一阶微分方程习题课
一阶微分方程 习题课
、主要内容 一阶方程 基本 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2.可分高变量 3.齐次方程 特征方程法 线性方程 4.可化为齐次 解的结构 待特征方程的根 方程 定及其对应项 5.全微分方程系 定理1;定理2 6.线性方程 数 定理3;定理4 法f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程 欧批方程
一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容
主要内容 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法 1)可分离变量的微分方程 形如g(y)=f(x)(分离变量法 解法∫8(y)d=∫/fx)k (2)齐次型方程形如 f∫( 解法作变量代换L
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的微分方程 形如 g( y)dy = f (x)dx 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 (2) 齐次型方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 解法 作变量代换 x y u = 一、主要内容
可化为齐次的方程 形如中 a+ by d°a1x+b1y+c1 解法令x=X+h 化为齐次方程 y=r+k, (其中h和k是待定的常数) (3)一阶线性微分方程 形如小 + p(x)y=e(x) 当Q(x)≡0,齐次 当Q(x)年0,非齐次
可化为齐次的方程 ( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 解法 ， 令 y Y k x X h = + = + , 化为齐次方程． （其中h和k是待定的常数） (3) 一阶线性微分方程 P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = 当Q(x) 0, 齐次． 当Q(x) 0, 非齐次
解法齐次方程的通解为 y=Cep(lde (使用分离变量法) 非齐次微分方程的通解为 P(x)dx P(x)dx y=2(x)e dx+cle (4)伯努利( Bernoulli)方程 (常数变易法) 形如如+P(x)y=g(x)y(m≠0,1 dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程
解法 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为 + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (4) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程