全微分方程 全微分方程及其解法 1.定义:若有全微分形式 dn(x,y)=P(x,y)tc+(x,y)y全微分方程 则P(x,y)x+Q(x,y)小y=0 或恰当方程 例如x+yy=0,∵以(x,y)=(x2+y2) ∴d(x,y)=xt+ydy,所以是全微分方程 全微分方程冷 OP 00
1.定义: 若有全微分形式 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 或恰当方程 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程 全微分方程 一、全微分方程及其解法
2.解法: P(x,y)dkx+g(x,y)hy=0全微分方程 oP 00 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为(x,y)=P(x,y)dx+JQ(x1,y) re(, ydy+P(x, yodx,u(x,y)=c 其中x,y是在G中适当选定的点M(x0,y) 的坐标,起点坐标选择的不同,至多使u(x,y) 相差一个常数 用直接凑全微分的方法
2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 通解为 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 其中 x0 , y0 是在G中适当选定的点 M0 (x0 , y0 ) 的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常数
例1求方程(x3-3xy2)x+(y32-3x2y)y=0 的通解 解 aP Q a ,是全微分方程, u(x, D)=(x'-3xy2)dx+ydy x 3 2 r y t x43 原方程的通解为 22 X v+ y=C
例1 . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 原方程的通解为 . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x − + =
例2求方程dx+ 3x =0的通解 aP 6x a0 解 ,是全微分方程, ax 将左端重新组合2d+(-3x-4d) =d(--)+d(3)=d(-+…3) 原方程的通解为-+ =C 3
例2 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 原方程的通解为 . 1 3 2 C y x y − + =
二、积分因子法 定义:(x,y)≠0连续可微函数,使方程 μ(x,y)P(x,y)dx+μu(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子?
二、积分因子法 ( x, y) 0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子? 定义: