·i 月录 三、矩阵值函数对矩阵变量的导数 81 §3.5矩阵分析应用举例……82 一、求解一阶线性常系数微分方程组… 82 二、求解矩阵方程 84 三、最小二乘问题 85 习题三… 87 第四章矩阵分解… 0 4.1矩阵的三角分解… 90 一、三角分解及其存在椎一性问题… 90 二、三角分解的紧凑计算格式… 93 §4.2矩阵的QR分解… 97 一、Householder矩阵与Givens矩阵… 二、矩阵的QR分解 … … 104 三、矩阵酉相似于Hessenberg矩阵… 109 §4.3矩阵的满秩分解… 112 “、Hermite标准形… 113 二、矩阵的满秩分解 116 84.4矩阵的奇异值分解… 118 习题四… 123 第五章特征值的估计与表示 4+4+…… 125 S51特征值界的估计… 125 S5.2特征值的包含区域… 128 一、Gerschgorin定理 … 128 二、特征值的隔离… 131 三、05 trowski定理. 133 S5.3 Hermite矩阵特征值的表示… 135 5.4广义特征值问题… 138 一、广义特征值问题 138 二、广义特征值的表示… 140 习题五… 143 第六章广义逆矩阵…… 145 S1广义逆矩阵的概念… 145 §6.2{1-逆及其应用… 146 一、1}一逆的计算及有关性质 …146
目录 ·vi 二、1-逆的应用…149 三、由1-逆构造其他的广义逆矩阵…151 $6.3 Moore-PenroseA+ 153 一、A◆的计算及有关性质 153 二、A在解线性方程组中的应用… 155 习题六…158 第七章矩阵的直积…160 §7.1直积的定义和性质…… 160 §72直积的应用…。 164 -一、矩阵的拉直及其与直积的关系…164 二、线性矩阵方程的可解性及其求解 。 165 习题七…168 习题答案与提示… 169 参考文献… 178
第一章矩阵的相似变换 相似变换是矩阵的一种重要变换.本章研究矩阵在相似变换下的化简问 题，这是矩阵理论中的基本问题之一，本章的内容是后续各章的基础，虽然部 分概念在线性代数课程中已接触过，但更多的是新的内容.为避免篇幅过长， 对部分结论将不加证明，读者可以在高等代数教材中找到有关的证明。 §1.1特征值与特征向量 工程技术中的-一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方 阵的特征值和特征向量. 定义1.1设A∈Cm×n,如果λ∈C和0≠x∈Cm使关系式 Ax Ax (1.1) 成立，则称入为A的特征值，称x为A的对应特征值入的特征向量 将式(1.1)改写为 (λI-A）x=0 这是”个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是 系数行列式det(I-A)=0,这是以入为未知数的一元n次方程，其最高次项 A”的系数为1（称为首一的）. 定义1.2设A∈C×n,称I-A为A的特征矩阵，又称det(aI-A 为A的特征多项式. 显然，A的特征值就是特征方程的根.特征方程在复数范围内恒有解，其 个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶方阵A有n个特征值.计算 n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤如下： 第一步：求det(I一A)=0的n个根入1，入2，…，入n,它们即为A的全部 特征值； 第二步：求解齐次方程组（入-A)x=0,其非零解向量即为A的对应特 征值λ：的特征向量. 例1.1求下列矩阵的特征值与特征向量： 1-22 -101 (1)A=-2-24;(2)A=120 24-2 -403
·2· 第一章矩阵的相似变换 解(1)A的特征多项式为 |-12 -2 det(I-A)= 21+2-4=(入-2)2（λ+7） -2 -4+2 所以A的特征值为入1=λ2=2，入3=-7. 当A1=2=2时，解方程组(2I-A)x=0.由 〔12-2 12-2 2I-A= 2 4-4-000 -2-44 000 得基础解系 p1=（-2,1,0),P2=(2,0,1)T 所以对应A1=入2=2的全部特征向量为k1P1+k2P2(k1,k2不同时为0)， 当A3=-7时，解方程组(-7I-A)x=0.由 -8 2-21 1012 -7I-A= 2-5-4-→011 -2-4 -5) 000 得基础解系 P3=(-1,-2,2)T 故对应A3=-7的全部特征向量为k3P3(k3≠0) (2)A的特征多项式为 +10-1 det(I-A)= -1入-20=(A-1)2(x-2) 4 0λ-3 所以A的特征值为A1-A2=1,A3=2. 当A1=入2=1时，解方程组(1-A)x=0,由 20-1110-1/2 I-A= -1-10 →0112 40 -2000 得基础解系 P1=(1,-1,2)T 所以k1P1(k1≠0)是对应入1=A2=1的全部特征向量 当A3=2时，解方程组(2I-A)x=0.由 30-1) 100 2I-A= -100 →001 40-1 000
S1.1特征值与特征向量 ·3· 得基础解系 P3=(0,1,0)T 故k3P3(k3≠0)是对应入3=2的全部特征向量 矩阵的特征值与特征向量有如下一些性质 定理1.1设入：是A∈C×n的：重特征值（称r:为特征值入，的代数重 数)，对应入，有s,个线性无关的特征向量（称s:为特征值入；的几何重数），则 1≤s,≤r:.（证明略) 对于例1.1中的第1个矩阵A,对应2重特征值2有2个线性无关的特 征向量，而第2个矩阵A对应2重特征值1只有1个线性无关的特征向量。 定义1.3设f(入)是入的多项式 f(A)=a,5+a-1X-1+…+a1入+a0 对于A∈Cmx,规定 f(A）=aA5+a,-1A-l+…+a1A+a0l 称f(A)为矩阵A的多项式. 定理1.2设A∈Cx”,A的n个特征值为入1，入2，…，入m,对应的特征向 量为x1,x2,…,xm,又设f(入)为一多项式，则f(A)的特征值为f(入)， f(2),…,f(入n),对应的特征向量仍为x1,x2,…,xn.如果f(A)=0,则A 的任一特征值入：满足f(入)=0. 证因为Ax=入x:(i=1,2,…,n),于是对正整数k,有 Ax:=A-l(A,)=入A-1x=…=Ax f(A)x:=(a,A5+a-1A-1+…+a1A+a0I)x: -a,A5x,+a,-1A5-lx:+…+a1A+a0x =(a入+a-1d1+…+a1a:+a0)x=f(a;)x 当f(A)=O时 0=f(A)x=f(λ：)x: 由x:≠0知f（入；）=0. 证毕 定理1.3设入1，入2，…，入是方阵A的互不相同的特征值，x1,x2,…,x 是分别与之对应的特征向量，则x1,x2,…,x,线性无关。 证对s用数学归纳法证明.当s=1时，因为x1十0，所以x1线性无关， 即定理成立，假定对；-1个互不相同的特征值定理成立，下证对s个互不相 同的特征值定理也成立.为此，设有常数1，k2,·,k,使 k1x1+k2x2+…+kx=0