·4 第一章矩阵的相似变换 由于Ax;=入x,(i=1,2,…,s),用A左乘上式得 k1入1x1+k2入2x2+…+k入x=0 从上面两个等式中消去x,得 k1(入1-入）x1+…+k-(入-1-入）x-1=0 由归纳假定，x1,x2,…,x,-1线性无关，又因为入，-入，≠0(i=1,2,…,-1), 所以k1=k2=…=k、-1=0,进而可得k,=0,故x1,x2,…,x,线性无关.证毕 定理1.3还可以推广为如下的定理（证明与定理1.3相仿，这里略去）， 定理1.4设入1，入2，…，入，是方阵A的互不相同的特征值，x1,x2,…, x是对应特征值入；的线性无关的特征向量(i=1,2,…,s),则向量组 X11,…,1,x21,…,x2r2,…,x1,,x 也线性无关 定理l.5设n阶方阵A=(a）nxn的特征值为入1，入2，…，入n,则 (1)a1+a2+…+am=入1+入2+…+dn (2)detA=入1d2…入n; (3)AT的特征值是A1,A2,…,入n,而AH=(a)n×m的特征值为1，入2， …,n 证由行列式的定义知，在det(I-A)的展开式中，有一项是主对角线 上元素的乘积（入-a1)(入-a22)…(入-am),而展开式中其余各项至多包含 n-2个主对角线上的元素，这是因为，如果某一项含有a(i≠)，则该项就 不能含有入一a与入-a,因此这些项关于入的次数最多是n-2,于是 det(aI-A)=λ”-（a11+a2+…+am)入"-1+… 又因为A1,入2，…，dn是det(-A)的n个根，所以 det(aI-A)=(λ-1)(a-a2)…(A-λn) =入”-（入1+入2+…+入n)入"-1+ (1.2) 于是 a+a2+…+am=+2+…+入 在式(1.2)中取入=0得 det(-A)=(-1)"以1λ2…入n 从而 detA=入1入2…入n 最后，由 det(A;I-AH)=det(IA)T det(AIA)=det(IA)=0
81.2相似对角化 ·5 知入1,2，…，n是A日的特征值.同理可证入1，A2,…,An是AT的特征值. 证毕 推论设A∈C×R,则0是A的特征值的充分必要条件是detA=0. 定义1.4设A=(a分)n×n,称 a11+a22+…+amm 为A的迹，记为rA. 定理1.5(1)表明，矩阵A的迹等于A的所有特征值的和. 关于矩阵的迹有以下结论. 定理1.6设A,B∈Cm×n,则tr(AB)=r(BA). 证设A=(a,x,B=(6).×,则AB的对角线元素为含QDs 区1,2…，n),而BA的对角线元秦为习24（传=1,2，，n),于是 a)=2(gea)-习（空6aa)=u(A)） 证毕 §1.2相似对角化 定义1.5设A,B∈Cm×",若存在P∈C×”使得 P-AP=B 则称A与B相似，记为A~B,称P为把A变成B的相似变换矩阵 相似是矩阵之间的一种重要的关系.相似矩阵具有以下性质， 定理1.7设A,B,C∈Cm×”,f(λ)是一多项式. (1)A~A(反身性)： (2)若A~B,则B~A(对称性)； (3)若A~B,B~C,则A~C(传递性)： (4)若A~B,则detA=detB,rankA=rankB; (5)若A~B,则f(A)~f(B)； (6)若A~B,则det(AI一A)=det(AI-B),即A与B有相同的特征多 项式，从而特征值相同. 证只证(5)和(6).设 f(λ)=a,入+a,-1A-1+…+a1A+a0 因为A一B,所以存在P∈C×使得P-1AP=B,于是 f(B)=a,B+a,-1B-1+…+a1B+a01
·6 第一章矩阵的相似变换 =a,(P-AP)'+.+a(P-AP)+aoI =P-(aA+.+aA aol)P=Pf(A)P 又有 det(I-B)=det(I-P-AP)det(P-(I-A)P)det(I-A) 证毕 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值 等都比较方便.现在的问题是，方阵A能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.6设A∈C×n,如果A相似于一个对角矩阵，则称A可对角 化. 定理1.8设A∈Cm×m,则A可对角化的充分必要条件是A有n个线 性无关的特征向量， 证设PAP=A=diag(入1,2，…，入)，其中P=(p1,P2,…,p),则 由AP=PA得 ApP=AP:(i=1,2,…,n） 可见入是A的特征值，P的列向量P,是对应特征值入：的特征向量，再由P 可逆知p1,p2,…,Pn线性无关. 反之，如果A有n个线性无关的特征向量p1,P2,,Pn,即有 Ap:=入p:(i=1,2,…,n） 记P=（p1P2,…,p.),则P可逆，且有 AP=(Ap1,Ap2,…,Apn）=(a1P1,A2P2,…,入nPn） =(p1,P2,…,Pn)diag(a1,2,…,入n）=Pdiag(a1,a2,…,n) 即有 P-AP diag(,2..) 故A可对角化， 证毕 由定理的证明过程可以看到，若n阶方阵A与对角矩阵A相似，则A的 主对角线元素怡为A的n个特征值入1，入2，…，入m,而相似变换矩阵P的n个 列向量p1,P2,…,Pn分别是对应入1，入2，…，入n的特征向量. 由定理1.3和定理1.4可以得到如下两个便于使用的条件， 推论1如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化 推论2设入1，入2，…，入是n阶方阵A的所有互不相同的特征值，其重 数分别为1,2…，万若对应重特征值入：有个线性无关的特征向量 (i=1,2,…,s),则A可对角化. 例1.2下列哪个矩阵可对角化，哪个不可对角化？对于可对角化的矩
1.2相似对角化 7 阵，求相似变换矩阵和相应的对角矩阵 0 1 0 1-221 (1)A=0 0 1(2)A=-2-24: -6-11 -6 2 -2 -101 (3)A=120 -403 解(1)因为det(aI-A)=(+1)(A+2)(入+3)，所以A的特征值为 入1=-1，A2=-2,λ3=-3. 由于A的3个特征值互不相同，故A可对角化.可求得对应于特征值 入1，入2，入3的特征向量分别为 1 1 1 p1=-1,p2=-2,p3=-3 1) 4 11 11 -100 故相似变换矩阵P= -1-2-3,使得P-1AP=0-20 1 9 003 (2)例1.1已求得A的特征值为X1=A2=2,λ3=-7，对应入1=入2=2有 2个线性无关的特征向量p1=(-2,1,0)T,P2=(2,0,1)T,故A可对角化.又 对应3=-7的特征向量为P3=(-1,-2,2),从而相似变换矩阵 -22-1 1200 P=10-2,使得P-1AP=020 1012J 00-7J (3)例1.1已求得A的特征值为入1=2=1，A3=2,而对应2重特征值 入1=入2=1只有1个线性无关的特征向量P1=(1,-1,2)T,故A不可对角 化 以下举两例说明可对角化矩阵的应用， 〔1-22 例1.3已知A=-2-2 4 ,求A100 24-2 解直接计算是比较困难的，如果A可对角化，求A的方幂就容易了 例1.2已求得P-'AP=A,其中 「-22-1) 200 P=10-2,A=020 012 00-7
·8… 第一章矩阵的相似变换 于是 A100=(PAP-1)100=PAI0OP-I [-22-1200 「-2541 =10-2 210 g24 (012J (-7)0)-1-22 ,「2+(-7)1m -20+2·(-7)10201-2·(-7)10w1 =9-2m+2·(-7)m5·20+4(-7)02m-4.(-7)m 1 2101-2·(-7)10 21m-4·(-7)10w5·2100+4.(-7)100 例1.4求解一阶线性常系数微分方程组 {dx di = T3 d3=-6x1-11x2-6x d 解把微分方程组改写为矩阵形式 其中 「dx 01 0 dr x=x2, di 4=00 1 3] -6-11-6 dt 令x=Py,这里 1111 P= -1 -2-3,y= 1 49 (y3 于是，由例1.2，得 -10 出=P=Pt=PA 0-20y .00 -3 从而