势能属于以万 有引力相互作用的质点系统共有.也就是说,用来决定势能大小的质点位置(x,y,z),实际 上应是质点系统内质点间的相对位置,即质点系的势能是质点相对位置的函数. 四、功能原理 机械能守恒定律 前面分别讨论了有关动能和势能的概念及其变化规律.质点系的动能和势能之和 称为质点系的机械能.显然,机械能的变化规律应与外力和内力的功有关,而体现这一规 律的是功能原理和机械能守恒定律. 1 系统的功能原理 设一质点系统,其状态由组成它的各质点的速度和质点间的相对位置确定.当系统 由一个状态过渡到另一状态时,作用于系统的力将要作功.质点系动能定理可表示为: Ek − Ek 0 = A = A内 + A外 = A外 + A保内 + A非保内 保守力的功等于势能增量的负值,即 ( ) A保 = − EP − EP0 将此式代入前式移项后变为 ( ) A外 + A非保内 = Ek − Ek 0 + EP − EP0 = Ek + EP − Ek0 + EP0 = E − E0 ( ) ( ) (2.18) 式中 E、E0 分别表示质点系在始、末位置的机械能. (2.18)式表明:外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量.这一结论称为 系统的功能原理它反映了力学系统在机械运动中的功能关系