§1.3 Jordan标准形介绍 9· dt 其一般解分别为 y=c1e',h=c2e2,3=c3e0 再由x=Py求得原微分方程组的一般解为 (1=cre+cze+cse {x2=-c1e-2c2e2-3c3e (c1,c2,c3∈C） x3=c1e‘+4c2e2+93e30 §1.3 Jordan标准形介绍 由上节知道，并不是每个方阵都能相似于对角矩阵，对于一般的方阵，通 过相似变换能化成的较简单矩阵具有什么形状呢？本节介绍的Jordan标准 形就是较简单的矩阵之一 定义1.7形如 J,= .1 的矩阵称为阶Jordan块，由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵 J2 J 称为Jordan矩阵 Jordan矩阵与对角矩阵的差别仅在于它的上对角线（与主对角线平行的 上面一条对角线)的元素是1或0，因此它是一个特殊的上三角阵.显然， Jordan块本身就是一个Jordan矩阵.对角矩阵也是一个Jordan矩阵，它的每个 Jordan块是1阶的. 定理1.9(Jordan）设A∈Cnx",则A与-一个Jordan矩阵J相似，即存 在P∈C×",使得P'AP=J.这个Jordan矩阵J除Jordan块的排列次序外 由A惟一确定，称J为A的Jordan标准形
·10 第一章矩阵的相似变换 这个定理的证明冗长，故略去 因为相似矩阵有相同的特征值，所以Jordan标准形J的对角元素入1， λ2，…，入，就是A的特征值.需要注意的是，在Jordan标准形J中，不同Jordan 块的对角元素入，可能相同，因此入：不一定就是A的，重特征值.一般地，特 征值入：的重数大于或等于： 以下我们把重点放在Jordan标准形J和相似变换矩阵P的确定上，有关 结论的证明均略去， 方法一特征向量法 设A∈C×元.如果：是A的单特征值，则对应1阶Jordan块J;=(a:): 如果入：是A的：(>1)重特征值，则对应入，有几个线性无关的特征向量，就 有几个以A;为对角元素的Jordan块，这些Jordan块的阶数之和等于r,.由A 的所有特征值对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即为A的Jordan标准形 这就是特征向量法，举例说明如下. 例l.5求下列矩阵的Jordan标准形 -101 31-1 (1)A= 120:(2)A--202. -403 -1-13J 解(1)例1.1已求得A的特征值为入1=2=1，入3=2，对应2重特征值 入1=2=1只有1个线性无关的特征向量P1=(1,-1,2)T,故A的Jordan标 准形为 11】 J= 1 (2)可求得det(A-A)=(a-2)3,即A的特征值为入1=A2=λ3=2，对 应的线性无关特征向量为p1=(-1,1,0)T,p2=(1,0,1)T,故A的Jordan标 准形为 2 J=21 2】 特征向量法的计算较简单，且在需要计算相似变换矩阵时，可直接利用已 求得的特征向量（见后面的例题）；缺点是当矩阵A的某一特征值重数较高 时，对应的Jordan块阶数可能无法确定.如当入，是A的4重特征值且对应该 特征值有2个线性无关特征向量时，用特征向量法无法断定以入，为对角元素 的2个Jordan块均为2阶的，还是一个为1阶而另-个为3阶的
1.3 Jordan标准形介绍 ·11· 方法二初等变换法 初等变换法涉及到多项式矩阵及其初等变换的有关结果】 定义1.8设A(a)=(a()m×m,其中a(入)都是入的多项式，则称 A(入)是1一矩阵或多项式矩阵.对入一矩阵进行的如下三种变换称为入一矩阵 的初等行（列）变换： (1)交换两行（列）（交换i,两行（列），记作r,r(c,c): (2)数k≠0乘某行（列）的所有元素（第i行（列）乘，记作：×k (c:×k); (3)把某一行（列）所有元素的（入）倍加到另一行（列）对应的元素上去， 其中（入）是一个多项式（第j行（列）的p(入)倍加到第i行（列）上，记作 r;+p(a)r(c:+p(a)c)). 对于入矩阵同样可以定义秩的概念，且在初等变换下入-矩阵的秩不 变.进一步有如下定理（证明略） 定理1.10秩为r的入矩阵A(入)=(a(入)mxn可通过初等变换化为 如下形式的矩阵 d1(a) d2(a) 0 S(A)= d,() 0 0 其中d(a)(i=1,2,…,r)都是首一多项式，且 d,(a)川d(a)(i=1,2,…,r-1) A-矩阵S(入)是由A(a)惟一确定的，称为A(a)的Smith标准形，又称d,(a) (i=1,2,…,r)为A()的不变因子 「-λ+12A-1A} 例1.6试求入-矩阵A(入)= -A的Smith标 2+1A2+入-1-2 准形和不变因子 解 1 2-1-λ+1 10 0 A(A)0 9-2x-10A2 r-r 入 (1λ2+入-112+1J9+(a-1)00A2-入a2+A
·12 第一章矩阵的相似变换 10 0 1001 29,0入 入2 n-a+120入0 -A 02+A2-Ax6)003+x 即得A(a)的Smith标准形，不变因子为d1(入)=1，d2(入)=入，d3(入)= λ3+λ. 对于矩阵A∈Cm×n,用初等变换法求Jordan标准形的步骤如下： 第一步：用初等变换化特征矩阵I-A为Smith标准形，求出不变因子 d1(a),d2(),…,dn(A),也称之为A的不变因子（因为aI-A的秩为n,所 以A有n个不变因子)； 第二步：将A的每个次数大于零的不变因子d:(入)分解为互不相同的一 次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂称为A的初等因子，设A的全部初 等因子为 (入-A1),(入-λ2)2，…，(-A 其中1，A2,…,A可能有相同的，且r1+r2十…+r,=n; 第三步：写出每个初等因子（入-A)r,(i=l,2,…,s)对应的Jordan块 ，1 J:= (i=1,2,…,s) .1 入r: 以这些Jordan块构成的Jordan矩阵 (J J- J2 J 即为A的Jordan标准形 例1.7求下列矩阵的Jordan标准形 f-101 31-1 (1)A=120;(2)A=-20 2 -403 -1-13 解(1) A+10-1】 0 0-11 白+(a+1)e ×(-1) λM-A= -1λ-20 3+(a-3)m1 -1A-20 40A-3 (a-1)200 Cy+*C3
§I.3 Jordar.标准形介绍 ·13· 10 0 0 0λ-2 -1 a+a-2e,0 0 -1n×( 00(a-12 3+(-1)22 c2cy 0(a-1)2(a-2)0 10 0 01 0 00(A-1)2(a-2) 可见A的不变因子为d1(A)=1,d2(入)=1，d5(A)=(A-1)2(入-2)，而A的 初等因子为 (λ-1)2，λ-2 故A的Jordan标准形为 11 1 2 (2) -3-11】9-(a-3ef 0 01ì c2+c3 M-A=2A-2H 2+2r1 21-2》1-209-2g 111-3-a-3-(a-2(a-4)-20 cg-92 0 01 10 0 -205×-”0-20 (-(-2)200 00(a-2)2 可见A的不变因子为d1(A)=1,d2(入)=入-2，d3(入)=（入-2）2，而A的初 等因子为 1-2,(a-2)2 故A的Jordan标准形为 200 J=021 002 方法三行列式因子法 定义1.9设入-矩阵A(A)的秩为r.对于正整数k(1≤k≤r),A(入)的 全部k阶子式的首一最大公因式D(入)称为A(入)的k阶行列式因子 入-矩阵的行列式因子与不变因子有如下的关系（证明略）. 定理1.11设A(A)是秩为r的m×n矩阵，则A(A)的行列式因子 D(入)为