例3判别级数∑，的收敛性 解因为所给级数的通项，= 2n-1 2n 而级数 是发散的调和级数. n=1 所以由比较审敛法可得级数 收敛 例4判定级数 的收敛性 n=1/ 1+n3 解 因为所给级数的通项“，三 1+n3 而级数行电级数且 n=] n 所以此级数收敛.由比较审敛法可知级数 会 收敛 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 判别级数 的收敛性. =1 2 −1 1 n n 解 因为所给级数的通项 n n un 2 1 2 1 1 − = 而级数 是发散的调和级数. =1 2 1 n n 所以由比较审敛法可得级数 收敛. =1 2 −1 1 n n 解 因为所给级数的通项 3 3 1 1 1 un n n = + 而级数 是 p-级数,且 = = = 1 2 3 1 3 1 1 n n n n 2 3 p = 所以此级数收敛. 例4 判定级数 3 的收敛性 1 1 n 1 n = + 由比较审敛法可知级数 收敛 =1 + 3 1 1 n n
定理3（比较审敛法的极限形式）设级数 和 n= 为正项级数，如果1im4=l0<l<+o,则级数∑4 00 n-→oVn n=l 和∑y,具有相同的收敛性， n三 例5判定级数 的收敛性 解所给级数的通项4，= √1+n 因为调和级数 ∑发散，且有 lim v1+n n→w1y n→0 n=1 所以由定理3级数子7 n 收敛 前页后页结束
前页 后页 结束 定理3 (比较审敛法的极限形式)设级数 和 , 1 n n u = 1 n n v = 为正项级数,如果 lim (0 ) n , 则级数 n n u l l → v = + n=1 n u 和 具有相同的收敛性. n=1 n v 解 所给级数的通项 2 1 1 n un + = 因为调和级数 发散,且有 =1 1 n n 1 1 1 1 lim lim 2 = + = → → n n v u n n n n 所以由定理3级数 收敛. =1 + 2 1 1 n n 例5 判定级数 2 的收敛性 1 1 n 1 n = +
例6判定级数 1 一的收敛性 1+n n=1 解因为所给级数的通项 i un= 而级数∑是p级数，且 p= n2 所以此级数收敛.而 lim=lim v1+n n-→1y n-→∞ 22 因此由定理3可知级数> 收敛.与例4结果一致， n= 1+n 前页后页结束
前页 后页 结束 . 1 1 6 1 例 判定级数 3 的收敛性 n= + n 解 因为所给级数的通项 3 3 1 1 1 n n un + = 而级数 是 p-级数,且 = = = 1 2 3 1 3 1 1 n n n n 2 3 p = 所以此级数收敛.而 1 1 1 1 lim lim 2 3 3 = + = → → n n v u n n n n 因此由定理3可知级数 收敛.与例4结果一致. =1 + 3 1 1 n n
定理4（比值审敛法）设为正项级数，如果 lim n=1 n→o0 Un 则(1)当p时，级数收敛； (2)当p>1(或时级数发散. (③)当p时，级数可能收敛，也可能发散 前页后页结束
前页 后页 结束 定理４(比值审敛法)设 为正项级数，如果 则(1)当 时，级数收敛； n=1 n u (3)当 时，级数可能收敛，也可能发散. = + → n n n u u 1 lim (2)当 时，级数发散. 1 1(或 = ) =1 =1
例7判别级数 ∑”收敛性 解因为所给级数为正项级数，其中 n+2 n+3 2" ,Un+l= 24 n+3 所以 un+l lim )n+1 lim =lim n+32" n-→00 Un →0 n+2 n∞n+22m- 2” 于是，由比值审敛法可的得：级数了”+2收敛 =1 2” 前页后页结束
前页 后页 结束 例7 判别级数 的收敛性. = + 1 2 2 n n n 解 因为所给级数为正项级数，其中 1 1 2 3 , 2 2 + + + = + = n n n n n u n u 2 1 2 2 2 3 lim 2 2 2 3 lim lim 1 1 1 = + + = + + = + + → + → n n n n n n n n n n n n n u u 所以 于是，由比值审敛法可的得：级数 收敛. = + 1 2 2 n n n