§1.4 Hamilton-Cayley定理 ·19· dz 1 31 x=x2, x dx2 A=-202 -1-13 令x=Py,这里 -1-1-1 y P= 11 20, y=y2 0 10J (y3 由例1.9得 200 =P能=Px=PAn=021y dt 002 从而 =2,=2+9， -2 第1,3个方程的一般解为1-C1,为=c,,代入第2个方程得密 2y2+c3e2:,其一般解为 y2=(cse"e 2dt+c2)=e(c2+c3t) 由x=Py求得原微分方程组的一般解为 x1=-e2(c1+c2+c3+c3t) x2=e2(c1+2c2+2c3t) (c1,c2,c3∈C) x3=e2(c2+c3t) §1.4 Hamilton-Cayley定理 利用Jordan标准形可以给出在矩阵论中非常重要的Hamilton-Cayley定 定理1.l3(Hamilton-Cayley)设A∈C×",(a)=det(aI-A),则 (A)=0. 证存在P∈C×”,使得P-'AP=J,其中J是A的Jordan标准形，可
·20· 第一章矩阵的相似变换 写为 J= 2. (8代表1或0) . n 由于入1，入2，…，入n是A的特征值，于是 (A)=det(aI-A)=(a-1)(a-2)(A-入n) 从而 (A)=(A-1I)(A-A2)(A-λ，) =(PJP-1-I)(PJP-1-2I)...(PJP-I-AI) =P(J-1)(J-2I)…(J-aI)P-1 0 1a-A28 2- 0. -P 入 入n-入2 D-1 0/ 00…*1 入，-入m =P 00*…￥ 入m-1-入n (00 0 =…=0 证毕 以下用例子说明Hamilton-Cayley定理在简化矩阵计算中的应用. 「-1101 例1.12已知矩阵A=-430,试计算 1102 (1)A7-A5-19A4+28A3+6A-4I; (2)A-; (3)A10m. 解可求得(A)=det(a1-A)=(入-1)2（入-2）=3-4x2+5A-2. (1)令g(a)=7-入5-19A4+28x3+6入-4，需计算g(A).用()除
Sl.4 Hamilton-Cayley定理 ·21· g(入)，得 g(入)=(A4+4λ3+10入2+3入-2)()-3λ2+22λ-8 由Hamilton--Cayley定理知(A)=O,于是 「-191601 g(A)=-3A2+22A-8I=-64430 19-324 (2)由(A)=A3-4A2+5A-2I=0,得 A[2(A2-4A+5I)]=1 3-10 故 A1=2(A2-4A+5)= 4-10 -3/21/212 (3)设入00=g(A)(A)+b2A2+b1入+b,注意到(2)=(1)=(1) =0,分别将入=2和入=1代人上式，再对上式求导数后将入-1代入，得 200=4b2+2b1+b0 「b0=2100-200 1=b2+b1+b0,解得 b1=-201+302 100=2b2+b1 b2=2100-101 -199 100 0 A10=b2A2+b1A+b0I=-400201 0 2012100-10120 定义1.10设A∈Cm×m,f(入)是多项式.如果有f(A)=0,则称f(入) 为A的零化多项式. 定理1.13表明，矩阵A的特征多项式就是它的零化多项式.显然，给A 的特征多项式（入）任意乘一个多项式仍得到A的零化多项式.现在的问题 是，是否存在比A的特征多项式次数低的零化多项式？ 定义1.11设A∈C”x”,在A的零化多项式中，次数最低的首一多项 式称为A的最小多项式，记为m4(入). 定理1.14设A∈Cm×”,则A的最小多项式mA(入)整除A的任一零 化多项式，且最小多项式是惟一的 证设f(入)是A的任-零化多项式，假若ma(入)不能整除f(入)，则有 f(A)=g(A)mA(A)+r(入） 其中r(入)的次数低于mA(入)的次数.于是由f(A)=q(A)mA(A)+r(A) 知r(A)=O,这就与mA(入)是A的最小多项式相矛盾
·22· 第一章矩阵的相似变换 再证惟一性.设A有两个不同的最小多项式mA(A)和ma(入)，令g(入) =m(入)-m4(入)，则由m4(入)与mA(A)是首一多项式且次数相同知， g(a)是比m4(入)次数低的非零多项式.又 g(A)=mA(A)(A)=O 这就与mA(A)是A的最小多项式的假设矛盾. 证毕 这一定理表明，矩阵A的最小多项式应是A的特征多项式的因式.又因 mA(A)=O,由定理1.2知m4(A)应包含A的所有互不相同的特征值.因此 求A的最小多项式可采用试探法，即先求出A的特征多项式（入），然后找出 (λ)中包含A的所有互不相同特征值的因式，最后验证这些因式是否A的 零化多项式. 定理1.15设A∈C×",(A)=det(-A),又设Dn-1(入)是A1-A 的n-1阶行列式因子，则 m4(A)= (λ) D-1(a) 证明略去. 定理1.16相似矩阵有相同的最小多项式 证设B=P'AP,mA(a)与ms(入)分别是A和B的最小多项式.则 mA(B)mA(P-AP)=P-mA(A)P =O 根据定理1.14知mg(入)川m4(入).另一方面，有 mB(A)=mB(PBP)=PmB(B)P-=O 从而ma(a)川mg(入).因为ma(入)与mB(A)都是首一多项式，故mA(入)= mg(入). 证毕 利用这一定理，可以先对矩阵A作相似变换，再求其最小多项式.以下定 理即是利用A的Jordan标准形求A的最小多项式（证明略去）. 定理1.17设A∈Cm×",入1，A2,…,入，是A的所有互不相同的特征值， 则 m(λ)=（入-A1)m(入-12）m2…(入-入，)m, 其中m,是A的Jordan标准形J中含入，的Jordan块的最高阶数 例1.13求下列矩阵的最小多项式： 2-11-1 31-1 22-1-1 (1)A=-202:(2)A= 12-12 -1-13J 0003
§1.5向量的内积 ·23· 解(1)法1可求得（λ）=det(aI-A)=(入-2)3.()中包含A的 所有互不相同特征值的因式有入-2和（入-2）2，经验证A-2I≠0，(A- 2I)2=0,故 ma(A)=(入-2)2 法2例1.5已求得A的Jordan标准形为 2 J= 21 2 故由定理1.17知 m4(A)=(入-2)2 (2)法1可求得()=det(I-A)=(A-1)3(入-3).例1.8已求得 D3(λ)=1，故 m)=数8=() 即A的最小多项式即是A的特征多项式. 法2例1.8已求得A的Jordan标准形为 11 11 1 3 于是 m4()=(入-1)3（入-3）=（λ）》 §1.5向量的内积 在线性代数中规定了n维实向量的内积，即对于x=(51,2,…,n)T∈ R"和y=(1,2,,a)T∈R,x与y的内积[x,y]为 [x,y]=2n (1.4) 这是对几何向量求数量积的直角坐标计算公式的推广.虽然n维向量没有3 维向量那样直观的长度和夹角的概念，但利用内积可以定义其长度和夹角.本 节进一步将n维实向量的内积推广到n维复向量的情形，相应地给出复向量 的长度、正交等概念 需要指出的是，直接以式(1.4)作为复向量的内积将导致不合理的结果