因∫(t)e的傅氏变换是F(),则 f(te-orsi roo F(o+jojeJo da 2兀 等式两边同时乘以et,得 f(t) 1 F(o+jO)e e (8-5) 2兀 一0o 将式(8-5进行变量代换,得 f(t)= F()ed(8-6) 21i jo 式(8-6称为拉氏反变换.f(称为F(s)的原函数 从上面的分析可知,拉氏变换是傅氏变换的推 ,而傅氏变换是拉氏变换的特例
− − = + ( j ) d 2 1 ( ) t j t f t e F e 因 的傅氏变换是F(s)，则 t f t e − ( ) ( j ) d (8 5) 2 1 ( ) j = + − − t t f t F e e 等式两边同时乘以 e t ，得 将式(8-5)进行变量代换，得 ( ) d (8 6) 2 j 1 ( ) j j = − + − f t F s e s st 式(8-6)称为拉氏反变换．f(t)称为F(s)的原函数． 从上面的分析可知，拉氏变换是傅氏变换的推 广，而傅氏变换是拉氏变换的特例．
例求1(0,(和e"()的象函数 解 st z[)= co 1(tedt zlo(o=o 8(e d(tdt=1 z"10)-""c=c (s+a)t s+a Sa 常见函数的象函数见表8-1
求 1(t) ， (t) 和 e 1(t) 的象函数． −at 解 − − = 0 1(t) 1(t)e dt st L − − = 0 (t) (t)e dt st L − − − − = 0 e 1(t) e e dt a t a t st L 常见函数的象函数见表 8-1. 例 s s e st 1 0 = − = − − ( )d 1 0 = = − t t s a s a e s a t + = + − = + − 1 0 ( )
表8-1常见函数的象函数 象函数 原函数 象函数原函数 1(t) δ(t) 1( s+a ds(t) tI(t) dt r"1()n为正整数 te -at n (S+a) 1(t) S n+1 t"e l(t) (1-ao)e“l(t s+a (S+a) sin ati(t) s+a sto cos ot1(t) (S+a eat (S+a)+ e sin at1(t) cos ati(t S+a+a
表 8-1 常见函数的象函数 象函数 原函数 象函数 原函数 1 A s 1 s A 1 1 n+ s ( ) 1 1 + + n s a 2 2 s + s s + a 1 2 1 s ( ) 2 2 s+a + 1(t) t t d d ( ) 1( )(n为正整数) ! 1 t t n n 1( ) ! 1 t e t n n −at sin t1(t) e sin t1(t) at − (t) e 1(t) −at t1(t) 2 ( ) 1 s + a te 1(t) −at 2 (s a) s + (1 at)e 1(t) −at − 2 2 s + s cos t1(t) 2 2 ( ) ( ) + + + s a s a e cos t1(t) at −
拉氏变换的重要性质 (1)线性性质( inear combination theorem) 若z[()=F1(s),z[/2()=F2(s),ab是常数, 则z14f1()±b/2()=aF1()±bF2(s) (2)微分性质( differentiation theorem) 若x[f(o)=F(s),则 df(t) SF(S)-f(0-) dt (3)积分性质( integration theorem 若z[()]=r(s),则 ZI。f(o)drl
若 , ，a, b是常数, 则 ( ) ( ) 1 1 L f t = F s ( ) ( ) 2 2 L f t = F s 二．拉氏变换的重要性质 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 L af t bf t = aF s bF s (2) 微分性质 (differentiation theorem) ( ) (0 ) d d ( ) = − − sF s f t f t L s F s f t t t ( ) [ ( )d ] 0 = − L (3) 积分性质 (integration theorem) (1) 线性性质 (linear combination theorem) 若 L f (t)= F(s) , 则 若 L f (t)= F(s) , 则
(4)延迟性质( time-shift theorem) 若x[f()]=F(s),则 cIf(t-toi(t-to=e0F(s) 例矩形脉冲f0如图所示,求其象函数。 解0可表示为: f() f(t)=1(1)-1(t-t0) 将上式两边取拉氏变换, F()=[
矩形脉冲 f(t) 如图所示，求其象函数。 [ ( )1( )] ( ) 0 0 0 f t t t t e F s −st L − − = (4) 延迟性质 (time-shift theorem) 若 L f (t)= F(s) , 则 例 f(t) t0 1 0 t 解 ( ) 1( ) 1( ) 0 f t = t − t − t f(t) 可表示为： 将上式两边取拉氏变换， (1 ) 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 t s t s e s e s s F s f t − − = − = − = L