*14· .第一章矩阵的相似变换 Dg(A)=d1()d2(A)…d()(k=1,2,…,r) 其中d4(入)(R=1,2,…,r)是A()的不变因子.于是 d()-D().d()d.()(3) D,(A) 用行列式因子法求A∈Cmx"的Jordan标准形的过程为：先求出A-A 的n个行列式因子D4(入)(k=1,2,,n).再利用式(1.3)求出A的不变因 子d(入)(k=l,2,…,n),继而求出A的初等因子和Jordan标准形 例l.8求下列矩阵的Jordan标准形： 1234 2-11-1 00122)A=22-1-1 1)4=0123 12-12 (0001月 000 3 λ-1-2 -3 -4 0A-1-2-3 解(1) AI-A= 00入-1 2 (0 0 0A-1 显然有D,(A)=det(I-A)=(A-1)4,又AI-A中有3阶子式 -2-3-4 λ-1-2-3=-4入（λ+1） 0A-1-2 因为D3(入)整除每个3阶子式，且有D3(A)川D4(入)，所以D3(入)=1，从而 D2(A)=D1(A)=1.于是得A的不变因子为 d1(a)=d2(a)=d3(a)=1,d4(a)=(a-1)4 即A只有一个初等因子(A-1)A,故A的Jordan标准形为 11 11 11 1 A-21-11) (2)AI-A= -2A-21 1 -1-2+1-2 000-3 可求得λ-A中的2个3阶子式
$1.3 Jordan标准形介绍 ·15· -21 -1 -2λ-2 1 =(-1)3 -1 -2A+1 -211 -2入-21=-（入-3）(2λ-5) -1 -2-2 因为D3(A)整除每个3阶子式，所以D3(入)=1，从而D2(A)=D(入)=1.又 D4(A)=det(I-A)=(入-1)3(A-3),所以A的不变因子为 d1(a)=d2()=d3(a)=1,d4(a)=(A-1)3(a-3) 于是A的初等因子为（入-1）3，A-3,故A的Jordan标准形为 11 J= 11 1 3 上面介绍了求Jordan标准形的三种方法.在求出Jordan标准形后，相应 的相似变换矩阵就易于求得了，举例说明如下， 例1.9求下列矩阵的Jordan标准形和所用的相似变换矩阵： -101 31-1 (1)A=120:(2)A=-202 -403 (-1-13 解(1)由例1.5知A的Jordan标准形为 11 J=1 2/ 设相似变换矩阵P=(p1,p2,p3),由P-1AP=J,即AP=PJ得 Ap=P (I-A)P1=0 Ap2=p1+p2,即了(I-A)P2=-P1 (Aps=2p3 (2I-A)P3=0 可见P1,P3是A的对应特征值1和2的特征向量，而p2由求解非齐次线性 方程组(I-A)x=一P1得到，称p2为对应特征值1的广义特征向量.例1.1 已求得对应特征值1和2的特征向量为 P1=(1,-1,2)T,Pp3=(0,1,0)T 求解方程组(1-A)x=-P1,由
·16· 第一章矩阵的相似变换 「20-1-110-12-12 (1-A,-p1)=-1-101一0112-12 (40-2-20000 得通解 （-1/21〔1/21 x=-12+k-1/2 (k∈C) 01 取广义特征向量p2=(0,-1,1)T,故所用的相似变换矩阵为 「100 P=-1-11 (210 (2)例1.5已求得A的Jordan标准形为 2 J=21 2 设相似变换矩阵P=(P1,P2,P3),则由PAP=J,即AP=P得 {Ap1=2p1 f(21-A)P1=0 {Ap2=2p2,即(2I-A)P2=0 Ap3=p2+2p3 {(21-A)p3=-p2 可见p1,Pp2是对应特征值2的2个线性无关的特征向量，而对应特征值2的 广义特征向量p3由求解非齐次线性方程组(2I-A)x=一p2得到. 在例1.5中求得对应特征值2的2个线性无关的特征向量为 (-1,1,0),(1,0,1)T 可取p1=(-1,1,0)T.假如取p2=(1,0,1)T,则可发现(21-A)x=-P2无 解，为了使该方程组有解，需要另外选择P2设 P2=k1(-1,1,0)T+k2(1,0,1)T 【-1-11k1-k2}11-1-k2 (2I-A,-p2)=22-2-k1 →0002k2-k1 (11-1-k2 1000 0 知k1=2k2时(2I-A)x=-P2有解.取k1=2,k2=1得P2=(-1,2,1)T 再取(21-A)x=-P2的解向量P3=(-1,0,0)T,故所用的相似变换矩阵为
§l.3 Jordan标准形介绍 ·17 -1-1-1 P=120 (010 当矩阵A的某个重特征值对应一个以上Jordan块时，经常要作类似上例 的处理. 为说明Jordan标准形的应用，先给出如下结论，这一结论在后面还要用 到. 定理1.l2对于r,阶Jordan块 ,1 J= .1 有 λ游C-1C-2…C格+l C-1…C2将2 J= C-1 (ay(ay… (-1(a*),D 1 入 (ay… (-2a*),-2 y =A 其中C=!(-刀，且规定C=0(:>). 证因为J:=入L,+H,其中 01,-1 H= 00℉ 注意到
·18· 第一章矩阵的相似变换 H= 011≤j≤-W.H=0G≥) 00J 且(A,)H=H(入，).于是 J停=(a山，+H)=虹+C-H+…+Ch*l:-1 上式右端写成矩阵形式即为所求.根据求导公式可得第2式. 证毕 -101 例1.10已知A=120,求A. -403 解例1.9已求得PAP=J,其中 1001 11 P=-1-11,J=1 210 于是 A=(PJP-1)=PIP- 「1001k0100 =-1-11010-201 210002-111 「-2k+10k =2k+1-242-k-1+2 -4k 02k+1 例1.11求解一阶线性常系数微分方程组 (dz1-3r1+za-3 d 偿2 +2r3 解把微分方程组改写为矩阵形式 -As 其中