特殊类型的一阶方程的求解 阶方程的一般形式为F(x,y,y)=0 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程 中y f(x,y) 的解法 这个方程虽然简单,也常常很难求 出解的有限表达式所以本节只讨论 几种特殊类型的一阶微分方程的解法
一阶方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程 f (x, y) dx dy = 的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求 出解的有限表达式 几种特殊类型的一阶微分方程的解法。 所以本节只讨论 特殊类型的一阶方程的求解
阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P(x,y)dx+e(x, y)=0 它既可视为以x为自变量以y为未知函数的方程 中yP(x,y) dx e (x, y) 也可以视为以y为自变量以x为未知函数的方程 。Q(x,y) P(x,y 很重要的观点 dy 考虑方程 2x或写成=2x 两边积分得y=x+C
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy = − 也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) P x y Q x y dx dy = − 很重要的观点 考虑方程 x dx dy = 2 或写成 dy = 2xdx 两边积分得 y = x + c 2
但并不是所有的一阶方程都能象上面 那样采取两边积分的方法来求它的通解 如 ar2困难就在于方程的右端含有未知函数 积分∫2xy2d求不出来 为了解决这个问题方程的两边同乘以2x 使方程变为2d=2x 这样变量x,y已经分离在等式的两端 两边积分得1_2+c或y=-1
但并不是所有的一阶方程都能象上面 那样采取两边积分的方法来求它的通解 如 2 2xy dx dy = 困难就在于方程的右端含有未知函数 积分 xy dx 2 2 求不出来 为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dx y 2 1 使方程变为 dy xdx y 2 1 2 = 这样变量 x , y 已经分离在等式的两端 两边积分得 x c y − = + 1 2 或 x c y + = − 2 1
可以验证y= 是方程的通解 x +c 注y=0也是方程的解,但不包含在通解中 称为奇解 、可分离变量的微分方程 g(y)h=∫(x)t可分离变量的微分方程 例如=2x2y5→y5=2xh 这类方程的特点是 经过适当整理,可使方程的只含有一个变量和 其微分
可以验证 x c y + = − 2 1 是方程的通解 注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解 一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 这类方程的特点是 经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和 其微分
解法设函数g(y)和f(x)是连续的, g(y)dy=lf(x)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 求解步骤 分离变量两边积分 得到隐式通解或通积分
解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和 f (x)的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 求解步骤 分离变量 两边积分 得到隐式通解或通积分