齐次型方程 、齐次型方程 1定义形如中=(y)的微分方程称为齐次方程 dx 2解法作变量代换、y即y=x, =u+x 代入原式 u+x s(m),即df(u)-u d 可分离变量的方程
1.定义 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 , x y u = 即 y = xu, , dx du u x dx dy = + 代入原式 f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 齐次型方程 一、齐次型方程
当f(a)-≠0时,得∫=lnCx x=C),(p(u)= f(u-u 将u=y代入,得通解x=ce, 若彐a,使∫(u)-l=0,则u=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=u0x
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 若 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例1求解微分方程 (x-ycos dx+xcos dy=0. 解令n=少,则d=x+ude, (x-ux cos u)dx+ xcosu(udx+ xdu)=0, cos udu =-, sinu=-Inx+C, 微分方程的解为siny=-Imx+C
例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 解 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, 微分方程的解为 sin ln x C. x y = − +
例2求解微分方程,2 2 r -ry t y 解 dy 2y 29 dx x-xy+ y y,( 令n=y,则d=xdhn+utr, 2u2-u u+ru= u+u
例 2 求解微分方程 . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 解 2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + =
2 d x u-2 u u-2 u In(u-1)-In(u-2)Inu=Inx+In C, 2 U-1 L(L一 微分方程的解为(y-x)2=Oy(y-2x)
] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − − ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x