匀和1.3 1.全积容值液升y=x+y2,y(0)=0让第三次近有盛3(x) 切:y3(x) 2 2.如系 Bellman不器式:设现钟k>0,f(x)≥0,总g(x)在[a, 上连分,见成除不器式 (x)≤k+/f(s)(s)d,a≤x≤B 试如 y(x)≤ ..f(s)ds a<a <B 如:令 则 dr (r) f(x)p(x)≤kf(x)+∫(x)R(x) 不器式假边赛乘以体钟函钟exp(af(s)d)可得 d lexp(j f(s)ds R()skf(a)exp ( ∫(s)d 不器式假边从a到x效分得 exp(- f(s)ds)R(r)<fkf(t)exp(-Sa f(s)ds)dt =-kcP(-f()d)l=k-exp(-f()d 不器式假边赛乘以exp(af(s)ds)得R(x)≤kexp(af(s)ds)-1 从而g(x)≤k+R(x)≤kexp(af(s)ds),a≤m≤B 3.设∫(x,y)在用域G别连分见对y式单调不增让,试如容值液 升y=f(x,y),y(xo)=%让右行盛式惟千让 如:用反如盐.数右行盛不惟千,则程在容值液升让假个盛 y1(x),y2(x),丢得在失假个盛让共赛用间{xob上式不凑器让 令6(x)=[p2(x)-g1(x)2,则 2[2(x)-1(x)Jf(x,2(x)-f(x,1(x)≤0.x0≤x≤b 即6(x)≤0,x0≤x≤b,子以6(x)≡0,设假设矛盾如毕 4假设∫(x,y)在G={(x,y)≤x≤B,y∈R}上连分,见关于 y成除 Lipschitz条件,( Lipschitz现钟次L).试如容值液升 y=f(x,y),y(xo)=让盛在整个用间a,上惟千程在 如:在盛让程在惟千量浓水让如系利在作间改就可如系在即升 让条件变,盛让程在用间式在整个用间a,月上让.(相应让浓水上 次盛让全局程在惟量浓水)且们只就用间[zo,进行如系,即如
& ' 1.3 1. ]) @ y 0 = x + y 2 , y (0) = 0 178 ϕ3 (x). 2: ϕ3 (x) = x 2 2 + x 5 20 + x 8 160 + x 11 4400 . 2. p Bellman Y /: k > 0, f (x) ≥ 0, ' ϕ (x) A [α, β] D, FHIY / ϕ (x) ≤ k + Z x α f (s) ϕ (s) ds, α ≤ x ≤ β, p: ϕ (x) ≤ ke R x α f(s) ds , α ≤ x ≤ β. p: U R (x) = Z x α f (s) ϕ (s) ds, a dR (x) dx = f (x) ϕ (x) ≤ kf (x) + f (x) R (x). Y /wx AS(J exp (R x α f (s) ds) Rv d dx · exp µ − Z x α f (s) ds ¶ R (x) ¸ ≤ kf (x) exp µ − Z x α f (s) ds ¶ , Y /wxu α i x )v: exp (− R x α f (s) ds) R (x) ≤ R x α kf (t) exp ³ − R t α f (s) ds ´ dt = −k exp ³ − R t α f (s) ds ´ | x α = k [1 − exp (− R x α f (s) ds)], Y /wx AS exp (R x α f (s) ds) v R (x) ≤ k [exp (R x α f (s) ds) − 1]. uW ϕ (x) ≤ k + R (x) ≤ k exp (R x α f (s) ds), α ≤ x ≤ β. 3. f (x, y) A99 G :FZ y /z{Y+ , p @ y 0 = f (x, y), y (x0) = y0 ;< /4 . p: 9|p. ;< Y4, aA @ wN : ϕ1 (x), ϕ2 (x), evAfwN > 9C [x0, b] D/YG . Uδ (x) = [ϕ2 (x) − ϕ1 (x)]2 , a dδ (x) dx = 2 [ϕ2 (x) − ϕ1 (x)] [f (x, ϕ2 (x)) − f (x, ϕ1 (x))] ≤ 0, x0 ≤ x ≤ b δ (x) ≤ 0, x0 ≤ x ≤ b, dS δ (x) ≡ 0, w?@.p . 4.w f (x, y) A G = {(x, y)|α ≤ x ≤ β, y ∈ R} D, Fyz y HI Lipschitz st, ( Lipschitz 1 L). p @ y 0 = f (x, y), y (x0) = y0 A|N9C [α, β] D4A. p: A A4! pXABCjRpA st*, A9C/A|N9C [α, β] D . (s5 !D 1 ]EA4!).F?9C [x0, β] <<p, p 14
明在区间[xo,上程在惟一解.在证明中理指出和恒程上的证明 不同的满方 改记M=maxf(x,3o),h=B-xo,则和恒程上的证明 样,可得足次函代叫列{yn(x)},它是有做的,并且|n(x)|≤ko|+ M(eb-1)/,因此足次函代叫列有意义以下证明同恒程 5设∫(x,y)在R2上微分,求证:对vxo∈R,理要|o般分该,初 值问题y=(y2-e2n)f(x,y),y(xo)=v的解必可个或到[xo,+∞) 证:对于ro∈R,取|ol<eo,且们证明,这时初值问题的解的 何谓解y(x)的积分曲线始主要于两曲线:y=±er,(x≥x-0)可 间的区区D中.这样,再由个或定理可知,何谓解一直可以向何个或 于在x 积分曲线就要在某个时刻x=x1>x0时与曲线y2=e2初次相交, 即在区间[xo,x1)上积分曲线要于D别,而(x1)=e,但是,在点 (x1;,y(x1))上,积分曲线的切线的斜率等于零,就是二,积分曲线在 点x1,y(x1)是从D外进入D别的,得特值.证阶 6设初值问题y′=sny,y(x0)=的解为y=p(x,x0,m),方求 a0(,203)和(x,x0,0)当x0=1,0=0时的表达式 解:a(,0)和动(200)当a0=1.0=0时的表达式分 别是微分方程 dz cos(=(z:1.o) Lr 分别满足初始条件z(1)=0和z(1)=1的解.所以(x,1,0)=0, 及 cos(e(1.0) (x,1,0)=exp 由于(x,1,0)=0,代入上式得(x,1,0)=x 7.设∫(x,y)在G上微分可微,方证初值问题 y=f(x,y),y(xo)=犰的解y=φ(x,xo,)满足恒等式 (x,x0,30)f(x0,3)≡0. dz0(x;9(204):=0b(,20,)都是一阶线性齐次方程 证:因为(x,x0,0)和 的解,所以 2(x)=O2 (x,x0,3)+x(x,20,3)f(xo,y)是满足初始条件 (xo)=0的解.另外z=0也是满足初始条件z(xo)=0的解,由解 的惟一性,z(x)≡0
A9C [x0, β] DA4 . ApX()'GD p Y H. j^ M = max (x,y)∈R |f (x, y0)|, h = β − x0, a'GD p n, RvI1J7K+{ϕn (x)}, 6/8L , ,F |ϕn (x)| ≤ |y0| + M ³ e Lh − 1 ´ /L, [_I1J7K+8VE.S*p G. 5. f (x, y)AR2 D, ]p: Z ∀x0 ∈ R, Q |y0| M, @ y 0 = ¡ y 2 − e 2x ¢ f (x, y), y(x0) = y0 7RNOi [x0, +∞). p: Zz ∀x0 ∈ R, k |y0| < e x0 , F?p, f @ ;< y (x) )rrPQzwr: y = ±e x , (x ≥ x − 0) R C 99DX. fn, NO!R\, ;< hRS$;NO i6)S,. 9|p: (zA x = x0 , )rQzDX)YT, )rQABN # x = x1 > x0 r y 2 = e2x 1s\, A9C [x0, x1) D)rQzD:, W |y (x1)| = ex1 , K/, Aj (x1, y (x1)) D, )r 2 t, z$, / , )rA j x1, y (x1)/u D "< D : , v?@. p . 6. @ y 0 = sin y x , y (x0) = y0 1 y = ϕ (x, x0, y0), ] ∂ϕ ∂x0 (x, x0, y0) ' ∂ϕ ∂y0 (x, x0, y0) = x0 = 1, y0 = 0 3i/. : ∂ϕ ∂x0 (x, x0, y0) ' ∂ϕ ∂y0 (x, x0, y0) = x0 = 1, y0 = 0 3i/ :/ dz dx = cos ³ ϕ(x,1,0) x ´ x z :HI rst z (1) = 0 ' z (1) = 1 . dS ∂ϕ ∂x0 (x, 1, 0) = 0, g ∂ϕ ∂y0 (x, 1, 0) = exp Z x 1 cos ³ ϕ(t,1,0) t ´ t dt . z ϕ(x, 1, 0) = 0, 7D/v ∂ϕ ∂y0 (x, 1, 0) = x. 7. f (x, y) A G DR, p @ y 0 = f (x, y), y (x0) = y0 y = ϕ (x, x0, y0) HIG / ∂ϕ ∂x0 (x, x0, y0) + ∂ϕ ∂y0 (x, x0, y0) f (x0, y0) ≡ 0. p: [1 ∂ϕ ∂x0 (x, x0, y0) ' ∂ϕ ∂y0 (x, x0, y0) $/ 01 dz dx − ∂f ∂y (x, ϕ (x, x0, y0)) z = 0 , dS z (x) = ∂ϕ ∂x0 (x, x0, y0) + ∂ϕ ∂y0 (x, x0, y0) f (x0, y0) /HI rst z (x0) = 0 . W" z = 0 J/HI rst z (x0) = 0 , 4, z (x) ≡ 0. 15
8.求解下列隐方程 1)x=y-y2+2y 答:由y=p,y=x+p2-2p,消去y得 1+2(P-1)dp/dx-p=0,整理得(p-1)(2dp/dx-1)=0,由p=1,得特解 y=x-1,由2dp/dx=1,得p=x/2+c+1故通解:y=x+(x/2+c)2-1 2)y=ry+v1+y2 答:是 Clairaut方程,通解为y=c+√①1+2.特解y=√1-x2 这特解是奇解,因为 Clairaut方程的特解就是通解的包络,从而是奇 解.(可以验证它是包络,如将特解写成参数形式x=-sint,y=cost, t∈-22小则过特解的积分曲线上的任一点(-mtc有通解 中取c=tant时的积分曲线y= r tan t+sect在这点相切) 3)y2+xy-y=0 答:是 Clairaut方程,通解为y=cr+c2,特解y=—.这特解是 奇解 4)xy8-y2-1=0 答:是 Clairaut方程,通解为y=c-c-2,特解y=-3v22.这 特解是奇解 5) 答:通解为 2p-3lnc(p-2),y=-p2-3p-6lnc(p-2)-p3.特解 为y=2x-3它不是奇解,因为通解的每条积分曲线(在切线斜率 p=-1的点上)和特解(切线斜率=2)相交而不相切,故不是奇解 6)x-y 解:引进参数p=y,方程可写成参数形式 y=p,y=x-影y2+器y,消去y得故1-my+8p2p-p=0,整理 得(p-1)(8m/9-1)=0,由8p9-1=0,即4/9d(p2)/d=1,积分得 p=±3vx+c/2,代入y的表达式得通解y=x+(x+c)vx+c-1 由p-1=0,代入y的表达式得特解:y=x-4/27 9)利用 Clairaut方程构造一个以y=g(x)为奇解的一阶方程,这 里假设φ∈Ca,b,且y(x)为x的严格单调函数 解:令p=φ(x),因y(x)为x的严格单调函数.它有反函数,设为 x=v(p),设过函数y=9(x)的图象上的点的切线方程为 Clairaut方 程y=x+(m),其中p=出则可见在切点上必有f)=(x) p(v(p)-p(p),容易验证y=φ(x)是这个 Clairaut方程的一个奇解 10.已知 Riccati方程y=cosx-(y-sinx)2有解y=sinx.若 以y=φ(x,xo,yo)记该方程满足初始条件y(xo)=3的解,试求出 a2(0.1)和
8. ] *+ 1) x = y − y 02 + 2y 0 2: y 0 = p, y = x + p 2 − 2p, .E y v 1+2(p−1)dp/dx−p = 0, |v (p−1)(2dp/dx−1) = 0, p = 1, v? y = x−1, 2dp/dx = 1, v p = x/2+c+1 V= N y = x+(x/2+c) 2−1. 2) y = xy0 + q 1 + y 02 2: / Clairaut , = 1 y = cx + √ 1 + c 2. ? y = p 1 − x 2. f? /n , [1 Clairaut ? /= co, uW/n . (RSop6/co, p~? QHgO/ x = − sin t, y = cost, t ∈ · − π 2 , π 2 ¸ , aq? )rD Uj (− sin t, cost) 8= Xk c = tan t )r y = x tan t + sec t Afjs2). 3) y 02 + xy0 − y = 0 2: / Clairaut , = 1 y = cx + c 2 , ? y = −x 2 4 . f? / n . 4) xy03 − yy02 − 1 = 0 2: / Clairaut , = 1 y = cx − c −2 , ? y = − 3 2 √3 2x 2. f ? /n . 5) y = 2x + y 0 − 1 3 y 03 2: = 1 x = − 1 2 p 2 −2p−3 ln[c(p−2)], y = −p 2 −3p−6 ln[c(p−2)]− 1 3 p 3 . ? 1 y = 2x − 2 3 . 6Y/n , [1= s)r (A2t, p = −1 jD) '? (2t, = 2) s\WYs2, VY/n . 6) x − y = 4 9 y 02 − 8 27 y 03 : <g p = y 0 , RQHgO/ y 0 = p, y = x − 4 9 y 02 + 8 27 y 03k .E y vV1 − 2 9 pp0 + 8 9 p 2p 0 − p = 0, | v (p − 1)(8pp0/9 − 1) = 0, 8pp0/9 − 1 = 0, 4/9d(p 2 )/dx = 1, )v p = ±3 √ x + c/2, 7 y 3i/v= y = x + (x + c)[± √ x + c − 1], p − 1 = 0, 7y 3i/v? : y = x − 4/27. 9) X9 Clairaut uvNS y = ϕ(x) 1n , f w ϕ ∈ C 1 [a, b], F ϕ 0 (x) 1 x xyz{J. : U p = ϕ 0 (x), [ ϕ 0 (x) 1 x xyz{J. 68|J, 1 x = ψ(p), qJ y = ϕ(x) }~D j 21 Clairaut y = px+f(p), qX p = dy dx aRFA2jD78 f(p) = ϕ(x)−px = ϕ(ψ(p)) − pψ(p), -op y = ϕ(x) /fN Clairaut Nn . 10. \ Riccati y 0 = cos x − (y − sin x) 2 8 y = sin x. S y = ϕ(x, x0, y0) ^MHI rst y(x0) = y0 , ]) ∂ϕ ∂x0 (x, 0, 1) ' ∂ϕ ∂y0 (x, 0, 1). 16
解:引进新的未知函数,满足y=smx+1,代入方程得=1, 积分得u=x+c,从而该 Riccati方程的通解为y=sinx+ 满足 初始条件0)=1的特解为y=x+x+1于是,所求的两个偏导 数都是线性齐次微分方程中=-22的解,分别满足初始条件 z(0) cosa-(y-sin r) x=0,y=1 0,和z(0)=1,由线性方程的通 解是2=(x+1)2,由初始条件,分别得c=0及c=1,故 a(,0.,1)=0,a(x01)=(x+1)-2 11*.假设函数f(x,y)在区域GcR2中关于y满足以L为 Lipschitz 常数的 Lipschitz条件,g(x)和v(x)为方程y=f(x,y)在[a,b上的两 个解,x0∈{a,b,试证 p(x)-v(x)≤cl-olp(xo)-v(xo)对vx∈{a,列 证明:利用习题1.3第2题的结果来证 12*.求出下列 Riccati方程初值问题 d=y2++-1,y(0=1;a=y2+py()=0 的解y=y(x,p)关于小参数μ(形式)渐近展开的头三项,并与该 问题精确解对μ的幂级数展开进行比较 解:(1)可看出该 Riccati方程有特解v=-1,令y=-1+1/u可 将这 Riccati方程化为未知函数u的线性方程du/dx=(2-p)u 解得u=1/(2-1)+cexp(2-p)x),再由初值条件y(0)=1得到方程 的精确解为φ(x,p)=1-4+1(u-2)/(-2exp(4-2)x) 令y=y(x,p)=90+p91+p2y2+…,代入微分方程,比较μ的 同次幂,得 y=2-1,y(0)=1, 41=2y0y1+0+1,g1(0)=0, 42=2y02+1+y1,φ2(0)=0 解得:φ0=1,g1(x)=exp(2x)-1,y2(x)=exp(2x)(exp(2x)-2x-1)/2 (2)是变量分离方程,精确解是 vtan(ypx),当p≥0; (x,p)={y四(1-c2v) 1+evola tanh(=ux),当≤0 将以上第一式的tan()作幂级数展开即得 (x,H)~x1(1+3x2+(ux2+
: <D [\J u, HI y = sin x + 1 u , 7v du dx = 1, )vu = x + c, uWM Riccati = 1 y = sin x + 1 x + c , HI rst y(0) = 1 ? 1 y = sin x + 1 x + 1 , z/, d] wN^ $/01 dz dx = − 2 x + 1 z , :HI rst z(0) = − ³ cos x − (y − sin x) 2 ´¯ ¯ ¯ x=0,y=1 = 0, 'z(0) = 1, = / z = c (x + 1)2 , rst, :v c = 0 g c = 1, V ∂ϕ ∂x0 (x, 0, 1) = 0, ∂ϕ ∂y0 (x, 0, 1) = (x + 1)−2 . 11*. wJf(x, y)A99G ⊂ R2 Xyzy HISL1Lpschitz Lipschitzstk ϕ(x)'ψ(x)1y 0 = f(x, y)A[a, b]D w N k x0 ∈ [a, b] k pN |ϕ(x) − ψ(x)| ≤ e L|x−x0| |ϕ(x0) − ψ(x0)| Z∀x ∈ [a, b]. pN X9s1.32 uvTp. 12*. ])*+ Riccati @ (1) dy dx = y 2 + µy + µ − 1 , y(0) = 1 ; (2) dy dx = y 2 + µ, y(0) = 0 y = ϕ(x, µ)yzMgµ SO/ '752 6 yk ,M \6 Zµ X52<<L. N (1) R )M Riccati 8? yp = −1, U y = −1 + 1/u R ~f Riccati +1[\J u du/dx = (2 − µ)u − 1, v u = 1/(2 − µ) + c exp((2 − µ)x), @st y(0) = 1 vi \6 1 ϕ(x, µ) = 1 − µ + µ(µ − 2)/(µ − 2 exp((µ − 2)x)). Uy = ϕ(x, µ) = ϕ0 + µϕ1 + µ 2ϕ2 + . . .k 7k L µ 1k v ϕ 0 0 = ϕ 2 0 − 1, ϕ(0) = 1, ϕ 0 1 = 2ϕ0ϕ1 + ϕ0 + 1, ϕ1(0) = 0, ϕ 0 2 = 2ϕ0ϕ2 + ϕ 2 1 + ϕ1, ϕ2(0) = 0. vN ϕ0 = 1, ϕ1(x) = exp(2x) − 1, ϕ2(x) = exp(2x)(exp(2x) − 2x − 1)/2. (2) /*:k \6 / ϕ(x, µ) = √µ tan(√µx), =µ ≥ 0 ; p |µ|(1 − e 2 √ |µ|x ) 1 + e 2 √ |µ|x = √ −µ tanh(√ −µx), =µ ≤ 0 ~SD/ tan(.) BX52v ϕ(x, µ) ∼ xµ(1 + 1 3 µx2 + 2 15 (µx2 ) 2 + . . . . 17
13*.假设函数f(x,y)和g(x,y)在GcR2级微分,且对x∈[a,b) 有f(x,y)≤g(x,y);如得p(x)和v(x)分别为试程y=f(x,y)和 y′=g(x,y)在域间a,b)上满足同一初始习件y(a)=30的三,数 y(x)与v(x)级至少有一个是初始问题在域间叵a,b)上的惟 方证在域间[a,b)上,g(x)≤v(x 证明:数v(x)是初始问题在域间,b)上的惟一三,由题意 y(x)=f(x,y(x)≤g(xr,y(x),r∈la,b).作(x,y)的微分函数 (x,y),当y≥y(x) (x,yp(x),当y<y(x) 取初值问题y′=F(x,y),y(a)=30的右行饱和三:y=y(x),x∈a,T) 先证明在域间I≡[a,min(b,T)上,(x)≥p(x 证:数不然,则程在域间(x1,x2)CI,在此域间上y(x)<g(x),且 v(x1)=p(x1),但φp(x)≤9(x,y(x)=F(x,y)=y(x),结而y(x)≤y(x) 与假设特值 因此y=y(x)是在域间I上初值问题y=g(x,y),y(a)=3,的 由三的惟一偏,在域间I上,y(x)≡v(x),再由于y=y(x)是 右行饱和三,所以T≥b.结而,在域间[ab)上v(x)≥g(x).证毕 对于y(x)是初始问题在域间a,b)上的惟一三的题引,可以类 有证明,只要把上述证明级的v(x)与p(x)交换,g与∫交换,≤ 与≥交换即可 有f()≠0;方证:初值问题分,且有f(0)=0,但当v≠0时 14*.假设函数f(y)对y∈R微 f(y),y(0)=0有惟一三的充要 习件是:对Ⅶ≠0,a∈R,都有 证:必要偏:数初值问题有惟一三y=0,数程在a≠0,使 6=c≠∞,则由x=+c(在0与a可间)确定的函数是 初值问题的三,特值 充分偏:数习件成立而惟一偏不成立,则对于作个a≠0,还有 x=0+c满足初始习件,即了=≠与习件特值
13*. wJ f(x, y) ' g(x, y) A G ⊂ R2 Xk FZ x ∈ [a, b) 8 f(x, y) ≤ g(x, y)7 pv ϕ(x) ' ψ(x) :1 y 0 = f(x, y) ' y 0 = g(x, y) A9C [a, b) DHI rst y(a) = y0 k ϕ(x) ψ(x) X98N/ rA9C [a, b) D 4 k pA9C [a, b)Dk ϕ(x) ≤ ψ(x). p: ψ(x) / rA9C [a, b) D 4 k V ϕ 0 (x) = f(x, ϕ(x)) ≤ g(x, ϕ(x)), x ∈ [a, b). B (x, y) J F(x, y) = ( g(x, y), =y ≥ ϕ(x) ; g(x, ϕ(x)), =y < ϕ(x). k @ y 0 = F(x, y), y(a) = y0 ;<:' N y = y(x), x ∈ [a, T). YpA9C I ≡ [a, min(b, T)) Dk y(x) ≥ ϕ(x). pN YTk aA9C (x1, x2) ⊂ I, A_9CD y(x) < ϕ(x), F y(x1) = ϕ(x1), K ϕ 0 (x) ≤ g(x, ϕ(x)) = F(x, y) = y 0 (x), uW ϕ(x) ≤ y(x), w?@. [_ y = y(x) /A9C I D @ y 0 = g(x, y), y(a) = y0k . 4k A9C I Dk y(x) ≡ ψ(x)k z y = y(x) / ;<:' k dS T ≥ b. uWk A9C [a, b) D ψ(x) ≥ ϕ(x). p Zzϕ(x) / rA9C [a, b) D 4 k RS 8pk QeDpX ψ(x) ϕ(x) \Pk g f \Pk ≤ ≥ \PR. 14*. wJ f(y) Z y ∈ R k F8 f(0) = 0k K= y 6= 0 8 f(y) 6= 07 pN @ dy dx = f(y), y(0) = 0 84 Q st/N Z ∀a 6= 0, a ∈ Rk $8 Ra 0 ds f(s) = ∞. pN 7QN @84 y = 0k A a 6= 0, e Ra 0 ds f(s) = c 6= ∞, a x = y R a ds f(s) + c, (y A 0 a RC) 6! J/ @ , ?@. N stHbW4YHbk aZzBN a 6= 0, >8 x = y R a ds f(s) + c HI rstk Ra 0 ds f(s) = c 6= ∞, st?@. 18